%erster Algebra-Uebungszettel WS02/03

\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
\vsize=24truecm
\hoffset=-0.7truecm
\baselineskip=12pt

\font\au=cmcsc10            % caps and small caps
\font\ti=cmr10
\font\pu=cmsl10

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\natn{{\bb N}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\glq{{,\kern-.8pt,}}
\def\grq{{``}}

\parskip=2pt

\hyphenation{be-zeich-nen be-zeich-net}


\line{{\bf Algebra \"Ubungen} \hfill\rm  WS02/03}
\bigskip \bigskip

\item{\bf 1.}
Finden Sie m\"oglichst viele Unterhalbgruppen des Monoids $({\bb Z},\cdot)$.
Wieviele endliche Unterhalbgruppen gibt es?  Haben alle Unterhalbgruppen, 
die Monoide sind, dasselbe neutrale Element wie $({\bb Z},\cdot)$?
\bigskip

\item{\bf 2.}
{\hfuzz=.2pt
Seien $X,\>Y$ nichtleere Mengen und $f\colon X\rightarrow Y$ eine Funktion.
Eine Linksinverse von $f$ ist eine Funktion $g\colon Y\rightarrow X$ mit
$g\circ f=\id_{X}$; eine Rechtsinverse von $f$ ist eine Funktion
$h\colon Y\rightarrow X$  mit $f\circ h=\id_{Y}$.
\itemitem{(a)}
$\exists\; g\colon Y\rightarrow X \hbox{\rm\ mit\ } g\circ f=\id_{X}
\hbox{\rm \ \ (d.h.~$f$ hat eine Linksinverse)}
\>\iff\> f \hbox{\rm \ ist\ injektiv.}$
\itemitem{(b)}
$\exists\; h\colon Y\rightarrow X \hbox{\rm\  mit\ } f\circ h=\id_{Y}
\hbox{\rm \ (d.h.~$f$ hat eine Rechtsinverse)}
\>\iff\> f \hbox{\rm \ ist\ surjektiv.}$
\itemitem{(c)}
Im Monoid $(X^X,\circ)$ der Funktionen auf $X$ sind die
invertier\-baren Elemente genau die bijektiven Funktionen.
}
\bigskip

\item{\bf 3.}
Sei $(H,+)$ eine Halbgruppe [bzw.~Gruppe] und $M\ne\emptyset$ eine Menge.
Auf der Menge der Funktionen
$H^M=\{f\colon M\rightarrow H\mid f \hbox{\rm\ Funktion}\>\}$ ist eine
Operation $+$ gegeben durch punktweise Addition, d.h., $f+g$ ist
definiert durch $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ (die Addition rechts ist die in $H$).
Zeigen Sie, da\ss\ $(H^M,+)$ eine Halbgruppe [bzw.~Gruppe] ist.
Wenn $H$ kommutativ ist, dann auch $(H^M,+)$.
\bigskip

\item{\bf 4.}
F\"ur nicht-leere Teilmengen $A,\,B$ eines Monoids $(H, \cdot)$ ist
das Komplexprodukt von $A$ und $B$ defniert als
$$ AB =\{a\cdot b\mid a\in A,\> b\in B\} $$
(Statt $1$-elementiger Teilmengen schreibt man nur das entsprechende
Element an, also $aB$ statt $\{a\}B$.)
Zeigen Sie, da\ss\ die nicht-leeren Teilmengen von $H$ mit dieser
Multiplikation ein Monoid bilden, und bestimmen Sie die invertierbaren
Elemente in diesem Monoid.
\bigskip

\item{\bf 5.}
Sei $(H,\cdot)$ eine Halbgruppe. In der Menge der Worte \"uber dem
Alphabet $H\cup\{(,),\cdot\}$ sind die \glq Produkte\grq\ induktiv
definiert wie folgt:
\itemitem{(i)} Jedes $a\in H$ ist ein Produkt.
\itemitem{(ii)} Wenn $P$ und $Q$ Produkte sind, dann ist auch $(P\cdot Q)$
ein Produkt.
\item{}
Ein Produkt $P$ hei\ss t Produkt der Elemente $a_1,\ldots a_n\in H$
(in dieser Reihenfolge), wenn genau das Wort $a_1\ldots a_n$
\"uberbleibt, wenn man alle Klammern und Multiplikationszeichen in $P$
wegl\"a\ss t.
\item{}
Jedes Produkt bezeichnet (durch Ausmultiplizieren) ein Element von $H$.
Zeigen Sie,
da\ss\  alle Produkte von $a_1,\ldots a_n$ (in dieser Reihen\-folge) in $H$
dasselbe Element bezeichnen. Tip: zeigen Sie, da\ss\ 
jedes Produkt von $a_1,\ldots a_n$ dasselbe Element ergibt wie das
rechtsb\"undig geklammerte Produkt   
$(a_1\cdot(a_2\cdot(\ldots\kern-.5pt\ldots%
(a_{n-2}\cdot(a_{n-1}\cdot a_n))\kern-.2pt.\kern-.8pt.\kern-.8pt.\kern-.8pt)))$.
\bigskip

\item{\bf 6.} 
Sei $(H,\cdot)$ eine Halbgruppe [ein Monoid], $a,\>b\in H$,
$m,\>n\in\natn$, [$m,\>n\in\natn_0$],
dann gilt
\itemitem{(a)} $a^m\cdot a^n= a^{m+n}$
\itemitem{(b)} $(a^m)^n= a^{mn}$
\itemitem{(b)} $a\cdot b=b\cdot a\Longrightarrow (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
\par
Formulieren Sie auch die analogen Regeln f\"ur additiv geschriebene
Halbgruppen.
\bigskip
\goodbreak

\item{\bf 7.}
Sei $(H,\cdot)$ eine Halbgruppe und $e$ ein zus\"atzliches Element,
$e\notin H$. Wenn man die Multiplikation von $H$ auf $M=H\cup\{e\}$
erweitert, indem man $\forall h\in H$ $h\cdot e=h$ und
$\forall h\in H$ $e\cdot h=h$ und $e\cdot e=e$ definiert, dann ist
$(M,\cdot)$ ein Monoid.
\bigskip

\item{\bf 8.}
Sei $(G,\cdot)$ eine Halbgruppe mit einem Element $e\in G$, soda\ss
\itemitem{(1)} $\forall a\in G \quad e\cdot a=a\quad$
($e$ ist linksneutrales Element) und
\itemitem{(2)} $\forall a\in G\/\>\> \exists a^{-1}\in G\quad a^{-1}\cdot
a=e\quad$ (jedes $a$ hat ein Linksinverses),\par
dann ist $G$ eine Gruppe.
\item{}
(Mit rechtsneutralem Element und Rechtsinversen geht's nat\"urlich auch.)
\bigskip

\item{\bf 9.}
Sei $(H,\cdot)$ eine Halbgruppe, soda\ss\ 
\itemitem{i)} $\forall a,\,b\in H\;\exists c\in H$ $ac=b$ und
\itemitem{ii)} $\forall a,\,b\in H\;\exists d\in H$ $da=b$,
\item{}dann ist $(H,\cdot)$ eine Gruppe.
\bigskip

\item{\bf 10.} Sei $(H,\cdot)$ eine endliche Halbgruppe, in der
jedes Element rechts und links k\"urzbar ist, dann ist $(H,\cdot)$
eine Gruppe.


\bye
