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\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt

\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
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\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
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\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}  %german left quote: 99 at baseline
\def\grq{``} % german left quote: 66 at x-height


\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\ratq{{\bb Q}}
\def\reals{{\bb R}} \def\compl{{\bb C}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}

\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}

\def\divides{\mathrel\big\vert}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}
\medskipamount= 8pt plus 2pt minus 2pt


\line{{\bf Algebra \"Ubungen 4} \hfill {\rm WS 05/06} }
\bigskip \bigskip\bigskip

\item{\bf 40.} 
Sei $d\in \natn$ quadratfrei (d.h., durch kein Quadrat einer Primzahl
teilbar).  Sei $R=\intz[\sqrt{-d}]=\{a+b\sqrt{-d}\mid a,\,b\in\intz\}$.
\itemitem{(i)} 
Die \glq Norm\grq\ 
$N\colon R\rightarrow \intz$, definiert durch
$N(a+b\sqrt{-d})=a^2+db^2$ (f\"ur $a,\,b\in\intz$) ist 
multiplikativ: $N(rs)=N(r)N(s)$.
\itemitem{(ii)} $r\in R$ ist eine Einheit in $R$ genau dann, wenn
$N(r)$ eine Einheit in $\intz$ ist. (Hinweis: ein Teiler einer Einheit
ist auch eine Einheit.)
\medskip

\item{\bf 41.}
Sei $R=\intz[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}\mid a,\,b\in\intz\}$. Zeigen
Sie, da\ss\ $2$ und $3$ irreduzible Elemente von $R$ sind. 
(Hinweis: Norm betrachten).
\medskip

\item{\bf 42.}
Sei $R=\intz[\sqrt{-5}]$.
\itemitem{(i)}
Zeigen Sie, da\ss\ $6$ zwei verschiedene Darstellungen als Produkt
irreduzibler Elemente hat.
\itemitem{(ii)}
Zeigen Sie, da\ss\ weder $2$ noch $3$ ein primes Element
von $R$ ist. 
\medskip

\item{43.}
$R=\intz[\sqrt{-5}]$ erf\"ullt die aufsteigende Kettenbedingung
f\"ur Hauptideale.
\medskip


\item{\bf 44.}
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  $R$ hat nur ein einziges
maximales Ideal genau dann, wenn die Nicht-Einheiten von $R$ ein
Ideal bilden.
\medskip

\item{ 45.} 
Sei $R$ ein Integrit\"atsbereich und $a,a',b,b',d\in R$, wobei
$d$ ein ggT von $a,b$ ist und $a=a'd$, $b=b'd$. Dann gilt
$\ggT(a',b')=1$.
\medskip

\item{\bf 46.}
Sei $R$ ein ZPE-Ring und $a,\,b,\,c\in R$. Wenn
$\ggT(a,b)=1$ und $a\divides bc$, dann folgt $a\divides c$.
\medskip

\item{ 47.} 
Zeigen Sie (in einem beliebigen kommutativen Ring) unter der Annahme,
da\ss\ alle erw\"ahnten ggT existieren:
$$\ggT(a,\, \ggT(b,c))=\ggT(\ggT(a,b),\,c)$$
Hinweis: ggT dreier Elemente definieren, dieser bis auf
gegenseitiges Teilen eindeutig; beide Objekte erf\"ullen
die Definition.
\medskip

\item{\bf 48.}
Sei $R$ ein kommutativer Ring, $S$ eine multiplikative Teilmenge
von $R$ und $$\bar S=\{t\in R\mid \exists s\in S\> \exists r\in R\> rt=s\}.$$
Dann ist $S^{-1}R$ isomorph zu ${\bar S}^{-1}R$.
\medskip

\item{\bf 49.}
Seien $R$, $S$ und $\bar S$ wie im vorigen Beispiel.
Ein Element ${r\over s}$ von $S^{-1}R$ ist invertierbar genau dann,
wenn $r\in \bar S$.
\medskip

\item{\bf 50.} 
Sei $R$ ein Euklidischer Ring, dessen Rangfunktion
$\rho(ab)\ge\rho(a)$ (f\"ur $a,b\in R$ mit $ab\ne 0$) erf\"ullt.
Zeigen Sie: $u\in R$ ist Einheit genau dann, wenn $u$ minimalen
Rang hat (d.h., wenn $\rho(u)=\min\{\rho(a)\mid a\in R\setminus\{0\}\}$).
\bigskip

\item{\bf 51.}
Zeigen Sie, da\ss\ $R=\intz[i]$ ein Euklidischer Ring ist mit der
Rangfunktion $N(a+bi)=a^2+b^2$ (f\"ur $a,b\in\intz$). (Hinweis:
zuerst Division mir Rest von Elementen aus $R$ durch Elemente
aus $\natn$ zeigen; dann Division von $r\in R$ durch $z\in R$
(wobei $z\ne0$) via Divison von $r\bar z$ durch $z\bar z$
zeigen.)
\medskip

\bye
