Algebra Übungen 4 WS 05/06

40. Sei d ∈ ℕ quadratfrei (d.h., durch kein Quadrat einer Primzahl teilbar). Sei R = ℤ[\sqrt{−d}] = \{a + b\sqrt{−d} | a, b ∈ ℤ\}.

(i) Die ,,Norm“ N: R → ℤ, definiert durch N(a + b\sqrt{−d}) = a^{2} + db^{2} (für a, b ∈ ℤ) ist multiplikativ: N(rs) = N(r)N(s).

(ii) r ∈ R ist eine Einheit in R genau dann, wenn N(r) eine Einheit in ℤ ist. (Hinweis: ein Teiler einer Einheit ist auch eine Einheit.)

41. Sei R = ℤ[\sqrt{−5}] = \{a + b\sqrt{−5} | a, b ∈ ℤ\}. Zeigen Sie, daß 2 und 3 irreduzible Elemente von R sind. (Hinweis: Norm betrachten).

42. Sei R = ℤ[\sqrt{−5}].

(i) Zeigen Sie, daß 6 zwei verschiedene Darstellungen als Produkt irreduzibler Elemente hat.

(ii) Zeigen Sie, daß weder 2 noch 3 ein primes Element von R ist.

43. R = ℤ[\sqrt{−5}] erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale.

44. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. R hat nur ein einziges maximales Ideal genau dann, wenn die Nicht-Einheiten von R ein Ideal bilden.

45. Sei R ein Integritätsbereich und a, a′, b, b′, d ∈ R, wobei d ein ggT von a, b ist und a = a′d, b = b′d. Dann gilt ggT(a′, b′) = 1.

46. Sei R ein ZPE-Ring und a, b, c ∈ R. Wenn ggT(a, b) = 1 und a | bc, dann folgt a | c.

47. Zeigen Sie (in einem beliebigen kommutativen Ring) unter der Annahme, daß alle erwähnten ggT existieren:

ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c)

Hinweis: ggT dreier Elemente definieren, dieser bis auf gegenseitiges Teilen eindeutig; beide Objekte erfüllen die Definition.

48. Sei R ein kommutativer Ring, S eine multiplikative Teilmenge von R und

S̄ = {t ∈ R | ∃s ∈ S ∃r ∈ R rt = s}.

Dann ist S^{−1}R isomorph zu S̄^{−1}R.

49. Seien R, S und S̄ wie im vorigen Beispiel. Ein Element \frac{r}{s} von S^{−1}R ist invertierbar genau dann, wenn r ∈ S̄.

50. Sei R ein Euklidischer Ring, dessen Rangfunktion ρ(ab) ≥ ρ(a) (für a, b ∈ R mit ab ≠ 0) erfüllt. Zeigen Sie: u ∈ R ist Einheit genau dann, wenn u minimalen Rang hat (d.h., wenn ρ(u) = min{ρ(a) | a ∈ R \ {0}}).

51. Zeigen Sie, daß R = ℤ[i] ein Euklidischer Ring ist mit der Rangfunktion N(a + bi) = a^{2} + b^{2} (für a, b ∈ ℤ). (Hinweis: zuerst Division mir Rest von Elementen aus R durch Elemente aus ℕ zeigen; dann Division von r ∈ R durch z ∈ R (wobei z ≠ 0) via Divison von rz̄ durch zz̄ zeigen.)