Algebra Übungen 8 WS 05/06

82. Sei K ein Körper und f ∈ K[x] ein irreduzibles Polynom mit einer mehrfachen Nullstelle in seinem Zerfällungskörper. Dann gilt χ(K) = p und f hat die Form a_{0} + a_{1}x^{p} + … + a_{k}x^{kp} + … + a_{n}x^{np} (mit a_{k} ∈ K). (Hinweis: ggT(f, f′) ≠ 1 und f irreduzibel impliziert f′ = 0.)

83. Sei K ein Körper mit χ(K) = p, sodaß der Frobenius-Homomorphismus φ: K → K, φ(x) = x^{p}, surjektiv ist. Dann ist kein Polynom der Gestalt a_{0} + a_{1}x^{p} + … + a_{k}x^{kp} + … + a_{n}x^{np} (mit a_{k} ∈ K) irreduzibel in K[x].

84. Sei G eine Abelsche Gruppe, die Elemente endlicher Ordnung (ungleich dem neutralen Element) enthält. Dann ist G nicht frei Abelsch.

85. (ℚ, +) ist nicht frei Abelsch. (Hinweis: je zwei Elemente sind ℤ-linear-abhängig.)

86. ((ℚ \ {0})/{1, −1}, ·) ist frei Abelsch.

87. (ℝ, +) ist nicht frei Abelsch. (Hinweis: jede ℤ-l.u. Menge ist auch ℚ-l.u.)

88. Sei A eine Abelsche Gruppe mit einer Teilmenge X ⊆ A, sodaß jede Funktion f: X → B (mit B einer Abelschen Gruppe) eindeutig zu einem Gruppenhomomorphismus f̄: A → B fortgesetzt werden kann. Dann ist A eine freie Abelsche Gruppe mit Basis X.

89. Für 1 ≤ i ≤ n sei G_{i} eine Gruppe und H_{i} ein Normalteiler von G_{i}. Sei G = G_{1} × … × G_{n} und H = {(g_{1}, …, g_{n}) ∈ G | g_{i} ∈ H_{i} für 1 ≤ i ≤ n}. Dann gilt G/H ≃ (G_{1}/H_{1}) × … × (G_{n}/H_{n}).

90. Geben Sie ein Beispiel eines Normalteilers einer Gruppe G = G_{1} × … × G_{n}, der nicht von der Form {(g_{1}, …, g_{n}) ∈ G | g_{i} ∈ H_{i} für 1 ≤ i ≤ n} für gewisse Normalteiler H_{i} von G_{i} ist.

91. Seien n, k ∈ ℕ mit ggT(n, k) = 1. Geben Sie einen Ring-Isomorphismus φ: Z_{nk} → Z_{n} × Z_{k} an. Zeigen Sie die Bijektivität auf zwei Arten, einmal mit Chinesischem Restsatz (Surjektivität), einmal ohne diesen (Injektivität).

92. Seien n, k ∈ ℕ mit ggT(n, k) ≠ 1. Zeigen Sie, daß die additiven Gruppen Z_{nk} und Z_{n} × Z_{k} nicht isomorph sind.