Algebra Übungen 3 WS 02/03

20. Sei G Gruppe, und S, T ≤ G. Dann gilt |ST | = |S| [T: S ∩ T].

Wenn S und T endlich sind, dann gilt

|ST | = \frac{|S| |T |}{|S ∩ T |} .

21. Sei G Gruppe, H, K ≤ G. H ∪ K ist Gruppe genau dann, wenn H ⊆ K oder K ⊆ H.

22. Sei G Gruppe und H, K ≤ G. HK ist eine Gruppe genau dann, wenn HK = KH.

23. Sei G Gruppe, H, K ≤ G, H ∨ K := ⟨H ∪ K⟩. Dann gilt H ∨ K = HK genau dann, wenn HK eine Gruppe ist.

24. Sei (G, ·) eine Gruppe, und a, b ∈ G mit |a|, |b| endlich.

(i) Wenn ggT(|a|, |b|) = 1 und ab = ba, dann gilt |ab| = |a||b|.

(ii) Etwas allgemeiner: wenn ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = {e} und ab = ba, dann folgt |ab| =

kgV(|a|, |b|).

25. Sei f: G → H ein Gruppenhomomorphismus.

(i) Wenn für a ∈ G seine Ordnung |a| in G bekannt ist, was kann man über die Ordnung von f(a) in H aussagen?

(ii) Wenn K ≤ G eine Untergruppe ist, deren Ordnung |K| und Index [G : K] bekannt sind, was kann man über |f(K)| und [H : f(K)] aussagen?

26. Für n ∈ ℕ bezeichne (C_{n}, ·) die zyklische Gruppe der Ordnung n. Bestimmen Sie (i) alle Gruppenhomomorphismen φ: C_{n} → C_{m} (ii) alle Automorphismen von C_{n}

27. Zur Zyklendarstellung von Permutationen

(a) Seien π, τ ∈ S_{n}, τ eine Transposition. Wie unterscheidet sich die Zyklendarstellung von τπ (oder πτ) von der von π?

(b) Wie sieht man die Ordnung einer Permutation aus ihrer Zyklendarstellung?

28. Sei π ∈ S_{n} ein r-Zyklus. Ermitteln Sie die Ordnung von π in S_{n} und den Zyklentyp der k-ten Potenz von π, für k ∈ ℤ.

29. Bestimmen Sie alle Normalteiler der S_{4}. (Es hilft, die Elemente der S_{4} nach Zyklentyp geordnet anzuschreiben.)

30. Sei p eine Primzahl, dann gibt es (bis auf Isomorphie) genau eine Gruppe der Ordnung p, und genau zwei verschiedene Gruppen der Ordnung p^{2}. Nämlich welche?