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\begin{document}

\begin{enumerate}
  \item Sei $G$ eine Gruppe und $N\leq G$. Dann gilt: $\forall \phi\in\Inn (G):\phi(N)=N\Longleftrightarrow \forall \phi\in\Inn (G):\phi(N)\subseteq N$.
  \item Sei $G$ eine Gruppe und $N\leq G$. Dann gilt: $\forall \phi\in\Aut (G):\phi(N)=N\Longleftrightarrow \forall \phi\in\Aut (G):\phi(N)\subseteq N$.
  \item Man finde eine Gruppe $G$, einen Normalteiler $N\trianglelefteq G$ und ein $\phi\in \Aut G$, sodass $\phi(N)\subset N$.
  \item Sei $G$ eine Gruppe, $H,K\leq G$. Dann gilt: $(H,K)=\langle \{[h,k]\mid h\in H,k\in K\}\rangle\trianglelefteq H\cup K=\langle H\cup K\rangle$.
  \item Sei $G$ eine Gruppe, $H\leq G$. Dann gilt: $(G',H)=\{e\}\Longrightarrow (G,H')=\{e\}$.
  \item Sei $G$ eine Gruppe, $H,K\leq G$, $K\trianglelefteq H$. Dann ist $H/K\subseteq Z(G/K)\Longleftrightarrow (G,H)\subseteq K$.
  \item \label{gzgamma} Welche der Untergruppen $G^{(n)}$, $Z_n$ und $\gamma_n$ sind charakteristisch bzw. totalinvariant?
  \item Man zeige, dass $S_3$ und $S_4$ auflösbar, aber nicht nilpotent sind.
  \item Man zeige, dass $S_n$ für $n\geq 5$ nicht auflösbar ist. Man verwende dafür, dass $A_n$ für $n\geq 5$ einfach ist.
  \item Man zeige: $A_n=S_n'$. Man verwende dazu, dass $A_n$ von den $3$-Zyklen erzeugt wird.
  \item Sei $G$ eine Gruppe. Man zeige, dass $G$ genau dann nilpotent ist, wenn $\exists n:\gamma_n=\{e\}$.
  \item Sei $G$ eine nilpotente Gruppe, $H\leq G$ und $N\trianglelefteq G$. Dann sind auch $H$ und $G/N$ nilpotent.
  \item Sei $G$ eine Gruppe, $N\trianglelefteq G$ und $G/N$ und $N$. sind nilpotent. Ist dann auch $G$ nilpotent? Wenn nein gebe man ein Gegenbeispiel an.
  \newpage
  \item Seien $p$, $q$ verschiedene Primzahlen. Geben Sie eine $\Q$-Basis von $\Q[\sqrt{p}, \sqrt{q}]$ an und bestimmen Sie die Galois-Gruppe der Körpererweiterung $\Q[\sqrt{p}, \sqrt{q}]:\Q $.
  \item Für Unterkörper $A$ und $B$ eines Körpers $F$ sei $AB$ der von $A\cup B$ erzeugte Unterkörper von $F$ ( d.h. $AB = A(B) = B(A)$ ).
    \begin{enumerate}
      \item Wenn $A$, $B$ Zwischenkörper von $F:K$ sind, dann ist $[AB:K]$ genau dann endlich, wenn $[A:K]$ und $[B:K]$ beide endlich sind.
      \item Wenn $[A:K]$, $[B:K]$ endlich sind, dann gilt 
$$[AB:K]\leq [A:K][B:K].$$
      \item Wenn $[A:K]$, $[B:K]$ endlich und relativ prim sind, dann gilt $[AB:K]=[A:K][B:K]$.
    \end{enumerate}
  \item Seien $A$, $B$ Zwischenkörper von $F:K$ mit $[F:K]$ endlich.
    \begin{enumerate}
      \item $[AB:K]=[A:K][B:K]\Longrightarrow A \cap B = K$.
      \item Wenn $[A:K]=2$ oder $[B:K] =2$ ist, dann gilt die Umkehrung der Implikation.
      \item Geben Sie ein Beispiel ( z.B. mit $[A:K]=3$, $[B:K] =3$) an, in dem die Umkehrung nicht gilt.
    \end{enumerate}
  \item Seien $p_1,\ldots,p_n$ verschiedene Primzahlen. Bestimmen Sie eine $\Q$-Basis von $\Q[\sqrt{p_1},...,\sqrt{p_n}]$ und die Galois-Gruppe.
  \item Seien $A$, $B$ Zwischenkörper einer endlichdimensionalen Galois Erweiterung $F:K$. 
    \begin{enumerate}
      \item Dann ist $(A \cap B)' =\Aut_{A \cap B} F$ die von $\Aut_A F$ und $\Aut_B F$ erzeugte Untergruppe von $\Aut F$.
      \item Was kann man schließen, wenn $\Aut_{AB}F$ trivial ist?
    \end{enumerate}
  \item Seien $A$, $B$ Zwischenkörper von $F:K$, sodass $A:K$ endlichdimensional Galois ist. Dann ist $AB:B$ endlichdimensional Galois und $\Aut_B AB$ ist isomorph zu $\Aut_{A \cap B} A$.
  \item Eine algeraische Köpererweiterung $F:K$ ist genau dann normal, wenn jedes $f$ irreduzibel in $K[x]$, das in $F$ eine Nullstelle hat, in $F[x]$ in irreduzible Faktoren, die alle denselben Grad haben, faktorisiert.
  \newpage
  \item Man zeige: $A_n$ ist für $n>4$ einfach.
  \item Man bestimme $Z(\GL_n(K))$ und verwende das, um ein Gegenbeispiel für Beispiel (\ref{gzgamma}) zu finden.
  \item Sei $\overline{\Z_p}$ der algebraische Abschluss von $\Z_p$. Man zeige, die unendliche Erweiterung $\overline{\Z_p}:\Z_p$ ist nicht zyklisch und bestimme ihre Galoisgruppe.
\end{enumerate}
\end{document}
