Algebra Übungen 1 WS05/06

1. Sei (H, ·) eine Halbgruppe und e ein zusätzliches Element, e ∉ H. Wenn man die Multiplikation von H auf M = H ∪ {e} erweitert, indem man ∀h ∈ H h · e = h und ∀h ∈ H e · h = h und e · e = e definiert, dann ist (M, ·) ein Monoid.

2. Finden Sie möglichst viele Unterhalbgruppen des Monoids (ℤ, ·). Wieviele endliche Unterhalbgruppen gibt es? Haben alle Unterhalbgruppen, die Monoide sind, dasselbe neutrale Element wie (ℤ, ·)?

3. Seien X, Y nichtleere Mengen und f: X → Y eine Funktion. Eine Linksinverse von f ist eine Funktion g: Y → X mit g∘f = id_{X}; eine Rechtsinverse von f ist eine Funktion h: Y → X mit f ∘ h = id_{Y}.

(a) ∃ g: Y → X mit g ∘ f = id_{X} (d.h. f hat eine Linksinverse) ⟺ f ist injektiv.

(b) ∃ h: Y → X mit f ∘h = id_{Y} (d.h. f hat eine Rechtsinverse) ⟺ f ist surjektiv.

(c) Im Monoid (X^{X}, ∘) der Funktionen auf X sind die invertierbaren Elemente genau die bijektiven Funktionen.

4. Für nicht-leere Teilmengen A, B eines Monoids (H, ·) ist das Komplexprodukt von A

und B defniert als

AB = {a · b | a ∈ A, b ∈ B}

(Statt 1-elementiger Teilmengen schreibt man nur das entsprechende Element an, also aB statt {a}B.) Zeigen Sie, daß die nicht-leeren Teilmengen von H mit dieser Multiplikation ein Monoid bilden, und bestimmen Sie die invertierbaren Elemente in diesem Monoid.

5. Sei (H, ·) eine Halbgruppe. In der Menge der Worte über dem Alphabet H ∪ {(,), ·} sind die ,,Produkte“ induktiv definiert wie folgt:

(i) Jedes a ∈ H ist ein Produkt. (ii) Wenn P und Q Produkte sind, dann ist auch (P · Q) ein Produkt. Ein Produkt P heißt Produkt der Elemente a_{1}, … a_{n} ∈ H (in dieser Reihenfolge), wenn genau das Wort a_{1} … a_{n} überbleibt, wenn man alle Klammern und Multiplikationszeichen in P wegläßt. Jedes Produkt bezeichnet (durch Ausmultiplizieren) ein Element von H. Zeigen Sie, daß alle Produkte von a_{1}, … a_{n} (in dieser Reihenfolge) in H dasselbe Element bezeichnen. Tip: zeigen Sie, daß jedes Produkt von a_{1}, … a_{n} dasselbe Element ergibt wie das rechtsbündig geklammerte Produkt (a_{1} · (a_{2} · (. . .. . . (a_{n−2} · (a_{n−1} · a_{n}))...))).

6. Sei (H, ·) eine Halbgruppe [ein Monoid], a, b ∈ H, m, n ∈ ℕ, [m, n ∈ ℕ_{0}], dann gilt (a) a^{m} · a^{n} = a^{m+n}

(b) (a^{m})^{n} = a^{mn}

(b) a · b = b · a ⟹ (a · b)^{n} = a^{n} · b^{n} Formulieren Sie auch die analogen Regeln für additiv geschriebene Halbgruppen.

7. Sei R ein Ring; a heiße Links-Nullteiler, wenn ∃b ∈ R mit b ≠ 0 und a · b = 0. Dann ist für a ∈ R äquivalent:

(1) a ist links kürzbar (d.h. a · b = a · c ⇒ b = c)

(2) a ist kein Links-Nullteiler

(3) L_{a}: R → R, L_{a}(x) = a · x ist injektiv. (Analoges gilt für rechts.) Folgerung: ein Ring ist genau dann nullteilerfrei, wenn jedes Element (rechts und links) kürzbar ist.

8. Sei R ein kommutativer Ring.

(i) Wenn a ∈ R ein Nullteiler und b ∈ R beliebig, dann ist ab ein Nullteiler. (ii) Die Menge der Nicht-Nullteiler von R ist multiplikativ abgeschlossen, d.h., wenn

a kein Nullteiler und b kein Nullteiler, dann ist auch ab kein Nullteiler.

9. Sei (R, +, ·) ein Ring und a, b, c ∈ R. Zeigen Sie (i) 0 · a = 0 = a · 0 (ii) (−a) · b = −(a · b) = a · (−b) und (−a) · (−b) = a · b (iii) a · (b − c) = a · b − a · c und (a − b) · c = a · c − b · c

10. Sei (R, +, ·) ein Ring, a, b ∈ R, k ∈ ℕ_{0} und n, m ∈ ℤ. Zeigen Sie (i) (−a)^{k} = (−1)^{k}a^{k} (ii) (na) · (mb) = (n · m)(a · b) (Hier ist n · m das Produkt in ℤ.) (iii) Wenn R ein Einselement 1_{R} hat, dann ist na = (n1_{R}) · a = a · (n1_{R}).

11. Sei (G, ·) eine Halbgruppe mit einem Element e ∈ G, sodaß (1) ∀a ∈ G e · a = a (e ist linksneutrales Element) und

(2) ∀a ∈ G ∃a^{−1} ∈ G a^{−1} · a = e (jedes a hat ein Linksinverses), dann ist G eine Gruppe. (Mit rechtsneutralem Element und Rechtsinversen geht’s natürlich auch.)

12. Sei (H, ·) eine Halbgruppe, sodaß für alle a ∈ H sowohl L_{a}: H → H (L_{a}(x) = a · x) als auch R_{a}: H → H (R_{a}(x) = x · a) surjektiv sind, dann ist (H, ·) eine Gruppe.

13. Sei R ≠ {0} ein endlicher nullteilerfreier Ring. Dann ist R ein Schiefkörper. (Bemerkung: Tatsächlich ist — nach dem Satz von Wedderburn — R dann sogar ein Körper.)