\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
%\voffset=-1truecm
\hoffset=-0.5truecm
\vsize=27truecm
\baselineskip=12pt \parskip=1.5pt
\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt


%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

% making : a binary relation (for expressions like [R:I])
\newcount\codenumber \codenumber=`:
\loop\relax\if\codenumber>"FFF \advance\codenumber\by -"1000\repeat
\advance\codenumber by "3000
\mathcode`:=\codenumber

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\Aut{\hbox{{\rm Aut}}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\natn{{\bb N}}
\def\intz{{\bb Z}}
\def\F{{\bb F}}
\def\Fq{{\bb F}_q}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}
\def\Zerf{Zer\-f\"al\-lungs\-k\"or\-per}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\rm 9.~\"Ubungsblatt Endliche K\"orper und Codierung} \hfill
{\rm SS 2008} }
\bigskip \bigskip \bigskip

%\noindent
%In den folgenden Beispielen sei $F:K$ eine endlich-dimensionale 
%Galois-Erweiterung und Norm $N=N_K^F$ und Spur $T=T_K^F$
%von $u\in F$ definiert als 
%$$N(u)=\sigma_1(u)\cdot\ldots\cdot\sigma_n(u)\qquad
%T(u)=\sigma_1(u)+\ldots+\sigma_n(u), $$
%wobei $\{\sigma_1,\ldots\sigma_n\}={\rm Aut}_K(F)$.
%\bigskip


\item{\bf 56.} 
Sei $F:K$ eine zyklische K\"or\-per\-er\-weit\-er\-ung mit $[F:K]=n$,
$\sigma$ ein Erzeuger der Galois-Gruppe ${\rm Aut}_K(F)$, $w\in F$ und
$u\in F$ mit $T(u)=0$. Sei $v$ (abh\"angig von $u$ und $w$) definiert als
$v=uw + (u+\sigma(u))\sigma(w)+\ldots+
(u+\sigma(u)+\sigma^2(u)+\ldots+\sigma^k(u))\sigma^k(w)+\ldots+
(u+\sigma(u)+\sigma^2(u)+\ldots+\sigma^{n-2}(u))\sigma^{n-2}(w)$,
dann gilt $v-\sigma(v)=T(w)u$ (und folglich $v-\sigma(v)=u$ f\"ur
jene $w$ mit $T(w)=1$).
\bigskip

\item{\bf 57.}
Sei $F:K$ eine zyklische K\"or\-per\-er\-weit\-er\-ung mit $[F:K]=n$, 
$\sigma$ ein Erzeuger der Galois-Gruppe, und $u\in F$ mit $N(u)=1$.
Sei $y\in F$, und $v$ (abh\"angig von $u$, $y$) definiert als
$$v=uy+ (u\sigma(u))\sigma(y)+ (u\sigma(u)\sigma^2(u))\sigma^2(y)+\ldots+
(u\sigma(u)\sigma^2(u)\cdot\ldots\cdot\sigma^{n-1}(u))\sigma^{n-1}(y),$$
dann gilt f\"ur jene $y$, f\"ur die $v\ne0$ ist, da\ss\ 
$v\sigma(v)^{-1}=u$.
\bigskip


\item{\bf 58.}
Zeigen Sie, da\ss\ die Summe aller Elemente eines jeden endlichen
K\"orpers $F\ne\F_2$ Null ist.
\bigskip

\item{\bf 59.}
Wenn die multiplikative Guppe $(F^*,\cdot)$ eines K\"orpers $F$
zyklisch ist, dann ist $F$ endlich.
\bigskip


\bye
