VO 503.042 + UE 503.043 - Sommersemester 2014

Topologie

Skriptum-Fragment 21/03/2014

Beginn: Mi 5.3. 16h c.t. SR C208. Als Termine sind einstweilem Mi 16-18 C208 und Fr 12-14 C208 geplant; diese sind aber noch änderbar. Das besprechen wir zu Beginn.

Topologie gehört zur mathematischen Allgemeinbildung: topologische Argumente sind sowohl in der Analysis als auch in der Algebra wichtige Werkzeuge. Es ist aber auch durchaus unterhaltsam, sich mit Topologie zu befassen, z.B. mit Konstruktionen von Räumen mit paradoxen Eigenschaften, von der überaus langen Tychonoff-Planke bis zu Alexanders gehörnter Sphäre.

Ein Spezialfall eines topologischen Raums ist der metrische Raum; es gibt aber auch wichtige Topologien, denen keine Metrik zugrunde liegt, z.B. die Zariski Topologie in der kommutativen Algebra. Auch in jenen Gebieten der Mathematik, in denen man eigentlich nur metrische Räume (und nicht topologische Räume in voller Allgemeinheit) braucht, werden die Argumente klarer und einfacher, wenn man die topologischen Definitionen von offen, abgeschlossen, stetig, etc. (die ganz ohne Epsilon und Delta auskommen), verwendet.

Einen Großteil der Vorlesung werden die Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie wie Stetigkeit, Kompaktheit, Zusammenhang, Trennungsaxiome, etc. ausmachen. Auf dieser Basis aufbauend könnte man dann zur algebraischen Topologie übergehen. Davon wird sich in einer (von Null anfangenden) einsemestrigen Vorlesung nicht viel ausgehen; eventuell können wir die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes behandeln.

Die Fundamentalgruppe ist eine Gruppe, welche die (2-dimensionalen) Löcher eines Raumes beschreibt (eine Verallgemeinerung des aus der Analysis bekannten Begriffs „einfach zusammenhängend”, welcher gleichbedeutend mit Trivialität der Fundamentalgruppe ist). Aus einfachen Tatsachen über die Fundamentalgruppe gewinnt man auch einen eleganten Beweis dafür, daß jede Untergruppe einer freien Gruppe frei ist.

Um gewisse Beispiele von topologischen Räumen formulieren zu können, werden wir auch ein bißchen Mengenlehre einführen: Ordinalzahlen und Kardinalzahlen. Als eine weitere Verbindung zur mathematischen Logik werden wir vielleicht auch (als Anwendungsbeispiel für Ultrafilter) Ultraprodukte kurz streifen.

Voraussetzungen:
Keine. Geeignet für Mathematik-Interesierte ab dem 3. Semester.

Beurteilungsmodus: Hausübungsbeispiele.

Literatur:
J. Cigler, H.-C. Reichel, Topologie, BI 1978
S. Willard, general topology, Addison-Wesley 1970 (jetzt als Dover Nachdruck)
B. von Querenburg [pseud.], mengentheoretischeTopologie, Springer 2001
K. Jänich, Topologie, Springer 1980
L.A. Steen, J.A. Seebach, Counterexamples in Topology 2nd ed., Springer 1978 (jetzt als Nachdruck bei Dover)
Th. Jech, Set theory, Academic Press, 1978; bzw. Springer 2003

Sophie Frisch
frisch@blah.math.tu-graz.ac.at