8. Übungsblatt Endliche Körper und Codierung SS 2008

In den folgenden Beispielen 48-50 sei F : K eine endlich-dimensionale Galois-Erweiterung und Norm N = N_{K}^{F} und Spur T = T_{K}^{F} von u ∈ F definiert als

N(u) = σ_{1}(u) · . . . · σ_{n}(u) T (u) = σ_{1}(u) + … + σ_{n}(u),

wobei {σ_{1}, … σ_{n}} = Aut_{K}(F).

48.

(i) Für alle u ∈ F gilt: N(u) ∈ K, T (u) ∈ K. (ii) Für alle u ∈ K gilt: N(u) = u^{[F:K]}, T (u) = [F : K]u.

49. Sei E ein Körper mit K ⊆ E ⊆ F, sodaß E : K Galois. Dann gilt für alle u ∈ F: N_{K}^{E}(N_{E}^{F} (u)) = N_{K}^{F}(u) und T_{K}^{E}(T_{E}^{F} (u)) = T_{K}^{F} (u).

50. Sei u ∈ F und f(x) = x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} … + a_{0} das Minimalpolynom von u über K. Wenn F = K[u], dann gilt N(u) = (−1)^{n}a_{0} und T (u) = −a_{n−1}, und allgemeiner, für beliebiges u ∈ F gilt: N(u) = ((−1)^{n}a_{0})^{[K[u]:K]} und T (u) = −[K[u] : K]a_{n−1}.

51. Sei A der algebraische Abschluß von ℤ_{p}. Dann enthält A für jedes n genau eine Kopie des Körpers mit p^{n} Elementen.

52. Sei A der algebraische Abschluß von ℤ_{p}. Dann gilt Aut(A) = Aut_{ℤ_{p}}(A) und jeder endliche Körper F ⊂ A ist unter Aut(A) stabil.

53. Sei A der algebraische Abschluß von ℤ_{p}. Dann ist Aut(A) (bzgl. Verknüpfung von Abbildungen) eine kommutative Gruppe.

54. Sei A der algebraische Abschluß von ℤ_{p}, ψ : A → A, ψ(x) = x^{p} der Frobenius-Homomorphismus. Dann ist die von ψ erzeugte Untergruppe eine echte Untergruppe von Aut(A).

55. Eine Körpererweiterung E : K ist normal genau dann, wenn jedes irreduzible f ∈ K[x] in E[x] in irreduzible Faktoren zerfällt, die alle denselben Grad haben.