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\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

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\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}

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% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
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\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
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\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
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\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\ratq{{\bb Q}}
\def\reals{{\bb R}} \def\compl{{\bb C}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}

\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\bf Algebra \"Ubungen 2} \hfill {\rm WS 02/03} }
\bigskip \bigskip

\item{\bf 11.}
$\intz_n$ bezeichne die Gruppe $(\intz/ n\intz, +)$.
$f\colon \intz_{9}\rightarrow \intz_3$,\ \
$f(x+9\intz)=x+3\intz$ ist ein Gruppen-Epi\-morph\-ismus, der
keine Rechtsinverse, die Gruppen-Homo\-morph\-ismus ist, hat.
\bigskip

\item{\bf 12.}
$g\colon \intz_{3}\rightarrow \intz_{9}$,\ \
$g(x+3\intz)=3x+9\intz$ ist ein Gruppen-Mono\-morph\-ismus, der
keine Linksinverse, die Gruppen-Homo\-morph\-ismus ist, hat.
\bigskip

\itemitem{{\bf 13.}\ \ \ (i)}
Eine endliche Teilmenge $H\ne\emptyset$ einer Gruppe $G$ ist schon eine 
Untergruppe, wenn nur $a,\,b\in H\Rightarrow ab\in H$.
\itemitem{(ii)}
F\"ur unendliche 
Teilmengen stimmt das nicht. (Finden Sie zus\"atzlich zu dem in der
Vorlesung genannten ein weiteres Gegenbeispiel).
\bigskip

\item{\bf 14.}
Sei $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus,
$\eG$, $\eH$ das neutrale Element in $G$ bzw.\ $H$,
dann gilt
$$f(\eG)=\eH \quad{\rm\ und\ }\quad \forall a\in G\;
f(a^{-1})=(f(a))^{-1}.$$
\bigskip

\item{\bf 15.}
Seien $f$ und $g$ Gruppenhomomorphismen,
$f,\,g\colon G\rightarrow H$ und $A\subseteq G$. Dann gilt
\itemitem{(i)} $f(\langle A\rangle)=\langle f(A)\rangle$
\itemitem{(ii)} Wenn $\forall\> a\in \!A\;\; f(a)=g(a)$, dann
$\forall\> b\in\langle A\rangle\;\; f(b)=g(b)$.
\item{}
($\langle X\rangle$ bezeichnet 
die von einer Teilmenge $X$ in einer Gruppe erzeugte Untergruppe.)
\bigskip

\item{\bf 16.}
Sei $G$ eine Gruppe und $H$ eine Untergruppe von $G$. 
Dann ist \"aquivalent
\itemitem{(i)}  $a^{-1}b\in H$ ($a \lambda_H b$)
\itemitem{(ii)} $b\in aH$
\itemitem{(iii)} $aH\cap bH\ne\emptyset$
\itemitem{(iv)} $a\in bH$
\itemitem{(v)} $b^{-1}a\in H$ ($b \lambda_H a$)
\bigskip

\item{\bf 17.} Welche der folgenden Gruppen sind zueinander
isomorph (Beweis bzw. Widerlegung)?\hfill\break
1)~$S^1=\bigl(\{z\in\compl\mid \left|z\right|=1\},\cdot\bigr)$ \ 
2)~$\bigl(\{r\in\reals\mid r>0\},\cdot\bigr)$ \ 
3)~$\bigl(\reals\setminus\{0\},\cdot\bigr)$ \ 
4)~$\bigl(\reals,+\bigr)/\bigl(\intz, +\bigr)$ \ 
5)~$\bigl(\reals, +\bigr)$
\bigskip


\item{\bf 18.} 
Sei $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt
\itemitem{(i)} $A\le G \;\Longrightarrow\; f(A)\le H$,
\itemitem{(ii)} $B\nt G \;\Longrightarrow\; f(B)\nt f(G)$\hfill\break
 und $B\nt G \;\not{\!\!\!\Longrightarrow} f(B)\nt G$,
\itemitem{(iii)} $K\le H \;\Longrightarrow\; f^{-1}(K)\le G$,
\itemitem{(iv)} $M\nt H \;\Longrightarrow\; f^{-1}(M)\nt G$.
\bigskip

\item{\bf 19.}
Sei $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.
dann gilt
\itemitem{(i)} $f$ injektiv $\iff$ $\Ker f =\{e\}$
\itemitem{(ii)} $\forall a\>\in G\mspace f^{-1}(f(a))=a\Ker f$,
\itemitem{(iii)} $\forall A\>\subseteq G\mspace f^{-1}(f(A))=A\Ker f$,
\itemitem{(iv)} $\forall C\>\subseteq H\mspace f(f^{-1}(C))=C\cap \Im(f)$.
\bigskip


\bye
