\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
%\voffset=-1truecm
\hoffset=-0.5truecm
\vsize=27truecm
\baselineskip=12pt \parskip=1.5pt
\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt


%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

% making : a binary relation (for expressions like [R:I])
\newcount\codenumber \codenumber=`:
\loop\relax\if\codenumber>"FFF \advance\codenumber\by -"1000\repeat
\advance\codenumber by "3000
\mathcode`:=\codenumber

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\natn{{\bb N}}
\def\intz{{\bb Z}}
\def\F{{\bb F}}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}
\def\Zerf{Zer\-f\"al\-lungs\-k\"or\-per}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\rm 5.~\"Ubungsblatt Endliche K\"orper und Codierung} \hfill
{\rm SS 2008} }
\bigskip \bigskip \bigskip


\item{\bf 27.} 
Sei $C\in M_n(R)$, $R$ kommutativer Ring mit $1$. Zeigen Sie, dass
$F_k(C)$ ($1\le k\le n$) unter elementaren Zeilen- und 
Spal\-ten\-op\-er\-at\-ion\-en von $C$ invariant ist.
\bigskip

\item{\bf 28.}
Sei $C\in M_n(K)$, $K$ ein K\"orper. Zeigen Sie, da\ss\ man einen Erzeuger
des Ideals $$N_C=\{f\in K[x]\mid f(C)=0\}$$ von $K[x]$ bekommt, indem man
$xI-C$ durch elementare Zeilen- und Spaltenoperationen in $M_n(K[x])$ auf 
Diagonal\-gestalt ${\rm diag}(m_1,...,m_n)$ mit $m_i\mid m_{i+1}$
bringt: es ist dann n\"amlich $N_C=m_n(x)K[x]$.
\bigskip

\item{\bf 29.}
Sei $p\in\intz$ prim und $n\in\natn$ mit 
$p\kern-4pt\not\kern-2pt\vert\kern1pt n$. 
Ist das $n$-te Kreisteilungspolynom $\varphi_n\in\intz[x]$, aufgefa\ss t
als Polynom in $\intz_p[x]$, das $n$-te Kreisteilungspolynom f\"ur
jeden K\"orper $F$ mit $p^m$ Elementen? 
\bigskip

\item{\bf 30.}
Konstruieren Sie die Kreisteilungspolynome $\varphi_n\in\intz[x]$ 
f\"ur $1\le n\le 12$.
\bigskip

\item{\bf 31.}
Konstruieren Sie die Kreisteilungspolynome $\varphi_n\in\intz_2[x]$,
f\"ur $n$ ein Teiler von $15$.
\bigskip

\item{\bf 32.}
Konstruieren Sie die Kreisteilungspolynome $\varphi_n\in\intz_3[x]$,
f\"ur $n$ ein Teiler von $16$.
\bigskip

\item{\bf 33.}
Finden Sie eine Matrixdarstellung (\"uber $\intz_3$) des K\"orpers
mit 9 Elementen.
\bigskip

\item{\bf 34.}
Finden Sie eine Matrixdarstellung (\"uber $\intz_2$) des K\"orpers
mit 8 Elementen.
\bigskip

\bye
