Skriptum zur Vorlesung

Algebra

Erstellt von Stephan Wagner

nach den Vorlesungsunterlagen von Sophie Frisch WS 2005/06

Inhaltsverzeichnis

I Gruppentheorie, 1. Teil 4

1 Halbgruppen 5 2 Gruppen 9 3 Untergruppen 13 4 Nebenklassen 17 5 Normalteiler 22 6 Faktorgruppen/Quotientengruppen 25 7 Gruppenhomomorphismen 27 8 Zyklische Gruppen 31 9 Isomorphiesätze 35 10 Untergruppen mit trivialem Durchschnitt 40 11 Direktes Produkt zweier Gruppen 42 12 Die symmetrische Gruppe 45 13 Direktes Produkt und direkte Summe von Gruppen 50 14 Wirkung einer Gruppe auf eine Menge 56 15 Sylowsätze 61 INHALTSVERZEICHNIS 2

II Ringtheorie 66

16 Definitionen und Beispiele 67 17 Spezielle Elemente eines Ringes 70 18 Ideale 75 19 Homomorphismen 79 20 Charakteristik 85 21 Adjunktion der Eins 89 22 Primideale, maximale Ideale 91 23 Direktes Produkt und direkte Summe von Ringen 97 24 Chinesischer Restsatz 100 25 Das Nilradikal 104 26 Der Polynomring 106 27 Einheiten in R[x] 111 28 Polynomring in mehreren Unbestimmten 113 29 Teilbarkeit in kommutativen Ringen mit Eins 116 30 ZPE-Ringe 120 31 Euklidische Ringe, Hauptidealringe 126 32 Ring der Brüche, Lokalisierung, Quotientenkörper 129 33 Faktorisierung in Polynomringen 138 34 Formale Ableitung – mehrfache Nullstellen 141 35 Polynome über ZPE-Ringen 147 INHALTSVERZEICHNIS 3

III Gruppentheorie, 2.Teil 152

36 Freie Abelsche Gruppen 153 37 Matrizenumformungen 158 38 Endlich erzeugte Abelsche Gruppen 161

IV Körpertheorie 169

39 Körpererweiterungen 170 40 Endliche Körper 183 41 Konstruktion mit Zirkel und Lineal 187

Teil I

Kapitel 1

Gruppentheorie, 1. Teil Halbgruppen

Definition 1.1 Sei G eine Menge. Eine innere Verknüpfung auf G ist eine Funktion · : G×G → G, (g, h) ↦ g ·h. (Man schreibt also den Funktionswert von (g, h) unter · als g · h.)

Bemerkung: Für a · b schreibt man auch kurz ab.

Definition 1.2 Sei (G, ·) eine Menge mit innerer Verknüpfung, e ∈ G. Wenn ∀g ∈ G e · g = g (bzw. ∀g ∈ G g · e = g) gilt, dann heißt e ein linksneutrales (bzw. rechtsneutrales) Element von (G, ·). Ein sowohl links- als auch rechtsneutrales Element heißt neutrales Element.

Proposition 1.3 Sei (G, ·) eine Menge mit einer innerer Verknüpfung, e, f ∈ G. Wenn e linksneutrales Element und f rechtsneutrales Element von (G, ·) ist, dann folgt e = f.

Beweis: e =^{f rechtsneutral} e · f =^{e linksneutral} f.
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Korollar 1.4 Wenn (G, ·) ein neutrales Element hat, dann ist dieses eindeutig bestimmt.

Definition 1.5 Eine nichtleere Menge G mit einer inneren Verknüpfung ·, für die

∀a, b, c ∈ G (a · b) · c = a · (b · c) ”Assoziativität von · “

gilt, heißt Halbgruppe. Eine Halbgruppe, in der es ein neutrales Element gibt, heißt Monoid.

Bemerkung: Das neutrale Element eines Monoids ist eindeutig bestimmt.

Beispiel: (ℕ, +), (ℕ_{0}, +), (ℕ, ·), (ℕ_{0}, ·), (ℝ^{+}, +), (ℝ^{+}, ·) sind Halbgruppen (wobei ℕ = {1, 2, 3, …} (natürliche Zahlen), ℕ_{0} = {0, 1, 2, …} (nichtnegative ganze Zahlen), ℝ^{+} = {r ∈ ℝ | r > 0} (positive reelle Zahlen)).

Beispiel: Die n × n-Matrizen mit Eintragungen in ℤ, (M_{n}(ℤ), ·), bilden mit der üblichen Matrizenmultiplikation

A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n}, B = (b_{ij})_{1≤i,j≤n} ⇒ A · B = (c_{ij}) mit c_{ij} = ∑_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}

ein Monoid. Neutrales Element ist die Einheitsmatrix I_{n} = (δ_{ij}). Beispiel:

H_{n} = (\{0, 1, 2, …, n\}, ∗) mit i ∗ j := min(i + j, n) = \begin{cases}i + j & i + j < n \\ n & i + j ≥ n \end{cases}

ist ein Monoid.

Beispiel: H̃_{n} = ({0, 1, 2, …, n}, ∘) mit i ∘ j := min(i · j, n) ist ein Monoid.

Beispiel: Die strikten oberen Dreiecksmatrizen

{(a_{ij})_{1≤i,j≤n} | a_{ij} ∈ ℤ, a_{ij} = 0 wenn j ≤ i} ⊆ M_{n}(ℤ)

bilden eine Halbgruppe ohne neutrales Element.

Definition 1.6 (M, ·) sei ein Monoid, e das neutrale Element, a ∈ M;

• b ∈ M heißt Rechtsinverses zu a, wenn a · b = e.

• c ∈ M heißt Linksinverses zu a, wenn c · a = e.

Wenn d ∈ M sowohl Links- als auch Rechtsinverses zu a ist, d.h.

d · a = e = a · d,

dann heißt d Inverses zu a. Ein Element, das ein Inverses hat, heißt invertierbar.

Proposition 1.7 Sei (M, ·) ein Monoid, a, b, c ∈ M, e das neutrale Element. Wenn b Linksinverses zu a und c Rechtsinverses zu a ist, dann gilt b = c.

Beweis: Aufgrund der Assoziativität folgt aus b · a = e, a · c = e:

(b · a) · c = b · (a · c) ⇒ c = e · c = (b · a) · c = b · (a · c) = b · e = b

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Korollar 1.8 Das Inverse eines Elements (wenn eines existiert) in einem Monoid ist eindeutig bestimmt.

Definition 1.9 Sei (G, ·) eine Menge mit innerer Verknüpfung. Wenn

∀ a, b ∈ G a · b = b · a

gilt, dann heißt (G, ·) kommutativ.

Definition 1.10 Eine Menge G heißt endlich,wenn ∃n ∈ ℕ_{0}, sodass G gleichmächtig zu {0, 1, …, n − 1} ist.

