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\hyphenation{Eins-element andern-falls so-ge-nannte Nil-radikal} 

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%\def\n{\underline{n}}

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% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
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\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\ker{\hbox{{\rm ker}}}
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\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\Nil{\hbox{\rm Nil}}
\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}

\line{\bf Algebra \"Ubungen 5 \hfill{\rm WS02/03} }
\bigskip \medskip

\item{\bf 42.}
Jede Gruppe der Ordnung 56 hat einen nichttrivialen Normalteiler.
\bigskip

\item{\bf 43.}
Jede Gruppe der Ordnung 200 hat einen nichttrivialen Normalteiler.
\bigskip

\item{\bf 44.}
Sei $H$ eine endliche $p$-Gruppe. Dann ist ${\rm Z}(H)\ne \{e\}$.
(Allgemeiner: Wenn eine endliche $p$-Gruppe $H$ Untergruppe einer
endlichen Gruppe $G$ ist, dann ist $H\cap {\rm Z}(G)\ne \{e\}$.)
\bigskip

\item{\bf 45.}
Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring und $a,\,b,\,c\in R$. Zeigen Sie
\itemitem{(i)} $0\cdot a=0=a\cdot 0$
\itemitem{(ii)} $(-a)\cdot b=-(a\cdot b)=a\cdot (-b)$\ \ \  und\ \ \  
$(-a)\cdot (-b)=a\cdot b$
\itemitem{(iii)} $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$\ \ \  und\ \ \ 
$(a-b)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c$
\bigskip

\item{\bf 46.} Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring,
$a,\, b\in R$, $k\in\natn_0$ und $n,\, m\in \intz$.  Zeigen Sie
\itemitem{(i)} $(-a)^{k}=(-1)^ka^k$
\itemitem{(ii)} $(na)\cdot (mb) = (n\cdot m)(a\cdot b)$\ \ \ \ (Hier ist 
$n\cdot m$ das Produkt in $\intz$.)
\itemitem{(iii)} Wenn $R$ ein Einselement $1_R$ hat, dann ist \ 
$na=(n1_R)\cdot a= a\cdot (n1_R)$.
\bigskip

\item{\bf 47.} Sei $R$ ein Ring; $a$ hei\ss e Links-Nullteiler, wenn
$\exists b\in R$ mit $b\ne 0$ und $a\cdot b=0$.
Dann ist f\"ur $a\in R$ ist \"aquivalent:
\itemitem{(1)} $a$ ist links k\"urzbar
(d.h.~$a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow b=c$)
\itemitem{(2)} $a$ ist kein Links-Nullteiler
\itemitem{(3)} $L_a\colon R\rightarrow R$, $L_a(x)=a\cdot x$ ist injektiv.
\item{} Au\ss erdem ist (in einem Ring mit Eins)
jede Links\-einheit links k\"urzbar.
\bigskip

\item{\bf 48.}
Sei $(R,+,\cdot)$ ein kommutativer Ring, $a,\,b\in R$ und $n\in \natn$.
Zeigen Sie
$$a^n-b^n = (a-b)\cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1}\cdot b^k\,.$$
(Wenn $R$ kein Einselement hat, definieren wir f\"ur $r,\,s\in R$
$r\cdot s^0:=r$ und $ s^0\cdot r:=r$.)
\bigskip

\item{\bf 49.} Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring,
$\Nil (R)=\{a\in R\,|\, \exists n\in\natn\> a^n=0\}$ die
Menge der nilpotenten Elemente von $R$.
Wenn $R$ kommutativ ist, dann ist $\Nil(R)$ ein Ideal von $R$.
\bigskip

\item{\bf 50.} Sei $(R,+,\cdot)$ ein kommutativer Ring mit Eins,
$E(R)$ die Menge der invertierbaren Elemente (Einheiten) von $R$,
und $a,\, b\in R$. Dann gilt
\itemitem{(i)} $a\in E(R),\; b\in \Nil(R)\;\Longrightarrow\;
a-b,\; a+b \in E(R)$
\itemitem{(ii)} $1_R - b\in \Nil(R)\;\Longrightarrow\; b \in E(R)$.
\bigskip

\item{\bf 51.} Sei $R$ ein kommutativer Ring.
\itemitem{\ \ (i)}
Wenn $a\in R$ ein Nullteiler und $b\in R$ beliebig, dann ist
$ab$ ein Nullteiler. Die Nullteiler von $R$ bilden jedoch im
Allgemeinen kein Ideal (Beispiel).
\itemitem{\ \ (ii)} Die Menge der Nicht-Nullteiler von $R$ ist
multiplikativ abgeschlossen, d.h., wenn $a$ kein Nullteiler und
$b$ kein Nullteiler, dann ist auch $ab$  kein Nullteiler.

\bye
