\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
%\voffset=-1truecm
\hoffset=-0.5truecm
\vsize=27truecm
\baselineskip=12pt \parskip=1.5pt
\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt


%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

% making : a binary relation (for expressions like [R:I])
\newcount\codenumber \codenumber=`:
\loop\relax\if\codenumber>"FFF \advance\codenumber\by -"1000\repeat
\advance\codenumber by "3000
\mathcode`:=\codenumber

\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\rm 1.~\"Ubungsblatt Endliche K\"orper und Codierung} \hfill
{\rm SS 2008} }
\bigskip \bigskip \bigskip

\item{\bf 1.} 
Seien $R\subseteq S$ Hauptidealringe (d.h.\ kommutative Ringe mit $1$, in
denen jedes Ideal ein Hauptideal ist), $a,b,d\in R$. 
Wenn $\ggT(a,b)=d$ in $R$, dann auch in $S$.
\bigskip

\item{\bf 2.}
Seien $K\subseteq F$ K\"orper, $S$ eine Teilmenge von $F$.
Wenn $K[S]$ ein K\"orper ist, dann $K[S]=K(S)$.
\bigskip


\item{\bf 3.}
Sei $f\in K[x]$ mit $\deg f=n \ge 1$. Verfeinern Sie den Beweis der
Existenz eines Zer\-f\"al\-lungs\-k\"or\-pers $F$ von $f$ \"uber
$K$ so, da\ss\ hervorgeht, da\ss\ $[F:K]$ ein Teiler von $n!$ ist.
(Fallunterscheidung, $f$ irreduzibel in $K[x]$ oder nicht.)
\bigskip


\item{\bf 4.}
Sei $F:K$ K\"orpererweiterung, $u\in F$. 
\itemitem{(a)} Wenn $f\in K[x]$ irreduzibel mit $f(u)=0$, dann ist
$f$ bis auf Multiplikation mit einer Konstante $c\in K\setminus\{0\}$
das Minimalpolynom von $u$ \"uber $K$.
\itemitem{(b)} Wenn $f$ ein Polynom minimalen Grades in $K[x]$ 
mit $f(u)=0$ ist, dann ist $f$ bis auf Multiplikation mit einer
Konstante $c\in K\setminus\{0\}$ das Minimalpolynom von $u$ \"uber $K$.
\bigskip

\item{\bf 5.}
Seien $R\subseteq S$ Ringe (m\"oglicherweise ohne $1$). Dann ist
$\chi(R)$ ein Teiler von $\chi(S)$. Wenn $R\subseteq S$ Ringe mit
$1_R=1_S$, dann $\chi(R)=\chi(S)$.
\bigskip

\item{\bf 6.}
Seien $K\subseteq F$ K\"orper, $f,g,h\in K[x]$ mit $f=gh$.
Wenn $f$ \"uber $F$ in Linearfaktoren zerf\"allt, dann auch $g$ und $h$. 
\bigskip

\bye
