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\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt

\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
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\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
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\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
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\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\ratq{{\bb Q}}
\def\reals{{\bb R}} \def\compl{{\bb C}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}

\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\bf Algebra \"Ubungen 3} \hfill {\rm WS 05/06} }
\bigskip \bigskip

\item{\bf 26.} 
Sei $(G,+)$ eine kommutative Gruppe. Dann bilden die Endomorphismen
von $G$,
${\rm End(G)}= \{\varphi\colon G\rightarrow G\mid
\varphi(g+h)=\varphi(g)+\varphi(h)\}$, einen Ring mit Eins
$({\rm End(G)},+,\circ)$ bzgl.\ elementweiser Addition
$(\varphi+\psi)(g)=\varphi(g)+\psi(g)$ und der Verkn\"upfung von
Funktionen als Multiplikation
$(\varphi\circ\psi)(g)=\varphi(\psi(g))$.
\medskip

\item{\bf 27.}
Sei $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt
\itemitem{(i)} $A\le G \;\Longrightarrow\; f(A)\le H$,
\itemitem{(ii)} $B\nt G \;\Longrightarrow\; f(B)\nt f(G)$, aber
 $B\nt G \;\not{\!\!\!\Longrightarrow} f(B)\nt G$,
 \itemitem{(iii)} $K\le H \;\Longrightarrow\; f^{-1}(K)\le G$,
 \itemitem{(iv)} $M\nt H \;\Longrightarrow\; f^{-1}(M)\nt G$.
 \medskip


\item{\bf 28.}
Sei $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.
dann gilt
\itemitem{(i)} $\forall A\>\subseteq G\mspace f^{-1}(f(A))=A\Ker f$,
\itemitem{(ii)} $\forall C\>\subseteq H\mspace f(f^{-1}(C))=C\cap \Im(f)$.
\medskip


\item{\bf 29.}
Seien $f$ und $g$ Gruppenhomomorphismen,
$f,\,g\colon G\rightarrow H$ und $A\subseteq G$. Dann gilt
\itemitem{(i)} $f(\langle A\rangle)=\langle f(A)\rangle$
\itemitem{(ii)} Wenn $\forall\> a\in \!A\;\; f(a)=g(a)$, dann
$\forall\> b\in\langle A\rangle\;\; f(b)=g(b)$.
%\item{}
\medskip

\item{ 30.} F\"ur $n\in\natn$ bezeichne $(C_n, \cdot)$ die zyklische
Gruppe der Ordnung $n$. Bestimmen Sie
\itemitem{(i)} alle Gruppenhomomorphismen $\varphi\colon C_n\rightarrow C_m$
\itemitem{(ii)}  alle Automorphismen von $C_n$
\medskip

\item{\bf 31.}
Seien $H$ und $K$ Untergruppen von $G$. Dann ist 
$HK=\{hk\mid h\in H,\, k\in K\}$ genau dann eine Untergruppe von $G$,
wenn $HK=KH$ gilt. (Daher gilt f\"ur jeden Normalteiler $N$ von $G$ und
jede Untergruppe $H$ von $G$: $NH$ ist Untergruppe von $G$.)
\medskip

\item{\bf 32.}
Im Ring $\intz_m=\raise.3ex\hbox{\intz}/\lower.6ex\hbox{m\intz}$
ist $\bar k=k+m\intz$ genau dann ein Nullteiler, wenn
$\ggT(k,m)\ne 1$.\par
Daraus folgt: $\intz_m$ ist genau dann ein K\"orper, wenn $m$ eine
Primzahl ist.
\medskip

\item{\bf 33.} 
Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe, und $a,\>b \in G$
mit $|a|,\> |b|$ endlich.%\hfill\break
\itemitem{(i)} Wenn $\ggT(|a|,\,|b|)=1$ und $ab=ba$, dann gilt
$|ab|=|a| |b|$.
\itemitem{(ii)}
Etwas allgemeiner: wenn
$\langle a\rangle\cap \langle b\rangle =\{e\}$ und $ab=ba$, dann
folgt $|ab|=\kgV(|a|, |b|)$.
\medskip

\item{\bf 34.}
Sei $\sigma\in S_m$ ein $n$-Zyklus. Bestimmen Sie die Ordnung von
$\sigma$, sowie den Zyklentyp von $\sigma^k$ f\"ur $1\le k\le n$.
\medskip

\item{\bf 35.} 
Sei $\pi\in S_n$ vom Zyklentyp $[t_1,\ldots,t_n]$. Bestimmen Sie die
Ordnung von $\pi$.
\medskip

\item{ 36.}
Sei $G$ eine endliche $p$-Gruppe und $H$ ein nicht-trivialer Normalteiler
von $G$. Dann ist auch der Durchschnitt von $H$ mit 
${\rm Z}(G)=\{a\in G\mid\forall b\in G\> ab=ba\}$, dem Zentrum von $G$,
nicht trivial.
\medskip

\item{\bf 37.}
Sei $G$ Gruppe, und $S,\,T\le G$.
Zeigen Sie $|ST|=|S|\,[T\colon S\cap T]$.\hfill\break
Wenn $S$ und $T$ endlich sind, dann gilt
$$|ST|={{|S|\,|T|}\over {|S\cap T|}}\>.$$
\smallskip

\item{ 38.}
Jede Gruppe der Ordnung 56 hat einen nichttrivialen Normalteiler.
\medskip

\item{ 39.}
Jede Gruppe der Ordnung 200 hat einen nichttrivialen Normalteiler.
\medskip

\bye
