Algebra Übungen 5 WS 05/06

52. Sei R kommutativer Ring mit 1. Skizzieren Sie einen Beweis der Tatsache, daß jedes Ideal I von M_{n}(R) die Form M_{n}(J) für ein Ideal J von R hat. (Hinweis: das von allen Eintagungen in Matrizen aus I erzeugte Ideal J von R betrachten; weiters Produkte von Matrizen aus I mit (von rechts und links) Matrixeinheiten wie e_{ij}, der Matrix, die an der Stelle (i, j) die Eintragung 1 hat, sonst nur 0, betrachten.)

53. Sei R ein Ring, a, b ∈ R. Dann gilt (ab) ⊆ (a)(b).

Wenn R kommutativ ist, dann gilt (ab) = (a)(b).

54. Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K und v: R\{0} → ℕ_{0} eine Funktion mit den Eigenschaften

(1) v(r + s) ≥ min(v(r), v(s))

(2) v(rs) = v(r) + v(s) (für alle r, s ∈ R, für welche die Ausdrücke definiert sind), dann kann v auf eindeutige Weise zu v: K \ {0} → ℤ mit den Eigenschaften (1) und (2) fortgesetzt werden.

55. Sei K ein Körper und v: K \ {0} → ℤ eine Funktion, sodaß (1) v(r + s) ≥ min(v(r), v(s))

(2) v(rs) = v(r) + v(s) (für alle r, s ∈ K, für welche die Ausdrücke definiert sind). Dann gilt: v(−1) = 0, v(−r) = v(r), und für alle r, s ∈ K, mit v(r) ≠ v(s) gilt v(r + s) = min(v(r), v(s)).

56. Geben Sie einen Isomorphismus an zwischen M_{n}(R[x]), dem Ring der n × n Matrizen mir Eintragungen im Polynomring R[x], und M_{n}(R)[x], dem Polynomring in einer Unbestimmten mit Koeffizienten in M_{n}(R). (Hiebei ist R ein kommutativer Ring mit Eins.)

57. Seien f, g und h Polynome in R[x] (R ein kommutativer Ring mit Eins), davon f ein normiertes Polynom (d.h. mit Leitkoeffizient 1) sodaß f · g = h. Sei S ein Unterring von R. Zeigen Sie: wenn f und h in S[x], dann auch g ∈ S[x].

58. Sei D ein Integritätsbereich und kein Körper, dann ist D[x] kein Hauptidealring. (Betrachten Sie das Ideal jener Polynome, deren konstanter Term in I liegt, I ein nichttriviales Ideal von D.)

59. Wenn S Unterring von R, dann ist χ(S) ein Teiler von χ(R). (Dabei gilt jede ganze Zahl als Teiler von 0.)

60. Sei R ein Integritätsbereich, dann gilt

R = ⋂_{P max} R_{P}

(P durchläuft alle maximalen Ideale von R), wobei jedes R_{P} als Unterring des Quotientenkörpers K von R gedacht ist, R_{P} = {k ∈ K | ∃a ∈ R, b ∈ R \ P: k = a/b}. (Hinweis: für k ∈ K die Menge aller in Bruchdarstellungen von k auftretenden Nenner betrachten: sie ist ein Ideal.)