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\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Gruppen-homo-morphismus  Kongruenz-relation
Linear-kombination Teiler-kette} 


\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}  %german left quote: 99 at baseline
\def\grq{``} % german left quote: 66 at x-height


\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\ratq{{\bb Q}}
\def\reals{{\bb R}} \def\compl{{\bb C}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}

\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}

\def\divides{\mathrel\big\vert}
\let\congr=\equiv
\let\ideal=\nt
\let\isom=\simeq

\def\mod{\mkern-12mu\pmod}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}
\medskipamount= 9pt plus 2pt minus 2pt
\bigskipamount=10pt plus 2pt minus 1.5pt


\line{{\bf Algebra \"Ubungen 8} \hfill {\rm WS 05/06} }
\bigskip \bigskip\bigskip

\item{82.}
Sei $K$ ein K\"orper und $f\in K[x]$ ein irreduzibles Polynom mit
einer mehrfachen Nullstelle in seinem Zer\-f\"allungs\-k\"orper.
Dann gilt $\chi(K)=p$ und $f$ hat die Form
$a_0+a_1x^p+\ldots+a_kx^{kp}+\ldots+a_nx^{np}$ (mit $a_k\in K$).
(Hinweis: $\ggT(f,f')\ne 1$ und $f$ irreduzibel impliziert $f'=0$.)
\bigskip

\item{83.} 
Sei $K$ ein K\"orper mit $\chi(K)=p$, soda\ss\ der 
Frobenius-Homomorphismus $\varphi\colon K\rightarrow K$, 
$\varphi(x)=x^p$, surjektiv ist. Dann ist kein Polynom
der Gestalt $a_0+a_1x^p+\ldots+a_kx^{kp}+\ldots+a_nx^{np}$
(mit $a_k\in K$) irreduzibel in $K[x]$.
\bigskip


\item{84.} 
Sei $G$ eine Abelsche Gruppe, die Elemente endlicher Ordnung
(ungleich dem neutralen Element) enth\"alt. Dann ist $G$ nicht
frei Abelsch.
\bigskip

\item{85.}
$(\ratq, +)$ ist nicht frei Abelsch. (Hinweis: je zwei Elemente
sind $\intz$-linear-abh\"angig.)
\bigskip

\item{86.}
$\bigl((\ratq\setminus\{0\})/\{1,-1\}, \cdot\bigr)$ ist frei Abelsch. 
\bigskip

\item{87.}
$({\bb R}, +)$ ist nicht frei Abelsch. (Hinweis: jede $\intz$-l.u.\ 
Menge ist auch $\ratq$-l.u.)
\bigskip

\item{88.}
Sei $A$ eine Abelsche Gruppe mit einer Teilmenge $X\subseteq A$,
soda\ss\ jede Funktion $f\colon X\rightarrow B$ (mit $B$ einer
Abelschen Gruppe) eindeutig zu einem Gruppenhomomorphismus
$\bar f\colon A\rightarrow B$ fortgesetzt werden kann. Dann ist
$A$ eine freie Abelsche Gruppe mit Basis $X$.
\bigskip

\item{89.}
F\"ur $1\le i\le n$ sei $G_i$ eine Gruppe und $H_i$ ein 
Normalteiler von $G_i$. Sei $G=G_1\times\ldots\times G_n$ und
$H=\{(g_1,\ldots,g_n)\in G\mid g_i\in H_i \hbox{\rm\ f\"ur\ } 1\le i\le n\}$.
Dann gilt $G/H\isom (G_1/H_1)\times\ldots\times (G_n/H_n)$.
\bigskip

\item{\bf 90.}
Geben Sie ein Beispiel eines Normalteilers einer Gruppe
$G=G_1\times\ldots\times G_n$, der nicht von der Form
$\{(g_1,\ldots,g_n)\in G\mid g_i\in H_i \hbox{\rm\ f\"ur\ } 1\le i\le n\}$
f\"ur gewisse Normalteiler $H_i$ von $G_i$ ist.
\bigskip

\item{\bf 91.}
Seien $n,\,k\in\natn$ mit $\ggT(n,\,k)=1$. Geben Sie einen
Ring-Isomorphismus $\varphi\colon Z_{nk}\rightarrow Z_n\times Z_k$ an.
Zeigen Sie die Bijektivit\"at auf zwei Arten, einmal mit Chinesischem
Restsatz (Surjektivit\"at), einmal ohne diesen (Injektivit\"at).
\bigskip

\item{\bf 92.}
Seien $n,\,k\in\natn$ mit $\ggT(n,\,k)\ne 1$. Zeigen Sie, da\ss\
die additiven Gruppen $Z_{nk}$ und $Z_n\times Z_k$ nicht isomorph
sind.
\bigskip

\bye
