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\baselineskip=12pt \parskip=1.5pt
\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt


%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

% making : a binary relation (for expressions like [R:I])
\newcount\codenumber \codenumber=`:
\loop\relax\if\codenumber>"FFF \advance\codenumber\by -"1000\repeat
\advance\codenumber by "3000
\mathcode`:=\codenumber

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\natn{{\bb N}}
\def\intz{{\bb Z}}
\def\F{{\bb F}}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}
\def\Zerf{Zer\-f\"al\-lungs\-k\"or\-per}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\rm 4.~\"Ubungsblatt Endliche K\"orper und Codierung} \hfill
{\rm SS 2008} }
\bigskip \bigskip \bigskip

\item{\bf 18.} 
Sei $K$ ein K\"orper der Charakteristik $p$ und $a\in K$, soda\ss\
$a$ keine $p$-te Potenz eines Elements aus $K$ ist. Dann hat
$f=x^p-a\in K[x]$ in seinem Zerf\"allungsk\"orper $F$ \"uber $K$
eine $p$-fache Nullstelle und ist in $K[x]$ irreduzibel. (Kein Produkt
von weniger als allen $p$ Linearfaktoren in $F[x]$ kann in $K[x]$
sein: konstanten Term betrachten; $1$ als $\intz$-Linearkombination von
$p$ und $k$ ($1\le k<p$) darstellbar).
\bigskip

\item{\bf 19.}
Seien $q,n\in \natn$ mit $\ggT(q,n)=1$. Dann gibt es ein $d\in\natn$
mit $n\divides q^d-1$ und f\"ur das minimale solche $d$ gilt
$d\divides \varphi(n)$.
\bigskip

\item{\bf 20.}
Sei $K$ ein K\"orper, $n\in\natn$.  Dann bilden die $n$-ten
Einheitswurzeln in $K$ eine zyklische Gruppe, deren Ordnung ein
Teiler von $n$ ist.
\bigskip

\item{\bf 21.}
Seien $d,n\in\natn$ mit $d\divides n$, dann ist $p^d-1$ ein
Teiler von $p^n-1$ (in $\intz$) und $x^{p^d}-x$
ein Teiler von $x^{p^n}-x$ (im Polynomring $K[x]$, $K$ ein
beliebiger K\"orper).
\bigskip


\item{\bf 22.}
Sei $\F_{p^n}$ der K\"orper mit ${p^n}$ Elementen ($p$ prim).
Jeder Unterk\"orper von $\F_{p^n}$ hat ${p^d}$ Elemente
f\"ur ein $d$ mit $d\divides n$.
\bigskip

\item{\bf 23.}
$\F_{p^n}$ hat f\"ur jeden Teiler $d$ von $n$ genau einen
Unterk\"orper mit ${p^d}$ Elementen, n\"amlich die Menge
der Fixpunkte von $x\mapsto x^{p^d}$ bzw.\ der Nullstellen
von $x^{p^d}-x$.
\bigskip

\item{\bf 24.}
Seien $E$, $F$ zwei Erweiterungsk\"orper von $K$. Ein 
K\"orperhomomorphismus $f\colon E\rightarrow F$ hei\ss t
$K$-Homomorphismus, wenn f\"ur alle $k\in K$ gilt $f(k)=k$.
Zeigen Sie, da\ss\ ein K\"orper-Homomorphismus $f\colon E\rightarrow F$ 
genau dann $K$-Homomorphismus ist, wenn er $K$-lineare Abbildung ist.
\bigskip

\item{\bf 25.}
Seien $K\subseteq F$ K\"orper; $f:F\rightarrow F$ ein $K$-Monomorphismus,
$g\in K[x]$. Dann permutiert $f$ die Nullstellen von $g$ in $F$.
\bigskip

\item{\bf 26.}
Seien $K\subseteq F$ K\"orper; $f:F\rightarrow F$ Endomorphismus von $F$,
$g\in K[x]$ ein normiertes Polynom, das \"uber $F$ zerf\"allt. Wenn $f$ die
Nullstellen von $g$ in $F$ permutiert, dann l\"a\ss t $f$ die
Koeffizienten von $g$ elementweise fest.
\bigskip

\bye
