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\hyphenation{Teiler-kette Linear-kombination Kongruenz-relation} 

\bigskipamount=9pt plus 2pt minus 1.5pt

\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}

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% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
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\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
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\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
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\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\ratq{{\bb Q}}
\def\reals{{\bb R}} \def\compl{{\bb C}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}

\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\Ker{\hbox{{\rm Ker}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}

\def\eG{e_{\scriptscriptstyle G}}
\def\eH{e_{\scriptscriptstyle H}}

\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}


\line{{\bf Algebra \"Ubungen 2} \hfill {\rm WS 05/06} }
\bigskip \bigskip

\item{\bf 14.} 
Gegeben ein Tetraeder mit Eckpunkten $a,b,c,d$. Bestimmen Sie die
Gruppe der Permutationen von $a,b,c,d$, die sich durch Drehungen
des Tetraeders im $3$-dim Raum ergeben. 
\bigskip

\item{\bf 15.}
Sei $H$ der Stabilisator des Punktes $a$ in der Gruppe $G$ aus Bsp.~14.
Geben Sie die Partition von $G$ in Linksnebenklassen
bzw. Rechtsnebenklassen von $H$ an.
\bigskip

\item{\bf 16.} 
Sei $D_n$ die Symmetriegruppe des regelm\"assigen $n$-Ecks (die Gruppe
jener Permutationen der Eckpunkte, die sich aus den Drehungen und
Spiegelungen der $2$-dim Ebene, die das $n$-Eck auf sich abbilden,
ergeben). 
Zeigen Sie, da\ss\ die Drehungen einen Normalteiler bilden. 
\bigskip

\itemitem{{\bf 17.}\ \ \ (i)}
Eine endliche Teilmenge $H\ne\emptyset$ einer Gruppe $G$ ist schon eine 
Untergruppe, wenn nur $a,\,b\in H\Rightarrow ab\in H$.
\itemitem{(ii)}
F\"ur unendliche 
Teilmengen stimmt das nicht. (Finden Sie zus\"atzlich zu den in 
Vorlesung und Skriptum genannten ein weiteres Gegenbeispiel).
\bigskip


\item{\bf 18.}
Sei $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus,
$\eG$, $\eH$ das neutrale Element in $G$ bzw.\ $H$,
dann gilt
$$f(\eG)=\eH \quad{\rm\ und\ }\quad \forall a\in G\;
f(a^{-1})=(f(a))^{-1}.$$
Wenn $G$ und $H$ nur Monoide sind, $f\colon G\rightarrow H$ ein
Homomorphismus: k\"onnen Sie eine m\"oglichst schwache
Voraussetzung (eine Forderung an das Bild von $G$ unter $f$)
formulieren, aus der $f(\eG)=\eH$ folgt?
\bigskip

\item{\bf 19.}
Sei $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus, dann
gilt f\"ur jedes Element $a$ von endlicher Ordnung 
$\left|a\right|$ in $G$: die Ordnung von $f(a)$ in $H$ teilt
$\left|a\right|$.
\bigskip

\item{\bf 20.} 
Gegeben ein W\"urfel im $3$-dim Raum, $G$ die Gruppe der Drehungen,
die den W\"urfel auf sich selbst abbilden. Stellen Sie die Elemente
der Gruppe $G$ auf drei verschiedene Arten dar (Matrizen, Permutationen
verschiedener Teile des W\"urfels - es gibt mehr als drei naheliegende
Darstellungen).
\bigskip

\item{\bf 21.} Welche der folgenden Gruppen sind zueinander
isomorph? 
1)~$\bigl(\reals\setminus\{0\},\cdot\bigr)$ \
2)~$\bigl(\reals, +\bigr)$
3)~$S^1=\bigl(\{z\in\compl\mid \left|z\right|=1\},\cdot\bigr)$ \ 
4)~$\bigl(\{r\in\reals\mid r>0\},\cdot\bigr)$ \ 
5)~$\bigl(\reals,+\bigr)/\bigl(\intz, +\bigr)$ \ 
\bigskip

\item{\bf 22.}
Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe und  $\equiv $ eine Kongruenzrelation
auf $G$,
%das hei\ss t eine \"Aquivalenz\-relation mit der Eigenschaft, da\ss\
%$a\equiv a'$ und $b\equiv b'$ impliziert $a\cdot b\equiv a'\cdot b'$,
dann ist die Klasse von $e$ ein Normalteiler $N\nt G$, und es gilt:
$a\equiv b$ genau dann, wenn $a^{-1}b\in N$.
\bigskip

\item{\bf 23.}
$\intz_n$ bezeichne die Gruppe $(\intz/ n\intz, +)$.
$f\colon \intz_{9}\rightarrow \intz_3$,\ \
$f(x+9\intz)=x+3\intz$ ist ein Gruppen-Epi\-morph\-ismus, der
keine Rechtsinverse, die Gruppen-Homo\-morph\-ismus ist, hat.
\bigskip
 
\item{\bf 24.}
$g\colon \intz_{3}\rightarrow \intz_{9}$,\ \
$g(x+3\intz)=3x+9\intz$ ist ein Gruppen-Mono\-morph\-ismus, der
keine Linksinverse, die Gruppen-Homo\-morph\-ismus ist, hat.
\bigskip

\item{\bf 25.} 
Sei $f\colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus 
[bzw. Ringhomomorphismus\/], $\le$ heisse {\it Untergruppe}
[bzw.~{\it Unterring\/}], $\nt$ heisse {\it Normalteiler} 
[bzw.~{\it Ideal\/}],
dann gilt
\itemitem{(i)} $A\le G \;\Longrightarrow\; f(A)\le H$,
\itemitem{(ii)} $B\nt G \;\Longrightarrow\; f(B)\nt f(G)$
(aber $B\nt G \;\not{\!\!\!\Longrightarrow} f(B)\nt H$),
\itemitem{(iii)} $K\le H \;\Longrightarrow\; f^{-1}(K)\le G$,
\itemitem{(iv)} $M\nt H \;\Longrightarrow\; f^{-1}(M)\nt G$.
\bigskip

\bye
