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\hyphenation{be-zeich-nen be-zeich-net}


\line{{\bf Algebra \"Ubungen 1} \hfill\rm  WS05/06}
\bigskip \bigskip

\item{\bf 1.}
Sei $(H,\cdot)$ eine Halbgruppe und $e$ ein zus\"atzliches Element,
$e\notin H$. Wenn man die Multiplikation von $H$ auf $M=H\cup\{e\}$
erweitert, indem man $\forall h\in H$ $h\cdot e=h$ und
$\forall h\in H$ $e\cdot h=h$ und $e\cdot e=e$ definiert, dann ist
$(M,\cdot)$ ein Monoid.
\bigskip

\item{\bf 2.}
Finden Sie m\"oglichst viele Unterhalbgruppen des Monoids $({\bb Z},\cdot)$.
Wieviele endliche Unterhalbgruppen gibt es?  Haben alle Unterhalbgruppen, 
die Monoide sind, dasselbe neutrale Element wie $({\bb Z},\cdot)$?
\bigskip

\item{\bf 3.}
{\hfuzz=.2pt
Seien $X,\>Y$ nichtleere Mengen und $f\colon X\rightarrow Y$ eine Funktion.
Eine Linksinverse von $f$ ist eine Funktion $g\colon Y\rightarrow X$ mit
$g\circ f=\id_{X}$; eine Rechtsinverse von $f$ ist eine Funktion
$h\colon Y\rightarrow X$  mit $f\circ h=\id_{Y}$.
\itemitem{(a)}
$\exists\; g\colon Y\rightarrow X \hbox{\rm\ mit\ } g\circ f=\id_{X}
\hbox{\rm \ \ (d.h.~$f$ hat eine Linksinverse)}
\>\iff\> f \hbox{\rm \ ist\ injektiv.}$
\itemitem{(b)}
$\exists\; h\colon Y\rightarrow X \hbox{\rm\  mit\ } f\circ h=\id_{Y}
\hbox{\rm \ (d.h.~$f$ hat eine Rechtsinverse)}
\>\iff\> f \hbox{\rm \ ist\ surjektiv.}$
\itemitem{(c)}
Im Monoid $(X^X,\circ)$ der Funktionen auf $X$ sind die
invertier\-baren Elemente genau die bijektiven Funktionen.
}
\bigskip

\item{\bf 4.}
F\"ur nicht-leere Teilmengen $A,\,B$ eines Monoids $(H, \cdot)$ ist
das Komplexprodukt von $A$ und $B$ defniert als
$$ AB =\{a\cdot b\mid a\in A,\> b\in B\} $$
(Statt $1$-elementiger Teilmengen schreibt man nur das entsprechende
Element an, also $aB$ statt $\{a\}B$.)
Zeigen Sie, da\ss\ die nicht-leeren Teilmengen von $H$ mit dieser
Multiplikation ein Monoid bilden, und bestimmen Sie die invertierbaren
Elemente in diesem Monoid.
\bigskip

\item{\bf 5.}
Sei $(H,\cdot)$ eine Halbgruppe. In der Menge der Worte \"uber dem
Alphabet $H\cup\{(,),\cdot\}$ sind die \glq Produkte\grq\ induktiv
definiert wie folgt:
\itemitem{(i)} Jedes $a\in H$ ist ein Produkt.
\itemitem{(ii)} Wenn $P$ und $Q$ Produkte sind, dann ist auch $(P\cdot Q)$
ein Produkt.
\item{}
Ein Produkt $P$ hei\ss t Produkt der Elemente $a_1,\ldots a_n\in H$
(in dieser Reihenfolge), wenn genau das Wort $a_1\ldots a_n$
\"uberbleibt, wenn man alle Klammern und Multiplikationszeichen in $P$
wegl\"a\ss t.
\item{}
Jedes Produkt bezeichnet (durch Ausmultiplizieren) ein Element von $H$.
Zeigen Sie,
da\ss\  alle Produkte von $a_1,\ldots a_n$ (in dieser Reihen\-folge) in $H$
dasselbe Element bezeichnen. Tip: zeigen Sie, da\ss\ 
jedes Produkt von $a_1,\ldots a_n$ dasselbe Element ergibt wie das
rechtsb\"undig geklammerte Produkt   
$(a_1\cdot(a_2\cdot(\ldots\kern-.5pt\ldots%
(a_{n-2}\cdot(a_{n-1}\cdot a_n))\kern-.2pt.\kern-.8pt.\kern-.8pt.\kern-.8pt)))$.
\bigskip

