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\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=8pt plus 1pt

\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\divides{\mathrel\big\vert}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\ker{\hbox{{\rm ker}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}

\line{{\bf Algebra \"Ubungen 3} \hfill{\rm WS 02/03} }
\bigskip \bigskip \bigskip
\vskip.5truecm

\item{\bf 20.}
Sei $G$ Gruppe, und $S,\,T\le G$.
Dann gilt $|ST|=|S|\,[T\colon S\cap T]$.\hfill\break
Wenn $S$ und $T$ endlich sind, dann gilt
$$|ST|={{|S|\,|T|}\over {|S\cap T|}}\>.$$
\bigskip

\item{\bf 21.} 
Sei G Gruppe, $H,\,K\le G$. $H\cup K$ ist Gruppe genau dann, wenn
$H\subseteq K$ oder $K\subseteq H$.
\bigskip

\item{\bf 22.} 
Sei G Gruppe und $H,\,K\le G$.
$HK$ ist eine Gruppe genau dann, wenn $HK=KH$.
\bigskip

\item{\bf 23.} 
Sei G Gruppe, $H,\,K\le G$, $H\lor K:=\langle H\cup K\rangle$. Dann gilt
$H\lor K=HK$ genau dann, wenn $HK$ eine Gruppe ist.
\bigskip

\item{\bf 24.}
Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe, und $a,\>b \in G$
mit $|a|,\> |b|$ endlich.\hfill\break
\itemitem{(i)} Wenn $\ggT(|a|,\,|b|)=1$ und $ab=ba$, dann gilt
$|ab|=|a| |b|$.
\itemitem{(ii)}
Etwas allgemeiner: wenn 
$\langle a\rangle\cap \langle b\rangle =\{e\}$ und $ab=ba$, dann
folgt $|ab|=\kgV(|a|, |b|)$.
\bigskip

\item{\bf 25.} Sei $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.
\itemitem{(i)} Wenn f\"ur $a\in G$ seine Ordnung $\left|a\right|$ in
$G$ bekannt ist, was kann man \"uber die Ordnung von $f(a)$ in $H$
aussagen?
\itemitem{(ii)} Wenn $K\le G$ eine Untergruppe ist, deren  Ordnung
$\left|K\right|$ und Index $[G:K]$ bekannt sind, was kann man \"uber
$\left|f(K)\right|$ und $[H:f(K)]$ aussagen?
\bigskip

\item{\bf 26.} F\"ur $n\in\natn$ bezeichne $(C_n, \cdot)$ die zyklische
Gruppe der Ordnung $n$. Bestimmen Sie
\itemitem{(i)} alle Gruppenhomomorphismen $\varphi\colon C_n\rightarrow C_m$
\itemitem{(ii)}  alle Automorphismen von $C_n$
\bigskip


\item{\bf 27.} {\bf Zur Zyklendarstellung von Permutationen}
\itemitem{(a)}  Seien  $\pi,\,\tau\in S_n$, $\tau$ eine Transposition.
Wie unterscheidet sich die Zyklendarstellung von $\tau\pi$ (oder $\pi\tau$)
von der von $\pi$?
\itemitem{(b)}
Wie sieht man
die Ordnung einer Permutation aus ihrer Zyklendarstellung?
\bigskip

\item{\bf 28.}
Sei $\pi\in S_n$ ein $r$-Zyklus. Ermitteln Sie die Ordnung
von $\pi$ in $S_n$ und den Zyklentyp der $k$-ten Potenz
von $\pi$, f\"ur $k\in\intz$.
%\itemitem{(d)} Was kann man \"uber den Zyklentyp von $L_a\in S_G$ in der 
%Cayley-Darstellung einer endlichen Gruppe $G$ sagen?
%\itemitem{(e)} Sei $\pi\in S_n$, $z(\pi)$ die Anzahl der Zyklen in der 
%Zyklendarstellung von $\pi$, dann gilt ${\rm sgn}(\pi)=(-1)^{n-z(\pi)}$.
\bigskip

\item{\bf 29.}
Bestimmen Sie alle Normalteiler der $S_4$. (Es hilft, die  Elemente der
$S_4$ nach Zyklentyp geordnet anzuschreiben.)
\bigskip

\item{\bf 30.} Sei $p$ eine Primzahl, dann gibt es (bis auf Isomorphie)
genau eine Gruppe der Ordnung $p$, und genau zwei verschiedene Gruppen
der Ordnung $p^2$. N\"amlich welche?
\bigskip

\bye
