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\baselineskip=12pt \parskip=1.5pt
\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt


%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

% making : a binary relation (for expressions like [R:I])
\newcount\codenumber \codenumber=`:
\loop\relax\if\codenumber>"FFF \advance\codenumber\by -"1000\repeat
\advance\codenumber by "3000
\mathcode`:=\codenumber

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\Aut{\hbox{{\rm Aut}}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\natn{{\bb N}}
\def\intz{{\bb Z}}
\def\F{{\bb F}}
\def\Fq{{\bb F}_q}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}
\def\Zerf{Zer\-f\"al\-lungs\-k\"or\-per}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\rm 8.~\"Ubungsblatt Endliche K\"orper und Codierung} \hfill
{\rm SS 2008} }
\bigskip \bigskip \bigskip

\noindent
In den folgenden Beispielen 48-50 sei $F:K$ eine endlich-dimensionale 
Galois-Erweiterung und Norm $N=N_K^F$ und Spur $T=T_K^F$
von $u\in F$ definiert als 
$$N(u)=\sigma_1(u)\cdot\ldots\cdot\sigma_n(u)\qquad
T(u)=\sigma_1(u)+\ldots+\sigma_n(u), $$
wobei $\{\sigma_1,\ldots\sigma_n\}={\rm Aut}_K(F)$.
\bigskip


\item{\bf 48.} 
\itemitem {(i)} F\"ur alle $u\in F$ gilt: $N(u)\in K$, $T(u)\in K$.
\itemitem {(ii)} 
F\"ur alle $u\in K$ gilt: $N(u)=u^{[F:K]}$, $T(u)=[F:K]\!u$.
\bigskip

\item{\bf 49.}
Sei $E$ ein K\"orper mit $K\subseteq E\subseteq F$, soda\ss\ 
$E:K$ Galois. Dann gilt f\"ur alle $u\in F$:
$N_K^E(N_E^F(u))=N_K^F(u)$ und $T_K^E(T_E^F(u))=T_K^F(u)$.
\bigskip


\item{\bf 50.}
Sei $u\in F$ und $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}\ldots+a_0$ das Minimalpolynom
von $u$ \"uber $K$. Wenn $F=K[u]$, dann
gilt $N(u)=(-1)^na_0$ und $T(u)=-a_{n-1}$, und allgemeiner, f\"ur
beliebiges $u\in F$ gilt: $N(u)=((-1)^na_0)^{[K[u]:K]}$
und $T(u)=- [K[u]:K]\!a_{n-1}$.
\bigskip

\item{\bf 51.}
Sei $A$ der algebraische Abschlu\ss\ von ${\intz_p}$. Dann enth\"alt
$A$ f\"ur jedes $n$ genau eine Kopie des K\"orpers mit $p^n$
Elementen.
\bigskip

\item{\bf 52.}
Sei $A$ der algebraische Abschlu\ss\ von ${\intz_p}$. Dann
gilt ${\rm Aut}(A)={\rm Aut}_{\intz_p}(A)$ und
jeder endliche K\"orper $F\subset A$ ist unter 
${\rm Aut}(A)$ stabil.
\bigskip

\item{\bf 53.}
Sei $A$ der algebraische Abschlu\ss\ von ${\intz_p}$. Dann ist
${\rm Aut}(A)$ (bzgl.~Verkn\"upfung von Abbildungen) eine
kommutative Gruppe.
\bigskip

\item{\bf 54.}
Sei $A$ der algebraische Abschlu\ss\ von ${\intz_p}$,
$\psi: A\rightarrow A$, $\psi(x)=x^p$ der Frobenius-Homomorphismus.
Dann ist die von $\psi$ erzeugte Untergruppe eine echte
Untergruppe von ${\rm Aut}(A)$.
\bigskip

\item{\bf 55.}
Eine K\"orpererweiterung $E:K$ ist normal genau dann, wenn jedes
irreduzible $f\in K[x]$ in $E[x]$ in irreduzible Faktoren
zerf\"allt, die alle denselben Grad haben.
\bigskip

\bye
