Algebra Übungen 7 WS 05/06

70. Sei A der Körper aller komplexen Zahlen, die algebraisch über ℚ sind. Dann ist A: ℚ eine unendlichdimensionale algebraische Körpererweiterung.

71. Sei f ∈ K[x], deg(f) = n > 0; F der Zerfällungskörper von f über K. Zeigen Sie, daß [F : K] ein Teiler von n! ist. Hinweis: Fallunterscheidung, ob f irreduzibel oder nicht.

72. Bestimmen Sie die primen Elemente von ℤ[i].

73. Sei u ∈ ℂ algebraisch über ℚ mit Minimalpolynom f ∈ ℚ[x]. Zeigen Sie: es existiert ein normiertes Polynom g ∈ ℤ[x] mit g(u) = 0 genau dann, wenn f ∈ ℤ[x].

74. Sei u ∈ F ⊇ K algebraisch von ungeradem Grad über K (d.h. der Grad des Minimalpolynoms von u über K ist ungerade). Dann ist K[u] = K[u^{2}].

75. Zum Ring der Brüche: Sei S multiplikative Teilmenge eines kommutativen Rings R, I ein Ideal von R, und π: R → R/I die kanonische Projektion. Geben Sie einen Isomorphismus an:

(π(S))^{−1}(R/I) ≃ S^{−1}R/S^{−1}I

und folgern Sie daraus als Spezialfall, für jedes Primideal P:

((R/P) \ {0 + P })^{−1}R/P ≃ R_{P} /P_{P} .

76. Seien K, E_{1}, E_{2} und E Körper mit K ⊆ E_{i} ⊆ E, sodaß [E_{i} : K] endlich für i = 1, 2 und E = K(E_{1} ∪ E_{2}). Dann gilt [E : K] ≤ [E_{1} : K][E_{2} : K].

77. Sei R ein Ring mit der Eigenschaft: zu je zwei verschiedenen Elementen a, b in R gibt es ein Polynom f ∈ R[x] mit f(a) = 1, f(b) = 0. Dann ist R ein Körper.

78. Sei K ein Körper und φ: K ⟶ K ein Automorphismus. Dann ist die Menge der Fixpunkte von φ, F = {a ∈ K | φ(a) = a}, ein Körper.

79. Bestimmen Sie Elementarteiler und invariante Faktoren von ℤ_{120} × ℤ_{45} × ℤ_{28} × ℤ_{125}.

80. Ist die Gruppe aus Bsp. 79 isomorph zu ℤ_{30} × ℤ_{225} × ℤ_{8} × ℤ_{7} × ℤ_{60}?

81. Ist die Gruppe aus Bsp. 79 isomorph zu ℤ_{60} × ℤ_{56} × ℤ_{75} × ℤ_{90}?