Algebra Übungen 6 WS 02/03

52. Sei R ein Ring. Für A, B ⊆ R sei AB = {a_{1}b_{1} + … + a_{n}b_{n} | n ∈ ℕ, a_{i} ∈ A, b_{i} ∈ B} und A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}. Sei a ∈ R, und A, B, C ⊆ R. Dann gilt

(i) A + (B + C) = (A + B) + C (ii) A(BC) = (AB)C (iii) wenn A ⊴ R und B ⊴ R, dann auch A + B ⊴ R und AB ⊴ R (iv) wenn A ⊴ R und R ein Einselement hat, dann gilt RA = AR = A

(v) B bzgl. + abgeschlossen ⟹ aB = {a·b | b ∈ B} und Ba = {b·a | b ∈ B}.

53. Sei R ein Ring, und A, B , B_{1} , …, B_{n} , C Teilmengen von R.

Wenn 0 ∈ B und 0 ∈ C , dann A(B +C) = AB +AC und (B +C)A = BA+CA. Etwas allgemeiner gilt: wenn 0 ∈ B_{i} für 1 ≤ i ≤ n, dann A(B_{1} + … + B_{n}) = AB_{1} + … + AB_{n} und (B_{1} + … + B_{n})A = B_{1}A + … + B_{n}A.

54. Ein Ring R heißt linkseinfach [bzw. rechtseinfach], wenn er keine Linksideale [bzw. Rechtsideale] außer (0) und R hat. Sei R ein Ring, a ∈ R.

(i) Ra ist ein Linksideal; aR ein Rechtsideal. (ii) Wenn R ein Einselement hat, dann ist Ra das von a erzeugte Linksideal und

aR das von a erzeugte Rechtsideal. (iii) Wenn R ein Einselement hat, dann ist R linkseinfach genau dann, wenn jedes

a ∈ R \ {0} linksinvertierbar ist [und analog für rechts]. (iv) Sei R ≠ {0} ein Ring mit Eins. R ist Schiefkörper genau dann, wenn R

linkseinfach ist.

55. Sei R ≠ {0} ein Ring. R ist Schiefkörper genau dann, wenn R linkseinfach, rechtseinfach und nullteilerfrei ist.

56. Sei R ein Ring, a, b ∈ R. Dann gilt (ab) ⊆ (a)(b) .

Wenn R kommutativ ist, dann gilt (ab) = (a)(b) .

57. Für 1 ≤ i ≤ n sei R_{i} ein Ring mit Eins. Dann ist jedes Ideal von R_{1} × … × R_{n} der Form I_{1} × … × I_{n} = {(r_{1}, …, r_{n}) | r_{j} ∈ I_{j}}, wobei I_{j} ein Ideal von R_{j} ist.

58. (i) Sei I ein Ideal von R, dann ist R/I ≠ (0) und nullteilerfrei genau dann, wenn

I ≠ R und für alle a, b ∈ R gilt: ab ∈ I ⟹ a ∈ I ∨ a ∈ I . (ii) Sei R kommutativer Ring mit Eins, P Ideal von R, dann gilt

P Primideal ⟺ R/P Integritätsbereich

59. Wenn S Unterring von R, dann ist χ(S) ein Teiler von χ(R) . (Dabei gilt jede ganze Zahl als Teiler von 0 .)

60. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, a ∈ R, dann gilt a ist Einheit ⟺ für jedes maximale Ideal M von R gilt a ∉ M 61. Jeder endliche nullteilerfreie Ring R ≠ {0} ist Schiefkörper; insbesondere ist jeder

endliche Integritätsbereich ein Körper.

(Bemerkung: Tatsächlich ist jeder endliche nullteilerfreie Ring R ≠ {0} ein Körper, da nach dem Satz von Wedderburn jeder endliche Schiefkörper ein Körper ist.)

62. Sei K ein Körper, dann hat M_{n}(K) , der Ring der n × n Matrizen über K , keine Ideale außer {0} und M_{n}(K) .

(Hinweis: Multiplikation von A ∈ M_{n}(K) (nicht die Null-Matrix) mit E_{ij} von links und E_{kl} von rechts, wobei E_{ij} die Matrix mit der Eintragung 1 an der Stelle (i, j) und 0 sonst bezeichnet).

63. Sei S eine Menge, P(S) die Menge aller Teilmengen von S . Für A, B ∈ P(S) sei

A + B := A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) und A · B := A ∩ B

definiert. Mit dieser Addition und Multiplikation ist P(S) ein ,,Boole’scher Ring“, d. h. ein kommutativer Ring mit Eins, in dem a^{2} = a für jedes Element a gilt.

64. Der Ring in Beispiel 63 ist isomorph zu ∏_{x∈S} ℤ_{2} (direktes Produkt je einer Kopie von ℤ_{2} für jedes Element von S ).

65. Sei (G, +) eine kommutative Gruppe, und End(G) = {φ: G → G | φ(g + h) = φ(g) + φ(h)} die Menge der Endomorphismen von G. Dann ist (End(G), +, ∘) mit der Addition (φ + ψ)(g) = φ(g) + ψ(g) und der Multiplikation (φ ∘ ψ)(g) = φ(ψ(g)) ein Ring mit Eins.

66. Zeigen Sie mit kombinatorischen Argumenten (d.h., mit Hilfe der Interpretation von \binom{n}{k} als Anzahl der k -elementigen Teilmengen einer n -elementigen Menge):

(1)  \binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k − 1} + \binom{n}{k}

(2)  ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}  und  ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}\binom{n}{k} = 0

67. Sei R ein Ring, χ(R) = n ∈ ℕ und m ∈ ℕ ein Vielfaches von n. S sei die Menge ℤ_{m} ×R mit der Addition (k̄, r)+(l̄, s) = (\overline{k + l}, r +s) und der Multiplikation (k̄, r) · (l̄, s) = (\overline{k · l}, ks + lr + r · s) , dann gilt:

S ist Ring mit Eins, χ(S) = m, und wenn R kommutativ ist, dann auch S .