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\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Eins-element andern-falls so-ge-nannte Nil-radikal} 

\mathsurround=2pt

\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}
\def\Nil{\hbox{\rm Nil}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
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\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\ker{\hbox{{\rm ker}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}
\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}
\def\grq{``}
\bigskipamount=4pt plus 1 pt minus 1 pt

\line{\bf Algebra \"Ubungen 6 \hfill {\rm WS 02/03}}
\bigskip \medskip

%\noindent Notation: $\nt$ steht f\"ur \glq ist Ideal von'',
%$\le$ f\"ur \glq ist Unterring von''.
%\medskip

\item{\bf 52.} Sei $R$ ein Ring. F\"ur $A,\, B\subseteq R$ sei
$AB=\{a_1b_1+\ldots+a_nb_n\mid n\in\natn, a_i\in A, b_i\in B\}$
und $A+B=\{a+b\mid a\in A, b\in B\}$. Sei $a\in R$, und 
$A,\,B,\,C\subseteq R$. Dann gilt
\itemitem{(i)} $A+(B+C)=(A+B)+C$
\itemitem{(ii)} $A(BC)=(AB)C$
\itemitem{(iii)}wenn $A\nt R$ und $B\nt R$, dann auch $A+B\nt R$ und $AB\nt R$
\itemitem{(iv)}wenn $A\nt R$ und $R$ ein Einselement hat, dann gilt $RA=AR=A$
\itemitem{(v)} $B$ bzgl.~$+$ abgeschlossen \ \ $\Longrightarrow$ \ \ 
$aB=\{a\cdot b\mid b\in B\}$ \ und \ $Ba=\{b\cdot a\mid b\in B\}$.
\bigskip

\item{\bf 53.} Sei $R$ ein Ring, und $A$, $B$, $B_1$, $\ldots$, $B_n$,
$C$ Teilmengen von $R$.
\hfill\break
Wenn $0\in B$ und $0\in C$, dann
$A(B+C)=AB+AC$ \ \ und \ \ $(B+C)A=BA+CA$.
\item{}
Etwas allgemeiner gilt: wenn $0\in B_i$ f\"ur $1\le i\le n$, dann 
$$A(B_1+\ldots+B_n)=AB_1+\ldots+AB_n\quad\hbox{\rm\ und\ }\quad
(B_1+\ldots+B_n)A=B_1A+\ldots+B_nA.$$ 

\item{\bf 54.}
%Das von $a$ erzeugte Linksideal [bzw.~Rechtsideal] in $R$ sei
%definiert als Durchschnitt aller Linksideale [bzw.~Rechtsideale]
%von $R$, die $a$ enthalten. 
Ein Ring $R$ hei\ss t {\it linkseinfach} [bzw.~{\it rechtseinfach\/}],
wenn er keine
Linksideale [bzw.\ Rechtsideale] au\ss er $(0)$ und $R$ hat.
Sei $R$ ein Ring, $a\in R$.
\itemitem{(i)} $Ra$ ist ein Linksideal; $aR$ ein Rechtsideal.
\itemitem{(ii)} Wenn $R$ ein Einselement hat, dann ist $Ra$ das
von $a$ erzeugte Linksideal und $aR$ das von $a$ erzeugte
Rechtsideal.
\itemitem{(iii)} Wenn $R$ ein Einselement hat, dann ist $R$ linkseinfach
genau dann, wenn jedes $a\in R\setminus \{0\}$ links\-in\-vert\-ier\-bar
ist [und analog f\"ur rechts].
\itemitem{(iv)} Sei $R\ne\{0\}$ ein Ring mit Eins. $R$ ist Schiefk\"orper
genau dann, wenn $R$ linkseinfach ist.
\bigskip

\item{\bf 55.} 
Sei $R\ne\{0\}$ ein Ring. $R$ ist Schiefk\"orper genau dann,
wenn $R$ linkseinfach, rechtseinfach und nullteilerfrei ist.
\bigskip

\item{\bf 56.} Sei $R$ ein Ring, $a,\,b\in R$. Dann gilt
$(ab)\subseteq (a)(b)$.\hfill\break
Wenn $R$ kommutativ ist, dann gilt $(ab)=(a)(b)$.
\bigskip

\item{\bf 57.}
F\"ur $1\le i\le n$ sei $R_i$ ein Ring mit Eins. Dann ist jedes
Ideal von $R_1\times\ldots\times R_n$ der Form
$I_1\times\ldots\times I_n=\{(r_1,\ldots,r_n)\mid r_j\in I_j\}$,
wobei $I_j$ ein Ideal von $R_j$ ist.
\bigskip

