9. Übungsblatt Endliche Körper und Codierung SS 2008

56. Sei F : K eine zyklische Körpererweiterung mit [F : K] = n, σ ein Erzeuger der Galois-Gruppe Aut_{K}(F), w ∈ F und u ∈ F mit T (u) = 0. Sei v (abhängig von u und w) definiert als v = uw+(u+σ(u))σ(w)+…+(u+σ(u)+σ^{2}(u)+…+σ^{k}(u))σ^{k}(w)+ … + (u + σ(u) + σ^{2}(u) + … + σ^{n−2}(u))σ^{n−2}(w), dann gilt v − σ(v) = T (w)u (und folglich v − σ(v) = u für jene w mit T (w) = 1).

57. Sei F : K eine zyklische Körpererweiterung mit [F : K] = n, σ ein Erzeuger der Galois-Gruppe, und u ∈ F mit N(u) = 1. Sei y ∈ F, und v (abhängig von u, y) definiert als

v = uy + (uσ(u))σ(y) + (uσ(u)σ^{2}(u))σ^{2}(y) + … + (uσ(u)σ^{2}(u) · . . . · σ^{n−1}(u))σ^{n−1}(y),

dann gilt für jene y, für die v ≠ 0 ist, daß vσ(v)^{−1} = u.

58. Zeigen Sie, daß die Summe aller Elemente eines jeden endlichen Körpers F ≠ 𝔽_{2} Null ist.

59. Wenn die multiplikative Guppe (F^{∗}, ·) eines Körpers F zyklisch ist, dann ist F endlich.