Bemerkung: Die Mengen X, Y heißen gleichmächtig, wenn eine bijektive Funktion f : X → Y existiert.

Bemerkung: Ein wichtiges Monoid ist folgendermaßen gegeben:

X sei eine beliebige Menge, X^{X} = {f : X → X | f Funktion}, und ∘ sei die Hintereinanderausführung von Funktionen, d.h. g ∘ f(x) := g(f(x)). (X^{X}, ∘) ist ein Monoid, die identische Funktion id_{X} (id_{X}(a) = a) das neutrale Element.

Definition 1.11 Seien X, Y Mengen, f : X → Y eine Funktion.

• Eine Funktion g : Y → X heißt Linksinverse von f, wenn g ∘ f = id_{X}.

• Eine Funktion h : Y → X heißt Rechtsinverse von f, wenn f ∘h = id_{Y}.

• Eine Funktion g : Y → X heißt Inverse (Umkehrfunktion) von f, wenn g ∘ f = id_{X} und f ∘ g = id_{Y}; man schreibt f^{−1} für die Inverse.

Bemerkung: Sind X, Y Mengen, f : X → Y eine Funktion; dann gilt

• f hat eine Linksinverse ⟺ f injektiv

• f hat eine Rechtsinverse ⟺ f surjektiv

• f hat eine Inverse (Umkehrfunktion) ⟺ f bijektiv

Beweis: als Übung.

Definition 1.12 Ein Element a einer Menge mit innerer Verknüpfung (G, ·) heißt linkskürzbar, wenn ∀b, c ∈ G (a · b = a · c ⇒ b = c). Analog heißt a rechtskürzbar, wenn ∀b, c ∈ G (b · a = c · a ⇒ b = c).

Definition 1.13 Eine Halbgruppe (H, ·), in der ∀a, b, c ∈ H gilt

a · b = a · c ⇒ b = c (Linkskürzungsregel) und

b · a = c · a ⇒ b = c (Rechtskürzungsregel)

heißt reguläre Halbgruppe (oder Kürzungshalbgruppe). (Ein kommutatives reguläres Monoid wird auch Gauß’sches Monoid genannt.)

Definition 1.14 Sei (G, ·) eine Menge mit innerer Verknüpfung, a ∈ G. Die Funktion L_{a} : G → G mit L_{a}(x) = a · x heißt Linkstranslation mit a, die Funktion R_{a} : G → G mit R_{a}(x) = x · a heißt Rechtstranslation mit a.

Bemerkung: (G, ·) sei eine Menge mit innerer Verknüpfung. a ∈ G ist genau dann linkskürzbar (a · b = a · c ⇒ b = c), wenn L_{a} injektiv ist (L_{a}(b) = L_{a}(c) ⇒ b = c); a ist genau dann rechtskürzbar, wenn R_{a} injektiv ist. Also erfüllt eine Halbgruppe H genau dann die Kürzungsregeln, wenn alle Linksund Rechtstranslationen L_{a}, R_{a} für alle a ∈ H injektiv sind.

Proposition 1.15 (verallgemeinerte Assoziativität) (H, ·) sei eine Halbgruppe, a_{1}, …, a_{n} ∈ H (n ∈ ℕ). Alle Produkte von a_{1}, …, a_{n} in dieser Reihenfolge bezeichnen dasselbe Element von H (unabhängig von der Klammerung).

Beweis: als Übung.

Definition 1.16 (Potenzen, Vielfache) Sei (H, ·) eine Halbgruppe, a ∈ H, n ∈ ℕ. Man definiert

a^{n} := \underbrace{a · a · . . . · a}_{n Stück a}

als das Produkt von n Stück a, unabhängig von der Klammersetzung. Wenn (H, ·) ein Monoid mit neutralem Element e ist, dann wird auch a^{0} := e definiert. Sei (H, +) eine Halbgruppe (additiv geschrieben), a ∈ H, n ∈ ℕ. Man definiert analog

na := \underbrace{a + a + … + a}_{n Stück a}

Wenn (H, +) ein Monoid mit neutralem Element e ist, dann wird 0a := e definiert.

Gruppen

Definition 2.1 Ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat, heißt Gruppe. Also ist eine Menge G mit einer Funktion ∗ : G × G → G, (g, h) ↦ g ∗ h eine Gruppe, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. G ≠ ∅

2. ∀a, b, c ∈ G a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (Assoziativität)

3. ∃e ∈ G, sodass

(a) ∀g ∈ G g ∗ e = g = e ∗ g (e ist neutrales Element)

(b) ∀g ∈ G ∃g′ ∈ G mit g ∗ g′ = e = g′ ∗ g (jedes g ∈ G hat Inverses)

Eine kommutative Gruppe heißt Abelsche Gruppe.

Bemerkung: Das neutrale Element in einer Gruppe (bereits in einem Monoid) ist eindeutig; das Inverse zu g ist auch eindeutig, da schon in einem Monoid mit neutralem Element e gilt:

g′ · g = e ∧ g · g′′ = e ⇒ g′ = g′′

Notation: Ist (G, ·) eine Gruppe (multiplikativ geschrieben), dann bezeichnen wir das Inverse von a mit a^{−1}. Ist (H, +) eine Gruppe (additiv geschrieben), dann bezeichnen wir das Inverse von a mit −a.

Beispiel: (ℤ, +), (ℝ, +), (ℝ \ {0}, ·), (ℂ \ {0}, ·), S^{1} = ({z ∈ ℂ | |z| = 1}, ·) sind Gruppen.

Beispiel: (ℤ_{n}, +) (n ∈ ℕ) ist eine Gruppe.

Dabei sind die Elemente von ℤ_{n} die Äquivalenzklassen der Elemente von ℤ bezüglich der Äquivalenzrelation a ∼ b ⇔ n | a − b. Die Klasse von a wird als \overline{a} geschrieben:

\overline{a} = \{b ∈ ℤ | n | a − b\} = \{b ∈ ℤ | ∃k ∈ ℤ a − b = nk\}
= {b ∈ ℤ | ∃k ∈ ℤ b = a − nk} = {b ∈ ℤ | ∃j ∈ ℤ b = a + nj} = a + nℤ

∼ ist Kongruenzrelation für +, d.h. a ∼ a′, b ∼ b′ ⇒ a + b ∼ a′ + b′:

a′ = a + nk, b′ = b + nj ⟹ a′ + b′ = a + b + n(k + j); n | (a′ + b′) − (a + b)

Daher ist \overline{a}+\overline{b} := \overline{a + b} wohldefiniert (die Klasse von a+b hängt nur von der Klasse von a und der Klasse von b ab, nicht von der Wahl von a, b innerhalb ihrer Klassen).

