\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
\voffset=-1truecm
\hoffset=-0.5truecm
\vsize=27truecm
\baselineskip=12pt \parskip=1.5pt
\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt

\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}  %german left quote: 99 at baseline
\def\grq{``} % german left quote: 66 at x-height


\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\ratq{{\bb Q}}
\def\reals{{\bb R}} \def\compl{{\bb C}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}

\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}

\def\divides{\mathrel\big\vert}
\let\congr=\equiv
\let\ideal=\nt

\def\mod{\mkern-12mu\pmod}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}
\medskipamount= 8pt plus 2pt minus 2pt


\line{{\bf Algebra \"Ubungen 6} \hfill {\rm WS 05/06} }
\bigskip \bigskip\bigskip

\item{\bf 61.} 
Sei $R$ ein Hauptidealbereich. Dann gilt f\"ur Ideale $A,B,C$ von $R$
$$ A+(B\cap C)=(A+B)\cap (A+C)\quad{\rm und}\quad 
A\cap(B + C)=(A\cap B) + (A\cap C)$$
\medskip

\item{62.} 
Zeigen Sie durch Gegenbeispiele, da\ss\ weder
$A+(B\cap C)=(A+B)\cap (A+C)$ noch
$A\cap(B + C)=(A\cap B) + (A\cap C)$
f\"ur Ideale in einem ZPE-Ring gelten mu\ss.
\medskip

\item{63.}
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$, soda\ss\ jedes Kongruenzensystem
$x\congr b_i \mod{A_i}$ mit $b_i\in R, A_i\ideal R$ ($i=1,\ldots n$),
welches $b_i-b_j\in A_i+A_j$ erf\"ullt, eine L\"osung in $R$ hat.
Zeigen Sie, da\ss\ f\"ur Ideale $A,B,C$ von $R$ gilt
$A\cap(B + C)=(A\cap B) + (A\cap C)$.
\medskip

\item{\bf 64.}
Formulieren Sie f\"ur einen Euklidischen Ring $R$ einen Algorithmus zur
L\"osung von Kongruenzensystemen $x\congr b_i \mod{a_i}$ mit 
$b_i\in R$ beliebig, $a_i\in R$ mit $\ggT(a_i,a_j)=1$ f\"ur $i\ne j$, und
demonstrieren Sie diesen durch L\"osung des Systems 
$$x\congr 5\mod{15}\quad x\congr 2\mod{11}\quad x\congr 3\mod{4}$$
\medskip

\item{65.}
Formulieren Sie f\"ur einen Euklidischen Ring $R$ einen Algorithmus zur
L\"osung von Kongruenzensystemen $x\congr b_i \mod{a_i}$ mit $a_i\in R$
beliebig und $b_i\in R$ mit $b_i-b_j$ teilbar durch $\ggT(a_i,a_j)$, und
demonstrieren Sie diesen durch L\"osung des Systems
$$x\congr 7\mod{15}\quad x\congr 10 \mod{6}\quad x\congr 2\mod{10}$$
\medskip

\item{66.}
Sei $K$ ein K\"orper und $v\colon K\setminus \{0\} \rightarrow \intz$
eine Funktion mit
\itemitem{(1)} $v(r+s)\ge \min(v(r), v(s))$
\itemitem{(2)} $v(rs) = v(r) + v(s)$\par
\item{}
(f\"ur alle $r,s\in K$, f\"ur welche die Ausdr\"ucke definiert sind).
Zus\"atzlich sei $v(0)=\infty$ definiert.
Sei $R=\{k\in K\mid v(k)\ge 0\}$, dann ist $R$ ein Ring mit genau einem
maximalen Ideal $M=\{r\in R\mid v(r)> 0\}$ und die Einheiten von $R$ sind
genau die Elemente mit $v(r)=0$.
\medskip

\item{67.}
Sei $R$ ein ZPE-Ring mit Quotientenk\"orper $K$, und $f,g,h\in K[x]$
drei normierte Polynome (d.h.~Leitkoeffizient jeweils $1$),
soda\ss\ $f=g\cdot h$. Zeigen Sie: wenn $f\in R[x]$, dann auch
$g,h\in R[x]$.
\medskip

\item{\bf 68.}
Seien $A_1,\ldots A_n\ideal R$ Ideale eines kommutativen Rings mit $1$,
soda\ss\ f\"ur beliebige $b_i\in R$ das Kongruenzensystem 
$x\congr b_i \mod{A_i}$ eine L\"osung in $R$ hat, dann gilt f\"ur
$i\ne j$: $A_i+A_j=R$.
\medskip

\item{69.}
Sei $K$ ein K\"orper der Charakteristik $p$ und $a\in K$. Zeigen Sie:
\itemitem{(i)}
Wenn das Polynom $f(x)=x^p-a$ eine Nullstelle $b\in K$ hat, dann
zerf\"allt $f$ \"uber $K$ in $p$ gleiche Linearfaktoren.
\itemitem{(ii)}
Wenn $f(x)=x^p-a$ keine Nullstelle in $K$ hat, dann ist $f$ irreduzibel
in $K[x]$. (Hinweis: Nullstelle $b$ von $f$ adjungieren, (i) auf $L=K[b]$
anwenden. K\"onnen nichttriviale Faktoren von $f$ in $K[x]$, 
bzw.~deren konstante Terme in $K$ sein, ohne da\ss\ schon $b$ in $K$ ist?)
\item{}

\bye
