VO 501.329 + UE 501.331 - Sommersemester 2006 -
Beginn: Mo. 6.3. 16h c.t. C307
VO-Ankündigung in
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Noethersche Ringe (benannt nach Emmy Noether 1882-1935) haben sowohl in der algebraischen Geometrie als auch in der algebraischen Zahlentheorie grundlegende Bedeutung:
in der algebraischen Geometrie, weil man Eigenschaften einer Kurve oder Fläche im Raum, die durch ein System von Polynomgleichungen in mehreren Variablen definiert ist, durch Eigenschaften von Restklassenringen von Polynomringen erklären kann,
und in der Zahlentheorie, weil in endlichen Körpererweiterungen der rationalen Zahlen (wo sich die algebraische Zahlentheorie eben abspielt), spezielle Ringe mit der Eigenschaft, daß jedes Ideal eine Zerlegung in Primfaktoren hat, die Rolle der ganzen Zahlen spielen.
Wir werden einerseits Eigenschaften Noetherscher Ringe beweisen, die in der elementaren algebraischen Geometrie anschauliche Bedeutung haben (Hilbertscher Nullstellensatz, Zerlegung von Idealen in Primärideale, Krullscher Hauptidealsatz), und andererseits, von der Zahlentheorie motiviert, ein bisschen Theorie der Dedekindringe betreiben.
Jener Teil der Vorlesung, in der der Hilbertsche Nullstellensatz und die Primärideal-Zerlegung von Idealen in Noetherschen Ringen besprochen werden, ergänzt sich hervorragend mit der VO Symbolic Computation (da die dort behandelten Groebnerbasen Methoden liefern, Dinge praktisch zu berechnen, die wir in der Theorie der Noetherschen Ringe theoretisch beleuchten).
Besonders möchte ich auch auf topologische Aspekte der Ringtheorie eingehen (Zariski-Topologie, P-adische Topologie, ...), damit es nicht immer so ausschaut, als wäre Topologie ausschließlich eine Domäne der Analytiker. Die benötigten Begriffe aus der Topologie werden gleich mitvermittelt (nicht etwa vorausgesetzt). In diesem Zusammenhang gleich eine vor-Vorankündigung: im WS 06/07 mache ich eine Topologie-Vorlesung, in der natürlich auch Verbindungen zwischen Algebra und Topologie zur Sprache kommen werden.
Voraussetzungen:
Ein paar Begriffe wie Ideale, Ringhomomorphismen, Polynomring, etc.
aus der Algebra Vorlesung werden als bekannt vorausgesetzt. Manches
aus der Algebra-Vorlesung wird auch noch einmal genauer wiederholt
(Ring der Brüche, Lokalisierung, Bewertungen) und dadurch
vielleicht klarer werden. Geeignet für Mathematik-Interesierte
ab dem 4. Semester.
Beurteilungsmodus: Hausübungsbeispiele.
Literatur:
I. Kaplansky, Commutative Rings, Univ. of Chicago Press 1974.
S. Balcerzyk, T. Jozefiak, Commutative Noetherian and Krull Rings,
Ellis Horwood 1989.
sowie ein im entstehen begriffenes
Skriptum.
Dieses ist noch ziemlich fragmentarisch; ich werde anläßlich
der Vorlesung wieder ein paar zusätzlche Kapitel verfassen.
Zeit/Ort: einmalig Fr. 10.3. 9:00-10:30 HS P3 (Petersg. 16), ab 13.3.: Mo. 16:00-17:30 und Di. 14:30-16:00 HS D (Kopernikusg. 24).
Sophie Frisch
frisch@blah.math.tu-graz.ac.at