Beispiel: (GL_{n}(ℝ), ·) mit GL_{n}(ℝ) = {M ∈ M_{n}(ℝ) | det M ≠ 0} ist eine nichtkommutative Gruppe. Ebenso sind

• (SL_{n}(ℝ), ·) mit SL_{n}(ℝ) = {M ∈ M_{n}(ℝ) | det M = 1},

• (GL_{n}(ℤ), ·) mit GL_{n}(ℤ) = {M ∈ M_{n}(ℤ) | det M = ±1} und

• (SL_{n}(ℤ), ·) mit SL_{n}(ℤ) = {M ∈ M_{n}(ℤ) | det M = 1}

nichtkommutative Gruppen (außer für n = 1).

Definition 2.2 (Potenzen,Vielfache) Wir erweitern die Definition von a^{n} mit n ∈ ℕ_{0} für Monoide auf a^{n} mit n ∈ ℤ durch

a^{−m} := (a^{−1})^{m} = (a^{−1}) · (a^{−1}) · . . . · (a^{−1})

für m ∈ ℕ. Wenn die Gruppenoperation als + geschrieben wird, erweitern wir die Definition von na mit n ∈ ℕ_{0} für Monoide auf na, n ∈ ℤ, durch

(−m)a := (−a) + (−a) + … + (−a)

Notation: Man verwendet die Abkürzung a − b := a + (−b). Das neutrale Element eines additiv geschriebenen Monoids (H, +) wird oft als 0 geschrieben.

Satz 2.3 (Rechenregeln für Potenzen und Vielfache) Für a ∈ (H, ·) und n, m ∈ ℕ (falls H Halbgruppe) bzw. n, m ∈ ℕ_{0} (falls H Monoid) bzw. n, m ∈ ℤ (falls H Gruppe) gilt a^{m} · a^{n} = a^{m+n} und (a^{m})^{n} = a^{m·n}.

Falls a · b = b · a gilt, dann auch (a · b)^{n} = a^{n} · b^{n} für n ∈ ℕ (bzw. n ∈ ℕ_{0}, falls H Monoid; n ∈ ℤ, falls H Gruppe). Ist H kommutativ (d.h. ∀a, b ∈ H a · b = b · a), dann gilt ∀a, b ∈ H (a · b)^{n} = a^{n} · b^{n}. Wenn die Operation von H als + geschrieben wird, dann gilt a + b = b + a ⇒ n(a + b) = na + nb.

Satz 2.4 Sei (M, ·) ein Monoid, M^{∗} = {a ∈ M | ∃a′ ∈ M mit a · a′ = e = a′ · a} die Menge der invertierbaren Elemente. Dann ist (M^{∗}, ·) eine Gruppe.

Beweis:

• Es ist M^{∗} ≠ ∅, da e ∈ M^{∗} (e · e = e ⇒ e = e^{−1}).

• Damit · überhaupt wohldefinierte Verknüpfung auf M^{∗} ist, muss M^{∗} bezüglich · abgeschlossen sein, d.h. a ∈ M^{∗}, b ∈ M^{∗} ⇒ a · b ∈ M^{∗} gelten: Seien a^{−1}, b^{−1} die Inversen. Dann gilt

(a · b) · (b^{−1} · a^{−1}) = a · (b · b^{−1}) · a^{−1} = a · e · a^{−1} = a · a^{−1} = e

und analog auch (b^{−1} · a^{−1}) · (a · b) = e. Also ist a · b ∈ M^{∗}, das Inverse ist b^{−1} · a^{−1}. Daher ist die Einschränkung von · auf M^{∗} definiert, d.h. · : M^{∗} × M^{∗} → M^{∗}.

• (M^{∗}, ·) ist eine Halbgruppe, da die Assoziativität schon in M gilt. Da e ∈ M^{∗} und ∀a ∈ M^{∗} a · e = a = e · a gilt, ist M^{∗} ein Monoid mit neutralem Element e.

• Es bleibt zu zeigen, dass das Inverse von a ∈ M^{∗} in M^{∗} liegt. Dies ist jedoch der Fall, denn a^{−1} hat auch ein Inverses, nämlich a. Also hat jedes a ∈ M^{∗} ein Inverses a^{−1} ∈ M^{∗}.

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Beispiel: Sei (X^{X}, ∘) das Monoid der Funktionen f : X → X mit der Verknüpfung (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Dann sind die invertierbaren Elemente {f : X → X | ∃g : X → X g ∘ f = id_{X} = f ∘ g} = {f : X → X | f bijektiv}. (Beweis als Übung)

S_{X} = {f : X → X | f bijektiv} ist eine Gruppe bezüglich ∘. Besonders wichtig ist diese Gruppe für den Fall X = {1, 2, …, n}. Man schreibt S_{n} für S_{{1,...,n}}, die symmetrische Gruppe vom Grad n. S_{n} ist für n > 2 nicht kommutativ.

Charakterisierung der Gruppen innerhalb der Halbgruppen:

Proposition 2.5 Sei G ≠ ∅ eine Menge, · : G × G → G eine Verknüpfung, sodass

1. ∀a, b, c ∈ G a · (b · c) = (a · b) · c

2. ∃e ∈ G, sodass ∀a ∈ G a · e = a (e ist rechtsneutrales Element)

3. ∀a ∈ G ∃a′ ∈ G a · a′ = e (jedes a hat ein Rechtsinverses)

Dann ist G eine Gruppe.

Beweis: als Übung.

Proposition 2.6 Sei G ≠ ∅ eine Menge, · : G × G → G eine Verknüpfung, sodass

1. ∀a, b, c ∈ G a · (b · c) = (a · b) · c

2. ∀a, b ∈ G ∃x ∈ G : a · x = b

3. ∀a, b ∈ G ∃y ∈ G : y · a = b

Dann ist G eine Gruppe.

Beweis: als Übung.

Bemerkung: Eine Halbgruppe, in der alle Links- und Rechtstranslationen surjektiv sind, ist bereits eine Gruppe.

Bemerkung: Jede Gruppe erfüllt die Links- und Rechtskürzungsregeln, ist also eine reguläre Halbgruppe: aus a · b = a · c folgt durch Multiplikation mit a^{−1} von links e · b = e · c, also b = c; ebenso folgt aus b · a = c · a durch Multiplikation mit a^{−1} von rechts b · a = c · a.

Bemerkung: Die Links- und Rechtstranslationen L_{a} : G → G, R_{a} : G → G mit L_{a}(g) = a · g, R_{a}(g) = g · a sind bijektiv. Es gilt L_{a}^{−1} = L_{a^{−1}} (d.h. L_{a} ∘ L_{a^{−1}} = id_{G} = L_{a^{−1}} ∘ L_{a}), R_{a}^{−1} = R_{a^{−1}}.

