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\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt

\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
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\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}  %german left quote: 99 at baseline
\def\grq{``} % german left quote: 66 at x-height


\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\ratq{{\bb Q}}
\def\reals{{\bb R}} \def\compl{{\bb C}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}

\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}
\medskipamount= 8pt plus 2pt minus 2pt


\line{{\bf Algebra \"Ubungen 5} \hfill {\rm WS 05/06} }
\bigskip \bigskip\bigskip

\item{52.} 
Sei $R$ kommutativer Ring mit $1$. Skizzieren Sie einen Beweis der
Tatsache, da\ss\ jedes Ideal $I$ von $M_n(R)$ die Form $M_n(J)$ f\"ur
ein Ideal $J$ von $R$ hat. (Hinweis: das von allen Eintagungen in
Matrizen aus $I$ erzeugte Ideal $J$ von $R$ betrachten; weiters
Produkte von Matrizen aus $I$ mit (von rechts und links) 
Matrixeinheiten wie $e_{ij}$, der Matrix, die an der Stelle $(i,j)$
die Eintragung $1$ hat, sonst nur $0$, betrachten.)
\medskip

\item{\bf 53.}
Sei $R$ ein Ring, $a,\,b\in R$. Dann gilt
$(ab)\subseteq (a)(b)$.\hfill\break
Wenn $R$ kommutativ ist, dann gilt $(ab)=(a)(b)$.
\medskip

\item{54.}
Sei $R$ ein Integrit\"atsbereich mit Quotientenk\"orper $K$ und 
$v\colon R\setminus \{0\}\rightarrow \natn_0$
eine Funktion mit den Eigenschaften 
\itemitem{(1)} $v(r+s)\ge \min(v(r), v(s))$
\itemitem{(2)} $v(rs) = v(r) + v(s)$\par
\item{}
(f\"ur alle $r,s\in R$, f\"ur welche die Ausdr\"ucke definiert sind),
dann kann $v$ auf eindeutige Weise zu 
$v\colon K\setminus \{0\}\rightarrow \intz$  mit den Eigenschaften
(1) und (2) fortgesetzt werden.
\medskip

\item{55.}
Sei $K$ ein K\"orper und 
$v\colon K\setminus \{0\}\rightarrow \intz$ eine Funktion, soda\ss\ 
\itemitem{(1)} $v(r+s)\ge \min(v(r), v(s))$
\itemitem{(2)} $v(rs) = v(r) + v(s)$\par
\item{}
(f\"ur alle $r,s\in K$, f\"ur welche die Ausdr\"ucke definiert sind).
Dann gilt: $v(-1)=0$, $v(-r)=v(r)$, und f\"ur alle $r,s\in K$, mit
$v(r)\ne v(s)$ gilt $v(r+s) = \min(v(r), v(s))$.
\medskip

\item{\bf 56.}
Geben Sie einen Isomorphismus an zwischen $M_n(R[x])$, dem Ring der
$n\times n$ Matrizen mir Eintragungen im Polynomring $R[x]$, und
$M_n(R)[x]$, dem Polynomring  in einer Unbestimmten mit Koeffizienten
in $M_n(R)$. (Hiebei ist $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.)
\medskip

\item{\bf 57.}
Seien $f,\,g$ und $h$ Polynome in $R[x]$ ($R$ ein
kommutativer Ring mit Eins), davon $f$ ein normiertes Polynom
(d.h.~mit Leitkoeffizient $1$) soda\ss\ $f\cdot g=h$.
Sei $S$ ein Unterring von $R$. Zeigen Sie: wenn $f$ und $h$ in $S[x]$,
dann auch $g\in S[x]$.
\bigskip

\item{58.}
Sei $D$ ein Integrit\"atsbereich und kein K\"orper,
dann ist $D[x]$ kein Hauptidealring. (Betrachten Sie das Ideal
jener Polynome, deren konstanter Term in $I$ liegt, $I$ ein
nichttriviales Ideal von $D$.)
\bigskip

\item{\bf 59.} 
Wenn $S$ Unterring von $R$, dann ist $\chi(S)$ ein
Teiler von $\chi(R)$. (Dabei gilt jede ganze Zahl als Teiler von
$0$.)
\bigskip

\item{60.}
Sei $R$ ein Integrit\"atsbereich, dann gilt 
$$R=\bigcap_{P {\rm max}} R_P$$
($P$ durchl\"auft alle maximalen Ideale von R), wobei jedes 
$R_P$ als Unterring des Quotientenk\"orpers $K$ von $R$ gedacht ist,
$R_P=\{k\in K\mid \exists a\in R, b\in R\setminus P\colon\> k=a/b\}$.
(Hinweis: f\"ur $k\in K$ die Menge aller in Bruchdarstellungen von
$k$ auftretenden Nenner betrachten: sie ist ein Ideal.)
\medskip

\bye
