1. Übungsblatt Endliche Körper und Codierung SS 2008

1. Seien R ⊆ S Hauptidealringe (d.h. kommutative Ringe mit 1, in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist), a, b, d ∈ R. Wenn ggT(a, b) = d in R, dann auch in S.

2. Seien K ⊆ F Körper, S eine Teilmenge von F. Wenn K[S] ein Körper ist, dann K[S] = K(S).

3. Sei f ∈ K[x] mit deg f = n ≥ 1. Verfeinern Sie den Beweis der Existenz eines Zerfällungskörpers F von f über K so, daß hervorgeht, daß [F : K] ein Teiler von n! ist. (Fallunterscheidung, f irreduzibel in K[x] oder nicht.)

4. Sei F : K Körpererweiterung, u ∈ F.

(a) Wenn f ∈ K[x] irreduzibel mit f(u) = 0, dann ist f bis auf Multiplikation mit einer Konstante c ∈ K \ {0} das Minimalpolynom von u über K.

(b) Wenn f ein Polynom minimalen Grades in K[x] mit f(u) = 0 ist, dann ist f bis auf Multiplikation mit einer Konstante c ∈ K \ {0} das Minimalpolynom von u über K.

5. Seien R ⊆ S Ringe (möglicherweise ohne 1). Dann ist χ(R) ein Teiler von χ(S). Wenn R ⊆ S Ringe mit 1_{R} = 1_{S}, dann χ(R) = χ(S).

6. Seien K ⊆ F Körper, f, g, h ∈ K[x] mit f = gh. Wenn f über F in Linearfaktoren zerfällt, dann auch g und h.