Untergruppen

Definition 3.1 Sei (G, ·) eine Menge mit innerer Verknüpfung, H ⊆ G. H heißt abgeschlossen bezüglich ·, wenn ∀a, b ∈ G (a ∈ H ∧ b ∈ H ⇒ a · b ∈ H). Ist H abgeschlossen bezüglich ·, so definiert die Einschränkung von · : G × G → G auf H × H eine Funktion ·|_{H×H} : H × H → H, die wir einfach als · : H × H → H bezeichnen.

Definition 3.2 Sei (G, ·) eine Gruppe, H ⊆ G, H ≠ ∅. Wenn H abgeschlossen bezüglich · ist und (H, ·) die Gruppenaxiome erfüllt, dann heißt H Untergruppe von G; man schreibt (H, ·) ≤ (G, ·) (bzw. H ≤ G).

Beispiel: Jede Gruppe (G, ·) hat die trivialen Untergruppen {e} und G.

Beispiel: SL_{n}(ℝ) ≤ GL_{n}(ℝ); (ℤ, +) ≤ (ℝ, +); (nℤ, +) ≤ (ℤ, +), wobei nℤ = {nk | k ∈ ℤ} = {l ∈ ℤ | n| l}

Satz 3.3 Sei (G, ·) eine Gruppe, e das neutrale Element von G, a^{−1} das Inverse (in G) von a, und sei H ⊆ G. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. H ≤ G

2. (e ∈ H) ∧ (∀a, b ∈ H : a · b ∈ H) ∧ (∀a ∈ H : a^{−1} ∈ H)

3. (H ≠ ∅) ∧ (∀a, b ∈ H : a · b^{−1} ∈ H)

Beweis:

• (1. ⇒ 2.): H hat ein neutrales Element e_{H}; in G gilt e · e_{H} = e_{H}, in H ⊆ G gilt e_{H} · e_{H} = e_{H}, also e · e_{H} = e_{H} · e_{H}. Aufgrund der Kürzungsregel in G folgt e = e_{H}, also e ∈ H. a · b ∈ H ∀a, b ∈ H gilt jedenfalls aufgrund der Definition von H ≤ G.

Sei a′ das Inverse in H zu a ∈ H. Es gilt a · a′ = e, a · a^{−1} = e, also a·a′ = a·a^{−1}. Aufgrund der Kürzungsregel folgt a′ = a^{−1}, also a^{−1} ∈ H.

• (2. ⇒ 3.): klar

• (3. ⇒ 1.): H ≠ ∅ ist erfüllt. Sei also c ∈ H. Dann muss e = c · c^{−1} ∈ H sein. Weiters gilt e, c ∈ H ⇒ c^{−1} = e · c^{−1} ∈ H. Wenn a, b ∈ H, dann folgt b^{−1} ∈ H, also a · b = a · (b^{−1})^{−1} ∈ H, somit ist H bezüglich · abgeschlossen. H hat das neutrale Element e (e · a = a · e = a gilt für alle a ∈ G, also auch für a ∈ H). Jedes a ∈ H hat zudem ein Inverses a^{−1} in H (das Inverse von a in G, das aber in H liegt)

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Bemerkung: H ≤ G ⇒ das neutrale Element von H ist das neutrale Element von G; das Inverse eines jeden Elements in H ist das Inverse in G. Analoges gilt für Monoide nicht! (trotz Eindeutigkeit des neutralen Elements)

Beispiel: (M_{2}(ℝ), ·) ist ein Monoid mit neutralem Element I_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} );

X = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) | a ∈ ℝ\} ist bezüglich · abgeschlossen, X ≠ ∅;

X ist ein Monoid (Teilmonoid) mit neutralem Element ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) (≠ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )!).

Proposition 3.4 Sei (G, ·) eine Gruppe, H ⊆ G. Wenn H endlich ist, H ≠ ∅ und bezüglich · abgeschlossen ist, dann folgt bereits H ≤ G.

Beweis: als Übung.

Beispiel: ℕ_{0} ⊆ ℤ ist eine unendliche, nichtleere Teilmenge, die bezüglich + abgeschlossen ist, aber keine Gruppe!

Bemerkung: H, K ≤ G ⇒ H ∩ K ≤ G, es gilt sogar:

Proposition 3.5 Sei (G, ·) eine Gruppe, und für eine Indexmenge I gelte H_{i} ≤ G ∀i ∈ I. Dann gilt ⋂_{i∈I} H_{i} ≤ G (wobei für I = ∅ der leere Durchschnitt gleich ganz G sei, d.h. ⋂_{i∈∅} H_{i} = G).

Beweis: ⋂_{i∈I} H_{i} = {g ∈ G | ∀i g ∈ H_{i}}; da ∀i e ∈ H_{i}, gilt e ∈ ⋂_{i∈I} H_{i}, also insbesondere ⋂_{i∈I} H_{i} ≠ ∅. Außerdem gilt a, b ∈ ⋂_{i∈I} H_{i} ⇒ ∀i a, b ∈ H_{i} ⇒ ∀i a · b^{−1} ∈ H_{i} ⇒ a · b^{−1} ∈ ⋂_{i∈I} H_{i}. Nach Satz 3.3 ist daher ⋂_{i∈I} H_{i} eine Gruppe.

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Definition 3.6 Sei G eine Gruppe, X ⊆ G. Die von X erzeugte Untergruppe von G ist definiert als

⟨X⟩ := ⋂_{H≤G,X⊆H} H

(Durchschnitt aller Untergruppen von G, die X enthalten).

Bemerkung: Da X ⊆ G, G ≤ G, ist {H ≤ G | X ⊆ H} ≠ ∅; wegen vorhergehender Proposition ist ⟨X⟩ eine Gruppe, und X ⊆ ⟨X⟩; ⟨∅⟩ = ⋂_{H≤G} H = {e}, wobei e das neutrale Element der Gruppe ist.

Lemma 3.7 Sei G eine Gruppe, X ⊆ G. Sei K ⊆ G eine Menge mit den Eigenschaften

1. K ist Untergruppe von G, die X enthält (K ≤ G, X ⊆ K)

2. Jede Untergruppe von G, die X enthält, enthält auch K (H ≤ G∧X ⊆ H ⇒ K ⊆ H)

Dann gilt K = ⟨X⟩.

Beweis: Sei K wie angegeben; aufgrund des ersten Punkts kommt K unter den H ≤ G mit X ⊆ H vor, deren Durchschnitt ⟨X⟩ ist, also ⟨X⟩ ⊆ K. Wegen des zweiten Punkts gilt ∀H ≤ G, X ⊆ H : K ⊆ H, also K ⊆ ⋂_{H≤G,X⊆H} H = ⟨X⟩.

