Algebra Übungen 2 WS 05/06

14. Gegeben ein Tetraeder mit Eckpunkten a, b, c, d. Bestimmen Sie die Gruppe der Permutationen von a, b, c, d, die sich durch Drehungen des Tetraeders im 3-dim Raum ergeben.

15. Sei H der Stabilisator des Punktes a in der Gruppe G aus Bsp. 14. Geben Sie die Partition von G in Linksnebenklassen bzw. Rechtsnebenklassen von H an.

16. Sei D_{n} die Symmetriegruppe des regelmässigen n-Ecks (die Gruppe jener Permutationen der Eckpunkte, die sich aus den Drehungen und Spiegelungen der 2-dim Ebene, die das n-Eck auf sich abbilden, ergeben). Zeigen Sie, daß die Drehungen einen Normalteiler bilden.

17. (i) Eine endliche Teilmenge H ≠ ∅ einer Gruppe G ist schon eine Untergruppe, wenn

nur a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H. (ii) Für unendliche Teilmengen stimmt das nicht. (Finden Sie zusätzlich zu den in

Vorlesung und Skriptum genannten ein weiteres Gegenbeispiel).

18. Sei f: G → H ein Gruppenhomomorphismus, e_{G}, e_{H} das neutrale Element in G bzw.

H, dann gilt

f(e_{G}) = e_{H} und ∀a ∈ G f(a^{−1}) = (f(a))^{−1}.

Wenn G und H nur Monoide sind, f: G → H ein Homomorphismus: können Sie eine möglichst schwache Voraussetzung (eine Forderung an das Bild von G unter f) formulieren, aus der f(e_{G}) = e_{H} folgt?

19. Sei f: G → H ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt für jedes Element a von endlicher Ordnung |a| in G: die Ordnung von f(a) in H teilt |a|.

20. Gegeben ein Würfel im 3-dim Raum, G die Gruppe der Drehungen, die den Würfel auf sich selbst abbilden. Stellen Sie die Elemente der Gruppe G auf drei verschiedene Arten dar (Matrizen, Permutationen verschiedener Teile des Würfels - es gibt mehr als drei naheliegende Darstellungen).

21. Welche der folgenden Gruppen sind zueinander isomorph? 1) (ℝ \ {0}, ·) 2) (ℝ, +) 3) S^{1} = ({z ∈ ℂ | |z| = 1}, ·) 4) ({r ∈ ℝ | r > 0}, ·) 5) (ℝ, +)/(ℤ, +)

22. Sei (G, ·) eine Gruppe und ≡ eine Kongruenzrelation auf G, dann ist die Klasse von e ein Normalteiler N ⊴ G, und es gilt: a ≡ b genau dann, wenn a^{−1}b ∈ N.

23. ℤ_{n} bezeichne die Gruppe (ℤ/nℤ, +). f: ℤ_{9} → ℤ_{3}, f(x+9ℤ) = x+3ℤ ist ein Gruppen-Epimorphismus, der keine Rechtsinverse, die Gruppen-Homomorphismus ist, hat.

24. g: ℤ_{3} → ℤ_{9}, g(x + 3ℤ) = 3x + 9ℤ ist ein Gruppen-Monomorphismus, der keine Linksinverse, die Gruppen-Homomorphismus ist, hat.

25. Sei f: G → H ein Gruppenhomomorphismus [bzw. Ringhomomorphismus], ≤ heisse Untergruppe [bzw. Unterring], ⊴ heisse Normalteiler [bzw. Ideal], dann gilt

(i) A ≤ G ⟹ f(A) ≤ H, (ii) B ⊴ G ⟹ f(B) ⊴ f(G) (aber B ⊴ G ≠⇒f(B) ⊴ H), (iii) K ≤ H ⟹ f^{−1}(K) ≤ G, (iv) M ⊴ H ⟹ f^{−1}(M) ⊴ G.