\itemitem{\hbox{{\bf 58.}{\rm \ \ \  (i)}}}
Sei $I$ ein Ideal von $R$, dann ist $R/I\ne(0)$ und
nullteilerfrei genau dann, wenn $I\ne R$ und f\"ur alle $a,\,b\in R$ gilt:
$ab\in I\Longrightarrow a\in I \lor a\in I$.
\itemitem{\rm (ii)}
Sei $R$ kommutativer Ring mit Eins, $P$ Ideal von $R$, dann gilt
$$P \hbox{\rm \ \ Primideal}\iff R/P \hbox{\rm\ \  Integrit\"atsbereich}$$
\bigskip

\item{\bf 59.} Wenn $S$ Unterring von $R$, dann ist $\chi(S)$ ein
Teiler von $\chi(R)$. (Dabei gilt jede ganze Zahl als Teiler von
$0$.)
\bigskip

\item{\bf 60.}
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $a\in R$, dann
gilt\hfill\break {\openup-1\jot
$$ a \hbox{\rm\ \ ist Einheit\ }\iff 
\hbox{\rm\ f\"ur jedes maximale Ideal $M$ von $R$ gilt\ } a\notin M$$
}

\hfuzz=0.7pt
\item{\bf 61.} Jeder endliche nullteilerfreie Ring $R\ne\{0\}$ ist
Schiefk\"orper;
insbesondere ist jeder endliche Integrit\"atsbereich ein
K\"orper.
\item{} (Bemerkung: Tats\"achlich ist jeder endliche nullteilerfreie
Ring $R\ne\{0\}$ ein K\"orper, da nach dem Satz von Wedderburn jeder
endliche Schiefk\"orper ein K\"orper ist.)
\bigskip

\item{\bf 62.} Sei $K$ ein K\"orper, dann hat $M_n(K)$,  der Ring der
$n\times n$ Matrizen \"uber $K$, keine Ideale au\ss er $\{0\}$
und $M_n(K)$.
\smallskip
\item{}(Hinweis: Multiplikation von $A\in M_n(K)$ (nicht die
Null-Matrix)
mit $E_{ij}$ von links und $E_{kl}$ von rechts, wobei $E_{ij}$
die Matrix mit
der Eintragung $1$ an der Stelle $(i,j)$ und $0$ sonst bezeichnet).
\bigskip

\item{\bf 63.}
Sei $S$ eine Menge, ${\cal P}(S)$ die Menge aller Teilmengen von $S$.
F\"ur $A,\,B\in {\cal P}(S)$ sei
$$A+B:=A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\quad
\hbox{\rm \ und\ }\quad A\cdot B:= A\cap B$$
definiert. Mit dieser Addition und Multiplikation ist ${\cal P}(S)$
ein \glq Boole'scher Ring\grq, d.\ h.\ ein  kommutativer Ring mit
Eins, in dem $a^2=a$ f\"ur jedes Element $a$ gilt.
\bigskip

\item{\bf 64.}
Der Ring in Beispiel 63 ist isomorph zu $\prod_{x\in S} \intz_2$
(direktes Produkt je einer Kopie von $\intz_2$ f\"ur jedes Element
von $S$).
\bigskip

\item{\bf 65.}
Sei $(G,+)$ eine kommutative Gruppe, und
${\rm End(G)}=\{\varphi\colon G\rightarrow G\mid
\varphi(g+h)=\varphi(g)+\varphi(h)\}$ die Menge der Endomorphismen
von $G$. Dann ist $({\rm End(G)},+,\circ)$ mit der Addition
$(\varphi+\psi)(g)=\varphi(g)+\psi(g)$ und der Multiplikation
$(\varphi\circ\psi)(g)=\varphi(\psi(g))$ ein Ring mit Eins.
\bigskip

\item{\bf 66.} 
Zeigen Sie mit kombinatorischen Argumenten (d.h., mit Hilfe der
Interpretation von ${n\choose k}$ als Anzahl der $k$-elementigen
Teilmengen einer $n$-elementigen Menge):
$${{n+1}\choose k}= {n\choose {k-1}} + {n\choose k}\leqno{(1)}$$
$$\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}=2^n\qquad\hbox{\rm und}\qquad
\sum_{k=0}^{n}(-1)^k {n\choose k}=0\leqno{(2)}$$
\bigskip

\item{\bf 67.} Sei $R$ ein Ring, $\chi(R)=n\in \natn$ und $m\in\natn$
ein Vielfaches von $n$. $S$ sei die Menge $\intz_m\times R$ mit
der Addition $(\bar k,r)+(\bar l,s)=(\overline{k+l},\, r+s)$ und der
Multiplikation
$(\bar k,r)\cdot (\bar l,s)=(\overline{k\cdot l},\,
ks + lr +r\cdot s)$,
dann gilt:\smallskip
$S$ ist Ring mit Eins, $\chi(S)=m$, und wenn $R$ kommutativ ist,
dann auch $S$.
\bigskip

\bye
