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\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt


%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

% making : a binary relation (for expressions like [R:I])
\newcount\codenumber \codenumber=`:
\loop\relax\if\codenumber>"FFF \advance\codenumber\by -"1000\repeat
\advance\codenumber by "3000
\mathcode`:=\codenumber

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\Aut{\hbox{{\rm Aut}}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\natn{{\bb N}}
\def\intz{{\bb Z}}
\def\F{{\bb F}}
\def\Fq{{\bb F}_q}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}
\def\Zerf{Zer\-f\"al\-lungs\-k\"or\-per}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\rm 10.~\"Ubungsblatt Endliche K\"orper und Codierung} \hfill
{\rm SS 2008} }
\bigskip \bigskip 

\noindent 
Eine endliche projektive Ebene $(V,G,I)$ besteht aus einer endlichen Menge
$V$ (deren Elemente Punkte genannt werden) zusammen mit einer Menge $G$ 
(deren Elemente Geraden genannt werden), und einer Relation 
$I\subseteq V\times G$ soda\ss\
\item{(i)} je zwei Geraden $g\ne h$ sich in genau einem Punkt schneiden
(d.h. genau ein $p\in V$ existiert mit $(p,g)\in I$, $(p,h)\in I$).
\item{(ii)} je zwei Punkte $p\ne q$ auf genau einer gemeinsamen Gerade liegen
(d.h. genau ein $g\in G$ existiert mit $(p,g)\in I$, $(q,g)\in I$).
\item{(iii)} und ein nichttriviales Viereck existiert (vier Punkte,
von denen keine drei auf einer Geraden liegen).

F\"ur $p\in V$ bezeichnen wir mit $(p)$ die Menge aller Geraden $g$ mit
$(p,g)\in I$ und f\"ur $g\in G$ mit $(g)$ die Menge aller Punkte $p$
mit $(p,g)\in I$.
\bigskip


\item{\bf 60.} 
Sei $(V,G)$ eine endliche projektive Ebene. Dann existiert ein $n$
(die Ordnung der projektiven Ebene) soda\ss\ f\"ur alle $p\in V$
und alle $g\in G$ gilt: 
\item{(a)} $\forall p\in V\>\left|(p)\right|=n+1,
\quad \forall g\in G\>\left|(g)\right|=n+1$,
\item{(b)} $\left|V\right|=\left|G\right|=n^2+n+1$.

Hinweis: 
f\"ur (a) $\left|(p)\right|=\left|g\right|$ f\"ur $(p,g)\notin I$ zeigen,
(iii) verwenden; f\"ur (b) f\"ur ein fixes $q\in V$ auf zwei Arten die 
Menge der Paare $(p,g)$ mit $(p,g),(q,g)\in I$ abz\"ahlen.
\bigskip

\item{\bf 61.}
Sei $W$ ein 3-dim $\F_q$-Vektorraum und $V$ die Menge der 1-dim
Teilr\"aume, $G$ die Menge der  2-dim Teilr\"aume und $I$ 
die Relation $p\subseteq g$. Dann bildet $(V,G,I)$ eine endliche
projektive Ebene der Ordnung $q$.
\bigskip

\noindent
Eine endliche affine Ebene $(V,G,I)$ besteht aus einer endlichen Menge
$V$ (deren Elemente Punkte genannt werden) zusammen mit einer Menge $G$ 
(deren Elemente Geraden genannt werden), und einer Relation 
$I\subseteq V\times G$ soda\ss\
(mit der Notation $g\| h$ f\"ur $(g)\cap (h)=\emptyset$) 
\item{(i)} Zu jeder Gerade $g$ und jedem Punkt $p$ nicht auf dieser
Gerade gibt es genau eine zu $g$ parallele Gerade durch $p$
(f\"ur $p\in V$ und $g\in G$ mit $(p,g)\notin I$ existiert
genau ein $h\in G$ mit $(p,h)\in I$ und $g\| h$),
\item{(ii)} je zwei Punkte $p\ne q$ liegen auf genau einer gemeinsamen Geraden
(d.h. genau ein $g\in G$ existiert mit $(p,g)\in I$, $(q,g)\in I$).
\item{(iii)} und es gibt ein nichttriviales Dreieck (drei Punkte,
nicht alle auf einer Geraden).
\bigskip

\item{\bf 62.}
Sei $(V,G,I)$ eine endliche affine Ebene. Zeigen Sie, da\ss\ 
$g\| h$ (definiert als $(g)\cap (h)=\emptyset$) eine \"Aquivalenzrelation
auf $G$ ist, und da\ss\ es ein $n$ (genannt die Ordnung der affinen
Ebene) gibt mit 
\item{(a)} $\forall p\in V\>\left|(p)\right|=n+1,
\quad \forall g\in G \left|(g)\right|=n$,
\item{(b)} $\left|V\right|=n^2,\quad \left|G\right|=n^2+n$.
\bigskip

\item{\bf 63.}
Zeigen Sie, dass man aus jeder projektiven Ebene der Ordnung $n$
durch Entfernen einer Geraden eine affine Ebene der Ordnung $n$
bekommt und umgekehrt aus jeder affinen Ebene der Ordnung $n$
durch Hinzuf\"ugen einer Geraden eine projektive Ebene der Ordnung $n$.
\bigskip

\item{\bf 64.}
Sei $T$ die Additionstafel von $\F_q$ (Matrix indiziert mit den 
Elementen von $\F_q$ mit $a+b$ an der Stelle $(a,b)$). Zeigen Sie,
da\ss\ $aT$, $a\in F^*$ eine affine Ebene der Ordnung $q$ darstellt,
wenn man Zeilen, Spalten und Orte konstanter Eintragung in einer der
Matrizen $aT$ als Geraden, und die Elemente $(a,b)$ als Punkte 
betrachtet.
\bye
