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\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt


%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

% making : a binary relation (for expressions like [R:I])
\newcount\codenumber \codenumber=`:
\loop\relax\if\codenumber>"FFF \advance\codenumber\by -"1000\repeat
\advance\codenumber by "3000
\mathcode`:=\codenumber

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\Aut{\hbox{{\rm Aut}}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\natn{{\bb N}}
\def\intz{{\bb Z}}
\def\F{{\bb F}}
\def\Fq{{\bb F}_q}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}
\def\Zerf{Zer\-f\"al\-lungs\-k\"or\-per}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\rm 7.~\"Ubungsblatt Endliche K\"orper und Codierung} \hfill
{\rm SS 2008} }
\bigskip \bigskip \bigskip


\item{\bf 41.} 
Sei $V$ ein $\Fq$-Vektorraum, $U,W$ Teilr\"aume mit $U\subseteq W$.
Dann gilt $$\mu(U,W)=\mu(\{0\}, W/U).$$
(Isomorphe Verb\"ande haben
dieselbe M\"obius-Funktion; $\mu(a,b)$ im Verband $(X,\le)$ h\"angt
nur vom Intervall $[a,b]=\{c\in X\mid a\le c\le b\}$ ab.)
\bigskip

\item{\bf 42.}
Sei $V$ ein $n$-dim $\Fq$-Vektorraum. Finden Sie mit M\"obius-Inversion
eine Formel f\"ur die Anzahl der bijektiven $\Fq$-linearen Abbildungen
$\varphi\colon V\rightarrow V$, die keinen Fixpunkt au\ss er $0$
haben.
\bigskip

\item{\bf 43.}
Zwischen halbgeordneten Mengen $(X,\le)$ und $(Y,\le)$ sei eine
Galois-Korrespondenz gegeben, d.h. f\"ur $x\in X$, $x\mapsto x'\in Y$,
f\"ur $y\in Y$, $y\mapsto y'\in X$ mit
\itemitem{(i)} $a\le a''$, 
\itemitem{(ii)} $a\le b\Rightarrow b'\le a'$.

Zeigen Sie
\itemitem{(iii)} $a'=a'''$.
\itemitem{(iv)} Die Elemente $a$ in $X$ bzw.~$Y$ mit $a=a''$ sind
genau jene, f\"ur die ein $b$ in der jeweils anderen Menge mit
$a=b'$ existiert.
\itemitem{(v)} Die Einschr\"ankung von $a\mapsto a'$ auf jene $a$ in
$X$ bzw.~$Y$ mit $a=a''$ ist eine Bijektion.
\bigskip

\item{\bf 44.}
Wenn $K,F$ endliche K\"orper mit $K\subseteq F$, $\left|K\right|=q$,
dann ist $\Aut_K(F)$ zyklisch, erzeugt von $\psi: x\mapsto x^q$.
\bigskip

\item{\bf 45.}
Wenn $K,F$ endliche K\"orper mit $K\subseteq F$, dann ist $F:K$ Galois.
\bigskip

\item{\bf 46.}
Sei $F:K$ eine endl.-dim.~K\"orpererweiterung. Dann sind die
Galois-abgeschlossenen Zwischenk\"orper genau jene $E$ mit 
$\Aut_K(F)'\subseteq E$.
\bigskip

\item{\bf 47.}
Sei $F$ ein K\"orper, $G$ eine endliche Untergruppe von $\Aut(F)$
und $K$ der Fixk\"orper von $G$, d.h.
$$K=\{a\in F\mid \forall \sigma\in G: \sigma(a)=a\}.$$
Dann ist $F:K$ Galois.
\bigskip


\bye
