\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
%\voffset=-1truecm
\hoffset=-0.5truecm
\vsize=27truecm
\baselineskip=12pt \parskip=1.5pt
\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt


%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

% making : a binary relation (for expressions like [R:I])
\newcount\codenumber \codenumber=`:
\loop\relax\if\codenumber>"FFF \advance\codenumber\by -"1000\repeat
\advance\codenumber by "3000
\mathcode`:=\codenumber

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\natn{{\bb N}}
\def\intz{{\bb Z}}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}
\def\Zerf{Zer\-f\"al\-lungs\-k\"or\-per}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\rm 2.~\"Ubungsblatt Endliche K\"orper und Codierung} \hfill
{\rm SS 2008} }
\bigskip \bigskip \bigskip

\item{\bf 7.} 
Sei $D$ ein Integrit\"atsbereich und $f\in D[x]\setminus \{0\}$. 
Zeigen Sie, da\ss\ $f$ in $D$ h\"ochstens $\deg f$ Nullstellen
hat, und arbeiten Sie dabei genau heraus, wo man Kommutativit\"at
von $D$ verwendet und wo Nullteilerfreiheit.
\bigskip

\item{\bf 8.}
Gegeben $n\in\natn$. Finden Sie ein $m\in \natn$, soda\ss\ in 
$\intz_m$ das Polynom $x^2$ mindestens $n$ Nullstellen hat.
\bigskip

\item{\bf 9.}
Gegeben $n\in\natn$. Finden Sie ein $m\in\natn$, soda\ss\ in
$\intz_m$ das Polynom $x^2-1$ mindestens $n$ Nullstellen hat.
\bigskip


\item{\bf 10.}
Sei $K$ ein K\"orper und $f\in K[x]$ irreduzibel, soda\ss\ $f$
in einem K\"orper $F\supseteq K$ eine mehrfache Nullstelle hat.
Zeigen Sie, da\ss\ $f'=0$ gelten mu\ss, was nur vorkommen kann,
wenn $\chi(K)=p$ prim und in $f$ nur Monome $x^k$ mit $p\divides k$
(mit Koeffizienten ungleich $0$) vorkommen.
\bigskip

\item{\bf 11.}
Sei $K$ ein endlicher K\"orper. Zeigen Sie, da\ss\ kein
irreduzibles Polynom $f\in K[x]$ in seinem \Zerf\ eine
mehrfache Nullstelle hat. (Hinweis: voriges Beispiel.)
\bigskip

\item{\bf 12.}
Sei $K=\intz_p(y)$ der K\"orper der rationalen Funktionen \"uber
$\intz_p$ und $f(x)=x^p-y$. Zeigen Sie, da\ss\ $f$ in seinem
\Zerf\  $F$ \"uber $K$ eine $p$-fache Nullstelle hat und da\ss\
$f$ in $K[x]$ irreduzibel ist. (Hinweis: m\"ogliche Faktoren in
$K[x]$ sind jedenfalls Produkte von irreduziblen Faktoren in
$F[x]$; konstanten Term betrachten.)
\bigskip

\bye
