\magnification=\magstep1
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\baselineskip=12pt \parskip=1.5pt
\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt


%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

% making : a binary relation (for expressions like [R:I])
\newcount\codenumber \codenumber=`:
\loop\relax\if\codenumber>"FFF \advance\codenumber\by -"1000\repeat
\advance\codenumber by "3000
\mathcode`:=\codenumber

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\natn{{\bb N}}
\def\intz{{\bb Z}}
\def\F{{\bb F}}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}
\def\Zerf{Zer\-f\"al\-lungs\-k\"or\-per}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\rm 3.~\"Ubungsblatt Endliche K\"orper und Codierung} \hfill
{\rm SS 2008} }
\bigskip \bigskip \bigskip

\item{\bf 13.} 
Seien $K\subseteq E\subseteq F$ K\"orper, und $F:E$ und $E:K$
jeweils eine algebraische K\"or\-per\-er\-weit\-er\-ung. Dann
ist auch $F:K$ algebraisch.
\bigskip

\item{\bf 14.}
Seien $K\subseteq E$ K\"orper und $f\in E[x]$ irreduzibel. Dann gibt
es ein eindeutig bestimmtes normiertes irreduzibles Polynom $g\in K[x]$,
soda\ss\ f\"ur jedes $h\in K[x]$ gilt: $h$ ist in $E[x]$ durch $f$
teilbar genau dann, wenn $h$ in $K[x]$ durch $g$ teilbar ist.
\bigskip

\item{\bf 15.}
$w$ hei\ss t $n$-te Einheitswurzel, wenn $w^n=1$, und primitive
$n$-te Einheitswurzel, wenn zus\"atzlich $w^k\ne 1$ f\"ur $0<k<n$.
Wieviele $n$-te Einheitswurzeln, wieviele primitive $n$-te 
Einheitswurzeln gibt es in $\F_q$?
\bigskip

\item{\bf 16.}
Wir nennen ein Element $a\in\F_q$ ein Quadrat, wenn es ein $c\in \F_q$
gibt mit $c^2=a$, und andernfalls ein Nichtquadrat. 
\itemitem{(i)} Die Quadrate ungleich $0$ bilden eine Untergruppe von
$(\F_q\setminus\{0\},\cdot)$. Was ist der Index dieser Untergruppe?
(Fallunterscheidung $\chi(\F_q)=2$ oder $\chi(\F_q)=p$, ungerade.) 
\itemitem{(ii)} Kann es vorkommen, da\ss\ die Quadrate in $\F_q$ eine
Untergruppe (bzw.\ eine echte Untergruppe) von $(\F_q, +)$ bilden?
\bigskip

\item{\bf 17.}
Zeigen Sie, da\ss\  in jedem endlichen K\"orper $\F_q$ jedes $a\in \F_q$
als Summe zweier Quadrate $a=b^2+c^2$ mit $b,c\in\F_q$ darstellbar ist.
Hinweis: voriges Beispiel; entweder sowieso nur Quadrate, ansonsten
gen\"ugt es, ein einziges Nichtquadrat als Summe zweier Quadrate 
darzustellen (Nichtquadrate Nebenklasse). Ginge das nicht, w\"aren die
als Summe zweier Quadrate darstellbaren Elemente allesamt Quadrate,
die Menge der Quadrate daher unter Addition abgeschlossen.
\bigskip



\bye