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Proposition 3.8 Sei (G, ·) eine Gruppe, X ⊆ G, dann gilt:

⟨X⟩ = {g_{1} · . . . · g_{n} | n ∈ ℕ_{0}, ∀i ∈ {1, …, n} (g_{i} ∈ X) ∨ (g_{i}^{−1} ∈ X)}

(für n = 0 sei das leere Produkt von Elementen das neutrale Element e)

Beweis: Sei K die rechts angegebene Menge. Wir zeigen, dass K beide Punkte des vorherigen Lemmas erfüllt:

1. X ⊆ K ist klar; zu zeigen bleibt, dass K eine Untergruppe ist: e ∈ K, da das leere Produkt in K liegt, also ist K ≠ ∅. Seien a = g_{1} · . . . · g_{n} ∈ K, b = g′_{1} · . . . · g′_{m} ∈ K mit (g_{i} ∈ X ∨ g_{i}^{−1} ∈ X) und (g′_{i} ∈ X ∨g′_{i}^{−1} ∈ X). Dann ist a·b^{−1} = g_{1} ·. . .·g_{n} ·g′_{m}^{−1} ·. . .·g′_{1}^{−1} wieder ein Produkt von Elementen aus X und deren Inversen ⇒ K ≤ G.

2. Sei H ≤ G mit X ⊆ H. ⇒ ∀g ∈ X : g, g^{−1} ∈ H; seien nun g_{1}, …, g_{n} beliebig mit g_{i} ∈ X ∨ g_{i}^{−1} ∈ X. Dann folgt g_{i} ∈ H (i = 1, …, n), und da H bezüglich · abgeschlossen ist, gilt g_{1} · . . . · g_{n} ∈ H, also K ⊆ H.

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Nebenklassen

Definition 4.1 (Komplexprodukt) Sei (G, ·) eine Gruppe, A, B ⊆ G. Wir definieren AB := {a · b | a ∈ A, b ∈ B}; wenn A = {a}, schreiben wir aB für {a}B, also aB := {a · b | b ∈ B}; analog Ab := A{b} = {a · b | a ∈ A}.

Definition 4.2 Sei G eine Gruppe, H ≤ G. Es werden zwei Relationen durch H auf G definiert:

a ρ_{H} b : ⟺ ab^{−1} ∈ H und a λ_{H} b : ⟺ a^{−1}b ∈ H

Proposition 4.3 H ≤ G ⇒ ρ_{H}, λ_{H} sind Äquivalenzrelationen auf G.

Beweis: für ρ_{H}:

• Reflexivität: ∀a : aa^{−1} = e ∈ H, also ∀a : a ρ_{H} a.

• Symmetrie: a ρ_{H} b heißt ab^{−1} ∈ H, und damit auch (ab^{−1})^{−1} ∈ H, wobei ((ab^{−1})^{−1}) = (b^{−1})^{−1}a^{−1} = ba^{−1}, also folgt b ρ_{H} a.

• Transitivität: es gelte a ρ_{H} b und b ρ_{H} c, d.h. ab^{−1}, bc^{−1} ∈ H. Dann ist auch (ab^{−1})(bc^{−1}) = ac^{−1} ∈ H, also a ρ_{H} c.

Für λ_{H} läuft der Beweis analog ab.

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Bemerkung: ρ_{H} ist eine Äquivalenzrelation, also bilden die Äquivalenzklassen [a]_{ρ_{H}} = {b ∈ G | a ρ_{H} b} eine Partition von G, d.h. ⋃_{a∈G}[a]_{ρ_{H}} = G und ∀a, b ∈ G : [a]_{ρ_{H}} ∩ [b]_{ρ_{H}} = ∅ ∨ [a]_{ρ_{H}} = [b]_{ρ_{H}}. Für a, b ∈ G sind also die folgenden Bedingungen äquivalent:

1. a ρ_{H} b

2. [a]_{ρ_{H}} = [b]_{ρ_{H}}

3. a ∈ [b]_{ρ_{H}}

4. b ∈ [a]_{ρ_{H}}

5. [a]_{ρ_{H}} ∩ [b]_{ρ_{H}} ≠ ∅

Analoges gilt auch für λ_{H} (Beweis als Übung).

Proposition 4.4 Sei G eine Gruppe, H ≤ G. Dann gilt für a ∈ G:

[a]_{λ_{H}} = aH = {ah | h ∈ H} und [a]_{ρ_{H}} = Ha = {ha | h ∈ H}

Beweis: Sei b ∈ [a]_{λ_{H}}, d.h. a λ_{H} b, also a^{−1}b = h ∈ H, damit b = ah und b ∈ aH; somit ist [a]_{λ_{H}} ⊆ aH gezeigt. Sei umgekehrt b ∈ aH, dann ∃h ∈ H : b = ah, also a^{−1}b = h ∈ H und folglich a λ_{H} b. Somit ist auch aH ⊆ [a]_{λ_{H}} gezeigt.

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Analog folgt auch [a]_{ρ_{H}} = Ha = {ha | h ∈ H} (Beweis als Übung).

Definition 4.5 Sei H ≤ G, a ∈ G. aH heißt Linksnebenklasse von a bezüglich H (bzw. eine Linksnebenklasse von H). Ha heißt Rechtsnebenklasse von a bezüglich H (bzw. eine Rechtsnebenklasse von H).

Satz 4.6 Sei G eine Gruppe, H ≤ G, dann ist die Anzahl verschiedener Rechtsnebenklassen von H gleich der Anzahl verschiedener Linksnebenklassen von H.

Beweis: Wir konstruieren eine bijektive Abbildung f : {aH | a ∈ G} → {Hb | b ∈ G}, die definiert ist durch f(aH) = Ha^{−1}.

• f ist wohldefiniert, d.h. aH = bH ⇒ f(aH) = f(bH):

Sei aH = bH. Dann folgt a λ_{H} b ⇒ a^{−1}b ∈ H ⇒ a^{−1}(b^{−1})^{−1} ∈ H ⇒ a^{−1} ρ_{H} b^{−1} ⇒ Ha^{−1} = Hb^{−1} ⇒ f(aH) = f(bH). Also ist f wohldefiniert.

• f ist klarerweise surjektiv, denn ∀a ∈ G : Ha = H(a^{−1})^{−1} = f(a^{−1}H).

• f ist injektiv: Ha^{−1} = Hb^{−1} ⇒ a^{−1} ρ_{H} b^{−1} ⇒ a^{−1}(b^{−1})^{−1} ∈ H ⇒ a^{−1}b ∈ H ⇒ a λ_{H} b ⇒ aH = bH.

□

Definition 4.7 Die Anzahl der verschiedenen Linksnebenklassen einer Untergruppe H in der Gruppe G heißt Index von H in G, geschrieben

[G : H] := |{aH | a ∈ G}|

Satz 4.8 (Satz von Lagrange)

H ≤ G ⇒ |G| = [G : H] · |H|

Beweis: ∀a ∈ G |aH| = |H|, denn f : H → aH, f(h) = ah, ist bijektiv (Surjektivität: g = f(a^{−1}g), Injektivität: Kürzungsregel). G ist die disjunkte Vereinigung von [G : H] Linksnebenklassen. Wie festgestellt, haben diese alle die Ordnung |H|, also folgt |G| = [G : H] · |H|.

