Algebra Übungen 4 WS02/03

31. Die Quaternionengruppe Q_{8} ist auf der Menge {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} durch die Verknüpfungen: i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj = −i, ik = −j, und Rechnen mit −1 wie man es sich vorstellt, d.h., (−1)^{2} = 1, (−1)x = −x = x(−1) und (−x)y = −(xy) = x(−y) für x, y ∈ {i, j, k}, definiert. Zeigen Sie: Jede echte Untergruppe ist zyklisch, Q_{8} aber ist nicht zyklisch.

32. Sei Q_{8} die Quaternionengruppe. Zeigen Sie (i) Jede Untergruppe der Q_{8} ist Normalteiler. (ii) Q_{8} ist nicht isomorph zur D_{4}

33. Finden Sie Gruppen H_{1}, H_{2}, K_{1} und K_{2} sodaß H_{1} × H_{2} ≃ K_{1} × K_{2}, aber kein H_{i} zu einem K_{i} isomorph ist.

34. Seien G, H endliche zyklische Gruppen. G × H ist zyklisch genau dann, wenn ggT(|G| , |H|) = 1.

35. Sei I eine Menge und für i ∈ I sei G_{i} eine Gruppe. Wenn P und Q Gruppen, und für i ∈ I p_{i}: P → G_{i} und q_{i}: Q → G_{i} Gruppenhomomorphismen sind, sodaß (P, {p_{i} | i ∈ I}) und (Q, {q_{i} | i ∈ I}) beide die universelle Eigenschaft des direkten Produkts der G_{i} erfüllen, dann sind P und Q isomporph mittels eines Isomorphismus φ: P → Q mit q_{i} ∘ φ = p_{i} und p_{i} ∘ φ^{−1} = q_{i}.

36. Sei N ⊴ G. Es existiert genau dann eine Untergruppe K ≤ G mit G = NK und N ∩ K = {e}, wenn die kanonische Projektion π: G → G/N eine Rechtsinverse hat (d.h. wenn es einen Homomorphismus f: G/N → G mit π ∘ f = id_{G/N} gibt); und wenn es so eine Untergruppe K gibt, dann ist sie isomorph zu G/N.

37. Sei G eine Gruppe; für g ∈ G sei φ_{g}: G → G durch φ_{g}(x) = gxg^{−1} definiert, und Inn(G) := {φ_{g} | g ∈ G}. Zeigen Sie: Inn(G) ist Untergruppe von Aut(G) und Inn(G) ≃ G/Z(G).

38. Finden Sie zwei nicht isomorphe endliche Gruppen G, H, sodaß für jedes n ∈ ℕ G und H gleich viele Elemente der Ordnung n haben. (Hinweis: Ordnung 8 bzw. 16).

39. Eine Untergruppe H einer Gruppe G heißt charakteristische Untergruppe, wenn für jeden Automorphismus φ von G gilt φ(H) = H. Eine Untergruppe H von G heißt totalinvariant, wenn für jeden Endomorphismus φ von G gilt φ(H) ⊆ H. Zeigen Sie:

(i) Jede charakteristische Untergruppe ist Normalteiler. (ii) Jede totalinvariante Untergruppe ist charakteristisch. (iii) Das Zentrum Z(G) = {g ∈ G | ∀x ∈ G xg = gx} einer Gruppe G ist eine

charakteristische Untergruppe von G.

40. Bestimmen Sie das Zentrum der Gruppe GL_{n}(ℝ). (Hinweis: betrachten Sie spezielle, ganz, ganz einfache Matrizen, und die Bedingung, mit allen denen zu kommutieren.)

41. Finden Sie ein Beispiel einer Gruppe G, deren Zentrum keine totalinvariante Untergruppe ist.