Kommutative Ringe

Zeit/Ort: Mi, Do 16-18 SR C307
Beginn: Mi 8.10. 16h C307

Wintersemester 2008/09: Die Lehrveranstaltungen AK Algebra (kommutative Ringe) 501.830/501.831 einerseits und Kommutative Ringe 501.910/501.911 andererseits werden gemeinsam abgehalten und unterscheiden sich nur dadurch, daß die einen LV-Nummern fuer's Doktoratsstudium und die anderen fuer's Bakk- und Master-Studium anrechenbar sind und daß Leute im Doktoratsstudium schwierigere Hausübungsbeispiele bekommen als Leute im Bakk- bzw. Masterstudium.

Wir werden Noethersche Ringe (benannt nach Emmy Noether 1882-1935) und auch Nicht-Noethersche Ringe betrachten. Noethersche Ringe haben sowohl in der algebraischen Geometrie als auch in der algebraischen Zahlentheorie grundlegende Bedeutung: in der algebraischen Geometrie, weil man Eigenschaften einer Kurve oder Fläche im Raum, die durch ein System von Polynomgleichungen in mehreren Variablen definiert ist, durch Eigenschaften von Restklassenringen von Polynomringen erklären kann, und in der Zahlentheorie, weil in endlichen Körpererweiterungen der rationalen Zahlen (wo sich die algebraische Zahlentheorie eben abspielt), spezielle Ringe mit der Eigenschaft, daß jedes Ideal eine Zerlegung in Primfaktoren hat, sogenannte Dedekind-Ringe, die Rolle der ganzen Zahlen spielen.

Nicht-Noethersche Ringe werden vor allem in der Gestalt von Bewertungsringen (wichtige Hilfsmittel in der Ringtheorie) und Prüfer-Ringen auftauchen. Prüfer-Ringe sind Nicht-Noethersche Analoga von Dedekind Ringen. Beispiel eines Nicht-Noetherschen Prüfer-Rings ist Int(Z), der Ring aller jener Polynome f in Q[x], fuer die f(z) eine ganze Zahl ist fuer jede ganze Zahl z. Dieser Ring hat so manche "schöne" Eigenschaft, die der - dafür Noethersche - Ring Z[x] nicht hat, z.B. kann man jede Funktion von Z nach Z an beliebig vielen Stellen durch ein Polynom in Int(Z), i.A. aber nicht durch ein Polynom in Z[x], interpolieren. Wir werden auf die Zusammenhänge zwischen "Prüfer" und anderen "schönen" Eigenschaften genauer eingehen.

Es gibt auf diesem Gebiet noch viele ungelöste Fragen und offene Vermutungen - auch solche, die mit vorhandenen und in Entwicklung begriffenen Methoden angreifbar erscheinen, und es gibt auch eine Reihe von eleganten Resultaten, die in den letzten Jahren bewiesen worden sind und noch nicht in den Lehrbüchern stehen. Auf einige von diesen werden wir besonders eingehen.

Gleichzeitig eignet sich die VO auch als Vorbereitung auf die VO des Gastprofessors Vaserstein im Sommersemester 2009 "classical groups over commutative rings", die von linearer Algebra über einem kommutativen Ring R und Gruppen wie GL_n(R) und SL_n(R) handelt. (L. Vaserstein ist zu diesem Thema einer der weltweit bestinformierten Mathematiker und seine VO für alle Algebra- oder Zahlentheorie- Interessierten daher ausserst empfehlenswert.)

Voraussetzungen:
Ein paar Begriffe wie Ideale, Ringhomomorphismen, Polynomring, etc. aus der Algebra Vorlesung werden als bekannt vorausgesetzt. Manches aus der Algebra-Vorlesung wird auch noch einmal genauer wiederholt (Lokalisierung, Bewertungen) und dadurch vielleicht klarer werden. Überhaupt möchte ich mich in der Stoffauswahl und dem Grad der Ausführlichkeit, mit der die "basics" der Ringtheorie wie ganzer Abschluß, Lokalisierung, Vervollständigung, etc. behandelt werden, nach den Vorkenntnissen und Wünschen der Hörer richten. Geeignet für Mathematik-Interesierte ab dem 5. Semester.

Beurteilungsmodus: Hausübungsbeispiele.

Literatur:
Originalliteratur sowie ein im entstehen begriffenes Skriptum. Dieses ist noch ziemlich fragmentarisch; ich werde anläßlich der Vorlesung wieder ein paar zusätzlche Kapitel verfassen.

Sophie Frisch
frisch@blah.math.tu-graz.ac.at