\item{\bf 6.} 
Sei $(H,\cdot)$ eine Halbgruppe [ein Monoid], $a,\>b\in H$,
$m,\>n\in\natn$, [$m,\>n\in\natn_0$],
dann gilt
\itemitem{(a)} $a^m\cdot a^n= a^{m+n}$
\itemitem{(b)} $(a^m)^n= a^{mn}$
\itemitem{(b)} $a\cdot b=b\cdot a\Longrightarrow (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
\par
Formulieren Sie auch die analogen Regeln f\"ur additiv geschriebene
Halbgruppen.
\bigskip
\goodbreak

\item{\bf 7.}
Sei $R$ ein Ring; $a$ hei\ss e Links-Nullteiler, wenn
$\exists b\in R$ mit $b\ne 0$ und $a\cdot b=0$.
Dann ist f\"ur $a\in R$ \"aquivalent:
\itemitem{(1)} $a$ ist links k\"urzbar
(d.h.~$a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow b=c$)
\itemitem{(2)} $a$ ist kein Links-Nullteiler
\itemitem{(3)} $L_a\colon R\rightarrow R$, $L_a(x)=a\cdot x$ ist injektiv.
\item{} (Analoges gilt f\"ur rechts.) Folgerung: ein Ring ist genau dann
nullteilerfrei, wenn jedes Element (rechts und links) k\"urzbar ist.
\bigskip

\item{\bf 8.} Sei $R$ ein kommutativer Ring.
\itemitem{\ \ (i)}
Wenn $a\in R$ ein Nullteiler und $b\in R$ beliebig, dann ist
$ab$ ein Nullteiler. 
%Die Nullteiler von $R$ bilden jedoch im Allgemeinen kein Ideal (Beispiel).
\itemitem{\ \ (ii)} Die Menge der Nicht-Nullteiler von $R$ ist
multiplikativ abgeschlossen, d.h., wenn $a$ kein Nullteiler und
$b$ kein Nullteiler, dann ist auch $ab$  kein Nullteiler.
\bigskip

\item{\bf 9.}
Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring und $a,\,b,\,c\in R$. Zeigen Sie
\itemitem{(i)} $0\cdot a=0=a\cdot 0$
\itemitem{(ii)} $(-a)\cdot b=-(a\cdot b)=a\cdot (-b)$\ \ \  und\ \ \
$(-a)\cdot (-b)=a\cdot b$
\itemitem{(iii)} $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$\ \ \  und\ \ \
$(a-b)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c$
\bigskip

\item{\bf 10.} Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring,
$a,\, b\in R$, $k\in\natn_0$ und $n,\, m\in \intz$.  Zeigen Sie
\itemitem{(i)} $(-a)^{k}=(-1)^ka^k$
\itemitem{(ii)} $(na)\cdot (mb) = (n\cdot m)(a\cdot b)$\ \ \ \ (Hier ist
$n\cdot m$ das Produkt in $\intz$.)
\itemitem{(iii)} Wenn $R$ ein Einselement $1_R$ hat, dann ist \
$na=(n1_R)\cdot a= a\cdot (n1_R)$.
\bigskip



\item{\bf 11.}
Sei $(G,\cdot)$ eine Halbgruppe mit einem Element $e\in G$, soda\ss
\itemitem{(1)} $\forall a\in G \quad e\cdot a=a\quad$
($e$ ist linksneutrales Element) und
\itemitem{(2)} $\forall a\in G\/\>\> \exists a^{-1}\in G\quad a^{-1}\cdot
a=e\quad$ (jedes $a$ hat ein Linksinverses),\par
dann ist $G$ eine Gruppe.
\item{}
(Mit rechtsneutralem Element und Rechtsinversen geht's nat\"urlich auch.)
\bigskip

\item{\bf 12.} 
Sei $(H,\cdot)$ eine Halbgruppe, soda\ss\
f\"ur alle $a\in H$ sowohl $L_a\colon H\rightarrow H$ ($L_a(x)=a\cdot x$)
als auch $R_a\colon H\rightarrow H$ ($R_a(x)=x\cdot a$) surjektiv sind,
dann ist $(H,\cdot)$ eine Gruppe.
\bigskip

\item{\bf 13.} 
Sei $R\ne\{0\}$ ein endlicher nullteilerfreier Ring. Dann ist
$R$ ein Schiefk\"orper.
(Bemerkung: Tats\"achlich ist --- nach dem Satz von Wedderburn ---
$R$ dann sogar ein K\"orper.)

\bye


