7. Übungsblatt Endliche Körper und Codierung SS 2008

41. Sei V ein 𝔽_{q}-Vektorraum, U, W Teilräume mit U ⊆ W. Dann gilt

μ(U, W) = μ({0}, W/U).

(Isomorphe Verbände haben dieselbe Möbius-Funktion; μ(a, b) im Verband (X, ≤) hängt nur vom Intervall [a, b] = {c ∈ X | a ≤ c ≤ b} ab.)

42. Sei V ein n-dim 𝔽_{q}-Vektorraum. Finden Sie mit Möbius-Inversion eine Formel für die Anzahl der bijektiven 𝔽_{q}-linearen Abbildungen φ: V → V, die keinen Fixpunkt außer 0 haben.

43. Zwischen halbgeordneten Mengen (X, ≤) und (Y, ≤) sei eine Galois-Korrespondenz gegeben, d.h. für x ∈ X, x ↦ x′ ∈ Y, für y ∈ Y, y ↦ y′ ∈ X mit

(i) a ≤ a′′, (ii) a ≤ b ⇒ b′ ≤ a′. Zeigen Sie (iii) a′ = a′′′. (iv) Die Elemente a in X bzw. Y mit a = a′′ sind genau jene, für die ein b in der

jeweils anderen Menge mit a = b′ existiert.

(v) Die Einschränkung von a ↦ a′ auf jene a in X bzw. Y mit a = a′′ ist eine Bijektion.

44. Wenn K, F endliche Körper mit K ⊆ F, |K| = q, dann ist Aut_{K}(F) zyklisch, erzeugt von ψ : x ↦ x^{q}.

45. Wenn K, F endliche Körper mit K ⊆ F, dann ist F : K Galois.

46. Sei F : K eine endl.-dim. Körpererweiterung. Dann sind die Galois-abgeschlossenen Zwischenkörper genau jene E mit Aut_{K}(F)′ ⊆ E.

47. Sei F ein Körper, G eine endliche Untergruppe von Aut(F) und K der Fixkörper von

G, d.h.

K = {a ∈ F | ∀σ ∈ G : σ(a) = a}.

Dann ist F : K Galois.