□

Definition 4.9 Ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen von H in G ist eine Teilmenge von G, die aus jeder Linksnebenklasse von H genau ein Element enthält (d.h. R ⊆ G, sodass ∀a ∈ G ∃! r ∈ R mit a λ_{H} r); analog für die Rechtsnebenklassen von H.

Bemerkung: Sei H ≤ G, K ⊆ H. Dann gilt K ≤ H ⇔ K ≤ G. Somit ist die Untergruppenrelation transitiv: K ≤ H ∧ H ≤ G ⇒ K ≤ G.

Satz 4.10 (allgemeine Form des Satzes von Lagrange) Sei (G, ·) eine Gruppe, H ≤ G und K ≤ H (also auch K ≤ G). Dann gilt

[G : K] = [G : H] · [H : K]

Beweis: Sei R ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen von H in G, S ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen von K in H, also |R| = [G : H], |S| = [H : K]. Wir zeigen:

1. |RS| = |R × S| = |R| · |S|

2. RS = {rs | r ∈ R, s ∈ S} ist Repräsentantensystem der Linksnebenklassen von K in G.

Dann folgt [G : K] = |RS| = |R| · |S| = [G : H] · [H : K].

1. f : R × S → RS mit f(r, s) = rs ist eine surjektive Funktion. Seien nun r, r′ ∈ R und s, s′ ∈ S mit rs = r′s′. Dann folgt ss^{′−1} = r^{−1}r′. ss^{′−1} ∈ H ⇒ r λ_{H} r′, also r = r′ und somit r^{−1}r′ = e = ss^{′−1} ⇒ s = s′. Folglich ist f auch injektiv und daher |R × S| = |R| · |S|.

2. Sei g ∈ G. Dann existieren r ∈ R, h ∈ H mit g = rh. Für dieses h existieren s ∈ S, k ∈ K mit h = sk. Also ∀g ∈ G ∃r ∈ R, s ∈ S, k ∈ K : g = (rs)k. Also enthält RS aus jeder Linksnebenklasse von K ein Element. Wenn nun rs λ_{K} r′s′, d.h. (rs)^{−1}(r′s′) ∈ K, gilt, dann folgt s^{−1}r^{−1}r′s′ = k ∈ K, damit r^{−1}r′ = sks^{′−1} ∈ H, also r λ_{H} r′ ⇒ r = r′. Daher gilt auch e = sks^{′−1}, also s^{−1}s′ = k ∈ K ⇒ s λ_{K} s′ ⇒ s = s′, insbesondere somit rs = r′s′. Also enthält RS aus jeder Linksnebenklasse von K in G genau ein Element und ist somit ein Repräsentantensystem.

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Bemerkung: Für den Spezialfall K = {e} folgt der Satz von Lagrange.

Beispiel: H = nℤ, G = ℤ; dann ist (H, +) ≤ (G, +) und a ρ_{nℤ} b ⇔ a − b ∈ nℤ, d.h. wenn n | a − b. n | a − b ⇔ a, b haben denselben Rest bei Division durch n; zu jedem Rest r mit 0 ≤ r < n ist also {a ∈ ℤ | ∃k ∈ ℤ : a = nk + r} = r + nℤ eine Nebenklasse von nℤ, und das sind auch bereits alle Nebenklassen. Ein Repräsentantensystem wäre 0, 1, …, (n − 1) (Bemerkung: es ist untypisch, dass es ein solch ”ausgezeichnetes“ Repräsentantensystem gibt).

Beispiel: S_{n} = ({π : {1, …, n} → {1, …, n} bijektiv}, ∘); für a ∈ {1, …, n} ist St(a) = {π ∈ S_{n} | π(a) = a}, der sogenannte Stabilisator von a unter S_{n}, eine Untergruppe von S_{n}, d.h. St(a) ≤ S_{n}. Für π, σ ∈ S_{n} gilt dann

π λ_{St(a)} σ ⇔ π^{−1}σ ∈ St(a) ⇔ π^{−1}σ(a) = a ⇔ σ(a) = π(a)

D.h., jedes b ∈ {1, …, n} definiert eine Linksnebenklasse {π ∈ S_{n} | π(a) = b} = K_{b}; für jedes π ∈ S_{n} mit π(a) = b ist π St(a) = K_{b}. Analog gilt

π ρ_{St(a)} σ ⇔ πσ^{−1} ∈ St(a) ⇔ πσ^{−1}(a) = a ⇔ σ^{−1}(a) = π^{−1}(a)

D.h., jedes b ∈ {1, …, n} definiert eine Rechtsnebenklasse {π ∈ S_{n} | π^{−1}(a) = b} = {π ∈ S_{n} | π(b) = a} = C_{b}; für jedes σ ∈ S_{n} mit π(b) = a ist St(a)π = C_{b}.

Beispiel: SL_{n}(K) ≤ GL_{n}(K) für einen Körper K. Für A, B ∈ GL_{n}(K) gilt:

A^{−1}B ∈ SL_{n}(K) ⇔ det(A^{−1}B) = 1 ⇔ det(A)^{−1} det(B) = 1 ⇔ det(A) = det(B)

KAPITEL 4. NEBENKLASSEN 21

Jedes r ∈ K^{∗} definiert eine Linksnebenklasse

K_{r} = {A ∈ GL_{n}(K) | det(A) = r}

Für jedes A ∈ GL_{n}(K) mit det(A) = r ist A SL_{n}(K) = K_{r}. Es gilt aber auch AB^{−1} ∈ SL_{n}(K) ⇔ det(AB^{−1}) = 1 ⇔ det(A) det(B)^{−1} = 1 ⇔ det(A) = det(B) Also ist ∀A ∈ GL_{n}(K) A SL_{n}(K) = SL_{n}(K) A (!).

Normalteiler

Definition 5.1 Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler, wenn

∀a ∈ G aN = Na

Man schreibt N ⊴ G für ”N ist Normalteiler von G“. Bemerkung: aN = Na heißt {ah | h ∈ N} = {ka | k ∈ N} (als Menge), aber nicht ∀a ∈ G, h ∈ N ah = ha; {ah | h ∈ N} = {ka | k ∈ N} heißt ∀h ∈ N∃k ∈ N mit ah = ka und ∀k ∈ N∃h ∈ N mit ka = ah. Bemerkung: Jede Gruppe hat die trivialen Normalteiler {e} und G; in einer kommutativen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Proposition 5.2 Sei G eine Gruppe, N ≤ G. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. ∀a ∈ G aNa^{−1} = N

2. ∀a ∈ G aN = Na

3. ∀a ∈ G aN ⊆ Na

4. ∀a ∈ G aNa^{−1} ⊆ N Beweis:

• (1. ⇒ 2.): Durch Multiplikation von rechts mit a ergibt sich aNa^{−1} = N ⇒ aN = Na.

