Algebra Übungen 7 WS 02/03

68. Geben Sie einen Isomorphismus an zwischen M_{n}(R[x]) , dem Ring der n×n Matrizen mir Eintragungen im Polynomring R[x] , und M_{n}(R)[x] , dem Polynomring in einer Unbestimmten mit Koeffizienten in M_{n}(R) . (Hiebei ist R ein kommutativer Ring mit Eins.)

69. Seien f, g und h Polynome in R[x] ( R ein kommutativer Ring mit Eins), davon f ein normiertes Polynom (d.h. mit Leitkoeffizient 1 ) sodaß f · g = h. Sei S ein Unterring von R. Zeigen Sie: wenn f und h in S[x] , dann auch g ∈ S[x] .

70. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, a, b, d ∈ R, d kein Nullteiler. Wenn d = ggT(a, b) wobei a = da′ , b = db′ , dann gilt ggT(a′, b′) = 1 .

71. Sei R ein ZPE-Ring und a, b, c ∈ R. Wenn ggT(a, b) = 1 und a | bc, dann folgt a | c.

72. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, I ein Ideal von R und I[x] das Ideal von R[x] bestehend aus jenen Polynomen, deren Koeffizienten alle in I liegen.

(i) Geben Sie einen Isomorphismus an φ: (R/I)[x] → R[x]/I[x] .

(ii) ψ: R[x] → (R/I)[x] , gegeben durch ψ(∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}) = ∑_{k=0}^{n}(a_{k} + I)x^{k} , ist ein Ringepimorphismus.

73. Sei f ∈ ℤ[x] ein normiertes Polynom. Wenn für eine Primzahl p das Polynom f̄ in ℤ_{p}[x] (das aus f hervorgeht, indem man die Koeffizienten modulo p nimmt), irreduzibel ist, dann ist f in ℤ[x] irreduzibel. Geben Sie ein Beispiel, daß das für ein nicht normiertes Polynom nicht gelten muß.

74. Sei f ∈ R[x] , R ein Integritätsbereich, c ∈ R und m ∈ ℕ. c ist Nullstelle von f vom Grad m genau dann, wenn c Nullstelle von f ist und Nullstelle vom Grad m − 1 von f′ .

75. Sei R ein Euklidischer Ring, dessen Rangfunktion ρ(ab) ≥ ρ(a) (für a, b ∈ R mit ab ≠ 0 ) erfüllt. Zeigen Sie: u ∈ R ist Einheit genau dann, wenn u minimalen Rang hat (d.h. ρ(u) = min{ρ(a) | a ∈ R \ {0}}).

76. Sei D ein Integritätsbereich und kein Körper, dann ist D[x] kein Hauptidealring. (Betrachten Sie das Ideal jener Polynome, deren konstanter Term in I liegt, I ein nichttriviales Ideal von D.)

77. Sei R ein ZPE-Ring mit Quotientenkörper K und f, g, h ∈ K[x] normierte Polynome mit f · g = h. Wenn h ∈ R[x] , dann folgt f ∈ R[x] und g ∈ R[x] .