4. Übungsblatt Endliche Körper und Codierung SS 2008

18. Sei K ein Körper der Charakteristik p und a ∈ K, sodaß a keine p-te Potenz eines Elements aus K ist. Dann hat f = x^{p} − a ∈ K[x] in seinem Zerfällungskörper F über K eine p-fache Nullstelle und ist in K[x] irreduzibel. (Kein Produkt von weniger als allen p Linearfaktoren in F [x] kann in K[x] sein: konstanten Term betrachten; 1 als ℤ-Linearkombination von p und k (1 ≤ k < p) darstellbar).

19. Seien q, n ∈ ℕ mit ggT(q, n) = 1. Dann gibt es ein d ∈ ℕ mit n | q^{d} − 1 und für das minimale solche d gilt d | φ(n).

20. Sei K ein Körper, n ∈ ℕ. Dann bilden die n-ten Einheitswurzeln in K eine zyklische Gruppe, deren Ordnung ein Teiler von n ist.

21. Seien d, n ∈ ℕ mit d | n, dann ist p^{d} − 1 ein Teiler von p^{n} − 1 (in ℤ) und x^{p^{d}} − x ein Teiler von x^{p^{n}} − x (im Polynomring K[x], K ein beliebiger Körper).

22. Sei 𝔽_{p^{n}} der Körper mit p^{n} Elementen (p prim). Jeder Unterkörper von 𝔽_{p^{n}} hat p^{d} Elemente für ein d mit d | n.

23. 𝔽_{p^{n}} hat für jeden Teiler d von n genau einen Unterkörper mit p^{d} Elementen, nämlich die Menge der Fixpunkte von x ↦ x^{p^{d}} bzw. der Nullstellen von x^{p^{d}} − x.

24. Seien E, F zwei Erweiterungskörper von K. Ein Körperhomomorphismus f: E → F heißt K-Homomorphismus, wenn für alle k ∈ K gilt f(k) = k. Zeigen Sie, daß ein Körper-Homomorphismus f: E → F genau dann K-Homomorphismus ist, wenn er K-lineare Abbildung ist.

25. Seien K ⊆ F Körper; f : F → F ein K-Monomorphismus, g ∈ K[x]. Dann permutiert f die Nullstellen von g in F.

26. Seien K ⊆ F Körper; f : F → F Endomorphismus von F, g ∈ K[x] ein normiertes Polynom, das über F zerfällt. Wenn f die Nullstellen von g in F permutiert, dann läßt f die Koeffizienten von g elementweise fest.