• (2. ⇒ 3.): trivial • (3. ⇒ 4.): ergibt sich durch Multiplikation von rechts mit a^{−1} (wie im

ersten Teil des Beweises)

• (4. ⇒ 1.): Es gilt ∀a ∈ G aNa^{−1} ⊆ N und – indem man a durch a^{−1} ersetzt – auch ∀a ∈ G a^{−1}Na ⊆ N. Durch Multiplikation von links mit a und von rechts mit a^{−1} ergibt sich daraus ∀a ∈ G N ⊆ aNa^{−1}. Zusammen folgt ∀a ∈ G aNa^{−1} = N.

□

Bemerkung: es gilt (∀a ∈ G aNa^{−1} ⊆ N) ⟺ (∀a ∈ G aNa^{−1} = N), aber nicht ∀a ∈ G (aNa^{−1} ⊆ N ⟺ aNa^{−1} = N)!

Bemerkung: Sei N ≤ G. Dann gelten folgende Äquivalenzen:

N ⊴ G ⟺ ∀a ∈ G aN = Na
⟺ ∀a ∈ G [a]_{λ_{N}} = [a]_{ρ_{N}}
⟺ (∀a, b ∈ G a λ_{N} b ⇔ a ρ_{N} b)
⟺ λ_{N} = ρ_{N}

Wenn N ⊴ G, schreibt man oft a ≡ b mod N (”a kongruent b modulo N“) für a λ_{N} b bzw. a ρ_{N} b.

Definition 5.3 Sei (G, ·) eine Menge mit innerer Verknüpfung, ≡ eine Äquivalenzrelation auf G. ≡ heißt Kongruenzrelation, wenn ∀a, a′, b, b′ ∈ G gilt:

a ≡ a′ ∧ b ≡ b′ ⟹ a · b ≡ a′ · b′

Lemma 5.4 Sei H ≤ G. Dann gilt ∀a, a′, b, b′ ∈ G

1. a λ_{H} a′ ⇒ ba λ_{H} ba′

2. b ρ_{H} b′ ⇒ ba ρ_{H} b′a

Beweis:

1. a λ_{H} a′ ⇔ ∃h ∈ H : a′ = ah; damit folgt ba′ = bah, also ba λ_{H} ba′

2. b ρ_{H} b′ ⇔ ∃h ∈ H : b′ = hb; damit folgt b′a = hba, also ba λ_{H} b′a

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Proposition 5.5 Sei (G, ·) eine Gruppe, N ⊴ G, dann ist ≡, die Kongruenz mod N (definiert durch a ≡ b mod N :⇔ ab^{−1} ∈ N), eine Kongruenzrelation.

Beweis: Sei a ≡ a′, b ≡ b′. Dann folgt ab ≡^{(∗)} a′b ≡^{(∗∗)} a′b′, wobei (∗) wegen ≡ = ρ_{N} und (∗∗) wegen ≡ = λ_{N} gilt. Aus der Transitivität von ≡ folgt somit ab ≡ a′b′.

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Faktorgruppen/Quotientengruppen

Definition 6.1 Sei (G, ·) eine Gruppe, N ⊴ G; G/N bezeichne die Menge der Nebenklassen von N in G:

G/N = {aN | a ∈ G} = {Na | a ∈ G}

Dann heißt G/N mit der Operation (aN) · (bN) := (ab)N Faktorgruppe oder Quotientengruppe von N in G.

Satz 6.2 · ist auf diese Weise wohldefiniert, und (G/N, ·) bildet tatsächlich eine Gruppe.

Beweis: Die wesentliche Aussage ist jene, dass · auf diese Art wohldefiniert ist, d.h., wenn aN = a′N und bN = b′N, dann muss a′b′N = abN gelten. Dies folgt direkt aus der Definition eines Normalteilers: seien a′ = ah, b′ = bk mit h, k ∈ N. Dann gilt a′b′ = ahbk; da Nb = bN ist und hb ∈ Nb, muss ein l ∈ N existieren, sodass hb = bl ist. Damit folgt jedoch a′b′ = ahbk = ablk, und da lk ∈ N ist, ergibt sich a′b′ ∈ abN, also a′b′N = abN. Eine andere Möglichkeit zum Beweis läuft über Kongruenzrelationen: aN = Na = [a] ist Kongruenzklasse von a bezüglich ≡. [a] · [b] = [a · b] ist daher wohldefiniert, weil ≡ eine Kongruenzrelation ist. Die restlichen Gruppeneigenschaften folgen dann sofort aus jenen für G:

• Assoziativität: ([a][b])[c] = [ab][c] = [abc] = [a][bc] = [a]([b][c])

• neutrales Element ist [e] (= N): [a][e] = [ae] = [a] = [ea] = [e][a]

• Inverses von [a] ist [a^{−1}]: [a^{−1}][a] = [a^{−1}a] = [e] = [aa^{−1}] = [a][a^{−1}]

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Bemerkung: Das neutrale Element in G/N ist [e]_{N} = eN = Ne = N; für a ∈ G gilt aN = N ⇔ a ∈ N:

[a] = N = [e] ⟺ a ≡ e ⟺ ae^{−1} = a ∈ N

Bemerkung: Ist (G, +) eine additiv geschriebene Gruppe, dann wird die Gruppe (G/N, +) definiert durch (a + N) + (b + N) = (a + b) + N, das neutrale Element ist 0 + N = N, und es gilt a + N = 0 + N ⇔ a ∈ N.

Beispiel: (ℤ, +) ist eine kommutative Gruppe, daher ist jede Untergruppe ein Normalteiler; jede Untergruppe hat die Form (nℤ, +) für ein n ∈ ℕ_{0}. Man schreibt die Faktorgruppe (ℤ/nℤ, +) auch als (ℤ_{n}, +). Die Addition von (ℤ_{n}, +) ist (i + nℤ) + (j + nℤ) = (i + j) + nℤ, bzw., wenn man für fixes n die Nebenklasse i+nℤ mit \overline{i} abkürzt, \overline{i}+\overline{j} = \overline{i + j}. Ein Repräsentantensystem der Nebenklassen ist: 0, 1, …, n − 1.

