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\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 


\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}  %german left quote: 99 at baseline
\def\grq{``} % german left quote: 66 at x-height


\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\ratq{{\bb Q}}
\def\reals{{\bb R}} \def\compl{{\bb C}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}

\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}

\def\divides{\mathrel\big\vert}
\let\congr=\equiv
\let\ideal=\nt
\let\isom=\simeq

\def\mod{\mkern-12mu\pmod}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}
\medskipamount= 9pt plus 2pt minus 2pt
\bigskipamount=10pt plus 2pt minus 1.5pt


\line{{\bf Algebra \"Ubungen 7} \hfill {\rm WS 05/06} }
\bigskip \bigskip\bigskip

\item{70.} 
Sei $A$ der K\"orper aller komplexen Zahlen, die algebraisch \"uber
$\ratq$ sind. Dann ist $A\colon \ratq$ eine unendlichdimensionale
algebraische K\"orpererweiterung.
\medskip

\item{71.} 
Sei $f\in K[x]$, $\deg(f)=n>0$; $F$ der Zer\-f\"all\-ungs\-k\"orper  
von $f$ \"uber $K$.
Zeigen Sie, da\ss\ $[F:K]$ ein Teiler von $n!$ ist. Hinweis:
Fallunterscheidung, ob $f$ irreduzibel oder nicht.
\medskip

\item{\bf 72.}
Bestimmen Sie die primen Elemente von $\intz[i\/]$.
\medskip

\item{73.}
Sei $u\in\compl$ algebraisch \"uber $\ratq$ mit Minimalpolynom 
$f\in\ratq[x]$. Zeigen Sie: es existiert ein normiertes Polynom
$g\in\intz[x]$ mit $g(u)=0$ genau dann, wenn $f\in\intz[x]$.
\medskip

\item{74.}
Sei $u\in F\supseteq K$ algebraisch von ungeradem Grad \"uber $K$ 
(d.h.~der Grad des Minimalpolynoms von $u$ \"uber $K$ ist ungerade).
Dann ist $K[u]=K[u^2]$.
\medskip

\item{75.}
Zum Ring der Br\"uche: Sei $S$ multiplikative Teilmenge eines
kommutativen Rings $R$, $I$ ein Ideal von $R$, und
$\pi\colon R\rightarrow R/I$ die kanonische Projektion.
Geben Sie einen Isomorphismus an:
$$(\pi(S))^{-1}(R/I) \isom {S^{-1}}R/{S^{-1}}I$$
und folgern Sie daraus als Spezialfall, f\"ur jedes Primideal $P$:
$$((R/P)\setminus\{0+P\})^{-1}R/P \isom R_P/P_P.$$
\medskip

\item{76.}
Seien $K, E_1, E_2$ und $E$ K\"orper mit $K\subseteq E_i\subseteq E$,
soda\ss\ $[E_i:K]$ endlich f\"ur $i=1,2$ und
$E=K(E_1\cup E_2)$. Dann gilt $[E:K]\le [E_1:K][E_2:K]$.
\medskip

\item{77.}
Sei $R$ ein Ring mit der Eigenschaft: zu je zwei verschiedenen
Elementen $a,b$ in $R$ gibt es ein Polynom $f\in R[x]$ mit $f(a)=1$, 
$f(b)=0$. Dann ist $R$ ein K\"orper.
\medskip

\item{\bf 78.}
Sei $K$ ein K\"orper und $\varphi\colon K\longrightarrow K$ ein
Automorphismus. Dann ist die Menge der Fixpunkte von $\varphi$,
$F=\{a\in K\mid \varphi(a)=a\}$, ein K\"orper.
\medskip

\item{79.}
Bestimmen Sie Elementarteiler und invariante Faktoren von
$\intz_{120}\times \intz_{45} \times \intz_{28} \times \intz_{125}$.
\medskip

\item{80.}
Ist die Gruppe aus Bsp.~79 isomorph zu
$\intz_{30} \times \intz_{225} \times \intz_8 \times \intz_7\times \intz_{60}$?
\medskip

\item{81.}
Ist die Gruppe aus Bsp.~79 isomorph zu
$\intz_{60} \times \intz_{56} \times \intz_{75} \times \intz_{90}$?
\medskip

\bye
