Algebra Übungen WS02/03

1. Finden Sie möglichst viele Unterhalbgruppen des Monoids (ℤ, ·). Wieviele endliche Unterhalbgruppen gibt es? Haben alle Unterhalbgruppen, die Monoide sind, dasselbe neutrale Element wie (ℤ, ·)?

2. Seien X, Y nichtleere Mengen und f: X → Y eine Funktion. Eine Linksinverse von f ist eine Funktion g: Y → X mit g∘f = id_{X}; eine Rechtsinverse von f ist eine Funktion h: Y → X mit f ∘ h = id_{Y}.

(a) ∃ g: Y → X mit g ∘ f = id_{X} (d.h. f hat eine Linksinverse) ⟺ f ist injektiv.

(b) ∃ h: Y → X mit f ∘h = id_{Y} (d.h. f hat eine Rechtsinverse) ⟺ f ist surjektiv.

(c) Im Monoid (X^{X}, ∘) der Funktionen auf X sind die invertierbaren Elemente genau die bijektiven Funktionen.

3. Sei (H, +) eine Halbgruppe [bzw. Gruppe] und M ≠ ∅ eine Menge. Auf der Menge der Funktionen H^{M} = {f: M → H | f Funktion } ist eine Operation + gegeben durch punktweise Addition, d.h., f + g ist definiert durch (f + g)(x) = f(x) + g(x) (die Addition rechts ist die in H). Zeigen Sie, daß (H^{M}, +) eine Halbgruppe [bzw. Gruppe] ist. Wenn H kommutativ ist, dann auch (H^{M}, +).

4. Für nicht-leere Teilmengen A, B eines Monoids (H, ·) ist das Komplexprodukt von A

und B defniert als

AB = {a · b | a ∈ A, b ∈ B}

(Statt 1-elementiger Teilmengen schreibt man nur das entsprechende Element an, also aB statt {a}B.) Zeigen Sie, daß die nicht-leeren Teilmengen von H mit dieser Multiplikation ein Monoid bilden, und bestimmen Sie die invertierbaren Elemente in diesem Monoid.

5. Sei (H, ·) eine Halbgruppe. In der Menge der Worte über dem Alphabet H ∪ {(,), ·} sind die ,,Produkte“ induktiv definiert wie folgt:

(i) Jedes a ∈ H ist ein Produkt. (ii) Wenn P und Q Produkte sind, dann ist auch (P · Q) ein Produkt. Ein Produkt P heißt Produkt der Elemente a_{1}, … a_{n} ∈ H (in dieser Reihenfolge), wenn genau das Wort a_{1} … a_{n} überbleibt, wenn man alle Klammern und Multiplikationszeichen in P wegläßt. Jedes Produkt bezeichnet (durch Ausmultiplizieren) ein Element von H. Zeigen Sie, daß alle Produkte von a_{1}, … a_{n} (in dieser Reihenfolge) in H dasselbe Element bezeichnen. Tip: zeigen Sie, daß jedes Produkt von a_{1}, … a_{n} dasselbe Element ergibt wie das rechtsbündig geklammerte Produkt (a_{1} · (a_{2} · (. . .. . . (a_{n−2} · (a_{n−1} · a_{n}))...))).

6. Sei (H, ·) eine Halbgruppe [ein Monoid], a, b ∈ H, m, n ∈ ℕ, [m, n ∈ ℕ_{0}], dann gilt (a) a^{m} · a^{n} = a^{m+n}

(b) (a^{m})^{n} = a^{mn}

(b) a · b = b · a ⟹ (a · b)^{n} = a^{n} · b^{n} Formulieren Sie auch die analogen Regeln für additiv geschriebene Halbgruppen.

7. Sei (H, ·) eine Halbgruppe und e ein zusätzliches Element, e ∉ H. Wenn man die Multiplikation von H auf M = H ∪ {e} erweitert, indem man ∀h ∈ H h · e = h und ∀h ∈ H e · h = h und e · e = e definiert, dann ist (M, ·) ein Monoid.

8. Sei (G, ·) eine Halbgruppe mit einem Element e ∈ G, sodaß (1) ∀a ∈ G e · a = a (e ist linksneutrales Element) und

(2) ∀a ∈ G ∃a^{−1} ∈ G a^{−1} · a = e (jedes a hat ein Linksinverses), dann ist G eine Gruppe. (Mit rechtsneutralem Element und Rechtsinversen geht’s natürlich auch.)

9. Sei (H, ·) eine Halbgruppe, sodaß i) ∀a, b ∈ H ∃c ∈ H ac = b und ii) ∀a, b ∈ H ∃d ∈ H da = b, dann ist (H, ·) eine Gruppe.

10. Sei (H, ·) eine endliche Halbgruppe, in der jedes Element rechts und links kürzbar ist, dann ist (H, ·) eine Gruppe.