10. Übungsblatt Endliche Körper und Codierung SS 2008

Eine endliche projektive Ebene (V, G, I) besteht aus einer endlichen Menge V (deren Elemente Punkte genannt werden) zusammen mit einer Menge G (deren Elemente Geraden genannt werden), und einer Relation I ⊆ V × G sodaß

(i) je zwei Geraden g ≠ h sich in genau einem Punkt schneiden (d.h. genau ein p ∈ V existiert mit (p, g) ∈ I, (p, h) ∈ I).

(ii) je zwei Punkte p ≠ q auf genau einer gemeinsamen Gerade liegen (d.h. genau ein

g ∈ G existiert mit (p, g) ∈ I, (q, g) ∈ I). (iii) und ein nichttriviales Viereck existiert (vier Punkte, von denen keine drei auf einer

Geraden liegen). Für p ∈ V bezeichnen wir mit (p) die Menge aller Geraden g mit (p, g) ∈ I und für

g ∈ G mit (g) die Menge aller Punkte p mit (p, g) ∈ I.

60. Sei (V, G) eine endliche projektive Ebene. Dann existiert ein n (die Ordnung der projektiven Ebene) sodaß für alle p ∈ V und alle g ∈ G gilt:

(a) ∀p ∈ V |(p)| = n + 1, ∀g ∈ G |(g)| = n + 1,

(b) |V | = |G| = n^{2} + n + 1.

Hinweis: für (a) |(p)| = |g| für (p, g) ∉ I zeigen, (iii) verwenden; für (b) für ein fixes q ∈ V auf zwei Arten die Menge der Paare (p, g) mit (p, g), (q, g) ∈ I abzählen.

61. Sei W ein 3-dim 𝔽_{q}-Vektorraum und V die Menge der 1-dim Teilräume, G die Menge der 2-dim Teilräume und I die Relation p ⊆ g. Dann bildet (V, G, I) eine endliche projektive Ebene der Ordnung q.

Eine endliche affine Ebene (V, G, I) besteht aus einer endlichen Menge V (deren Elemente Punkte genannt werden) zusammen mit einer Menge G (deren Elemente Geraden genannt werden), und einer Relation I ⊆ V × G sodaß (mit der Notation g∥h für (g) ∩ (h) = ∅)

(i) Zu jeder Gerade g und jedem Punkt p nicht auf dieser Gerade gibt es genau eine zu g parallele Gerade durch p (für p ∈ V und g ∈ G mit (p, g) ∉ I existiert genau ein h ∈ G mit (p, h) ∈ I und g∥h),

(ii) je zwei Punkte p ≠ q liegen auf genau einer gemeinsamen Geraden (d.h. genau ein

g ∈ G existiert mit (p, g) ∈ I, (q, g) ∈ I). (iii) und es gibt ein nichttriviales Dreieck (drei Punkte, nicht alle auf einer Geraden).

62. Sei (V, G, I) eine endliche affine Ebene. Zeigen Sie, daß g∥h (definiert als (g)∩(h) = ∅) eine Äquivalenzrelation auf G ist, und daß es ein n (genannt die Ordnung der affinen Ebene) gibt mit

(a) ∀p ∈ V |(p)| = n + 1, ∀g ∈ G |(g)| = n,

(b) |V | = n^{2}, |G| = n^{2} + n.

63. Zeigen Sie, dass man aus jeder projektiven Ebene der Ordnung n durch Entfernen einer Geraden eine affine Ebene der Ordnung n bekommt und umgekehrt aus jeder affinen Ebene der Ordnung n durch Hinzufügen einer Geraden eine projektive Ebene der Ordnung n.

64. Sei T die Additionstafel von 𝔽_{q} (Matrix indiziert mit den Elementen von 𝔽_{q} mit a + b an der Stelle (a, b)). Zeigen Sie, daß aT, a ∈ F^{∗} eine affine Ebene der Ordnung q darstellt, wenn man Zeilen, Spalten und Orte konstanter Eintragung in einer der Matrizen aT als Geraden, und die Elemente (a, b) als Punkte betrachtet.