501.301 - WS 2002/03
Wenn man die Eintragungen in einem Produkt von Matrizen als formale Summe von Wegen in einem Graphen mit gewichteten Kanten interpretiert, dann lassen sich klassische Sätze der linearen Algebra, wie Cayley-Hamilton (eine Matrix ist Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms) und Cauchy-Binet (eine Verallgemeinerung der Multiplikativität der Determinante auf Produkte von nicht quadratischen Matrizen) sowie McMahon's ``master theorem'' auf sehr einfache Art kombinatorisch beweisen.
Die erwähnten Sätze und Methoden gelten für Matrizen mit Eintragungen in beliebigen kommutativen Ringen.
Man bekommt auf diese Art auch ``polynomial identities'' für Matrizenringe, d.h. Polynomgleichungen in mehreren nicht-kommutierenden Variablen, die von allen n x n Matrizen erfüllt werden. (Es besteht ein enger Zusammenhang zur Graphentheorie.)
Die angesprochenen Methoden finden auch in der aktuellen Forschung Verwendung und gehören für jeden, der mit Matrizen in einem algebraischen (d.h. nicht rein numerischen) Zusammenhang zu tun hat, zum unverzichtbaren Handwerkszeug.
Sophie Frisch
frisch@blah.math.tu-graz.ac.at