Beispiel: GL_{n}(K)/ SL_{n}(K) ≃ K^{∗} = (K \{0}, ·) für einen Körper K. Es gilt

A SL_{n}(K) = {B ∈ GL_{n}(K) | det(B) = det(A)} und [A] · [B] = [A · B]

[A] ist dabei jene Klasse, in der alle Matrizen Determinante a = det(A) haben, [B] jene, in der alle Determinante b = det(B) haben, und [A · B] jene, in der alle Determinante a · b haben. Man kann daher jede Klasse mit dem Wert ihrer Determinante identifizieren, die Mutiplikation der Klassen entspricht der Multiplikation der entsprechenden Determinantenwerte.

Gruppenhomomorphismen

Definition 7.1 Seien (G, ·) und (H, ∗) Gruppen. Eine Funktion f : G → H heißt Gruppenhomomorphismus, wenn ∀a, b ∈ G f(a · b) = f(a) ∗ f(b). Der Kern von f ist das Urbild des neutralen Elements e_{H} unter f:

Ker f := {a ∈ G | f(a) = e_{H}} = f^{−1}(e_{H}) ⊆ G

Das Bild von f bezeichnen wir mit Im f:

Im f := {f(a) | a ∈ G} = f(G) ⊆ H

Proposition 7.2 Seien G, H, K Gruppen und e_{G}, e_{H} die neutralen Elemente von G bzw. H. Dann gilt:

1. Wenn f : G → H Gruppenhomomorphismus, dann f(e_{G}) = e_{H} und ∀a ∈ G f(a^{−1}) = f(a)^{−1}.

2. Sind f : G → H, g : H → K Gruppenhomomorphismen, dann ist auch g ∘ f : G → K ein Gruppenhomomorphismus.

3. Ist f : G → H ein bijektiver Gruppenhomomorphismus, dann ist auch die Inverse von f, f^{−1} : H → G ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis:

1. als Übung.

2. (g ∘ f)(ab) = g(f(ab)) =^{f ist Hom.} g(f(a)f(b)) =^{g ist Hom.} g(f(a))(g(f(b)) = ((g∘f)(a))((g∘f)(b)). Also ist auch g∘f ein Gruppenhomomorphismus.

3. Seien a, b ∈ H und α, β ∈ G die eindeutig bestimmten Elemente mit f(α) = a, f(β) = b. Es gilt f(αβ) = f(α)f(β), also f^{−1}(f(α)f(β)) = αβ = f^{−1}(a)f^{−1}(b). Insgesamt folgt daher

f^{−1}(ab) = f^{−1}(f(α)f(β)) = f^{−1}(a)f^{−1}(b)

Also ist auch f^{−1} ein Gruppenhomomorphismus.

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Bemerkung:

• Ad 1.: wenn G, H Monoide sind und f : G → H die Beziehung f(ab) = f(a)f(b) erfüllt (d.h., f ist Monoidhomomorphismus), dann muss nicht f(e_{G}) = f(e_{H}) gelten!

• Ad 3.: Ein injektiver Gruppenhomomorphismus muss keine Linksinverse haben, die auch Gruppenhomomorphismus ist! Ebenso muss ein surjektiver Gruppenhomomorphismus keine Rechtsinverse haben, die auch Gruppenhomomorphismus ist.

Definition 7.3 Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus.

• Wenn f surjektiv ist, heißt f ein (Gruppen-)Epimorphismus.

• Wenn f injektiv ist, heißt f ein (Gruppen-)Monomorphismus.

• Wenn f bijektiv ist, heißt f ein (Gruppen-)Isomorphismus.

• Wenn G = H ist, heißt f ein Endomorphismus von G.

• Wenn G = H und f bijektiv ist, heißt f ein Automorphismus von G.

Definition 7.4 Zwei Gruppen A, B heißen isomorph (geschrieben A ≃ B), wenn es einen Isomorphismus f : A → B gibt.

Beispiel:

• det : GL_{n}(K) → (K^{∗}, ·) ist ein Gruppenepimorphismus. Der Kern ist Ker det = SL_{n}(K).

• exp : (ℝ, +) → (ℝ^{+}, ·) mit exp(a) = e^{a} ist ein Gruppenisomorphismus.

• f : GL_{n}(K) → GL_{n+m}(K) mit f(A) = ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & I_{m} \end{matrix} ) ist ein Gruppen-

monomorphismus.

• f : (ℤ_{n}, +) → S^{1} mit f(\overline{k}) = e^{\frac{2kπi}{n}} ist ein Gruppenmonomorphismus.

• sgn : S_{n} → ({1, −1}, ·) (siehe Kapitel 12) ist ein Gruppenhomomorphismus.

• f : ℤ_{s} → ℤ_{2s} mit f(\overline{x}) = \overline{2x} ist ein Gruppenmonomorphismus, der kein Linksinverses hat, das ebenfalls Gruppenhomomorphismus ist (Beweis als Übung).

Lemma 7.5 Sei f : G → H Gruppenhomomorphismus. Dann gilt

1. K ≤ G ⇒ f(K) ≤ H

2. K ⊴ G ⇒ f(K) ⊴ f(G) (im Allgemeinen nicht f(K) ⊴ H!)

3. C ≤ H ⇒ f^{−1}(C) ≤ G

4. C ⊴ H ⇒ f^{−1}(C) ⊴ G

Beweis: als Übung.

Korollar 7.6 Ker f ⊴ G und Im f ≤ H.

Definition 7.7 Sei G eine Gruppe, N ⊴ G. Dann heißt π_{N}: G → G/N mit π_{N}(a) = aN die kanonische Projektion von G auf G/N.

Proposition 7.8 Die kanonische Projektion π_{N} : G → G/N, π_{N}(g) = gN, ist ein Gruppenepimorphismus.

Beweis: Die Surjektivität von π_{N} ist klar. π_{N} ist ein Homomorphismus, weil die Multiplikation in G/N durch π_{N}(ab) = (ab)N = (aN)(bN) = π_{N}(a)π_{N}(b) erklärt ist.

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Lemma 7.9 Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus, a, b ∈ G. Dann gilt f(a) = f(b) ⇔ a ≡ b mod Ker f.

Beweis:

f(a) = f(b) ⇔ e = f(a)f(b)^{−1} = f(ab^{−1}) ⇔ ab^{−1} ∈ Ker f ⇔ a ≡ b mod Ker f

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Korollar 7.10 Sei f Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

f injektiv ⟺ Ker f = {e}.

Satz 7.11 (Homomorphiesatz, 1. Isomorphiesatz) Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt Ker f ⊴ G, Im f ≤ H, und

\overline{f}: G/(Ker f) → Im f,

definiert durch \overline{f}(a Ker f) = f(a), ist ein Isomorphismus.

Beweis: Die Wohldefiniertheit von \overline{f} ist wegen des obigen Lemmas gegeben, ebenso die Injektivität. Die Surjektivität von \overline{f} ist klar. Da außerdem

\overline{f}((a Ker f)(b Ker f)) = \overline{f}(ab Ker f) = f(ab) = f(a)f(b) = \overline{f}(a Ker f)\overline{f}(b Ker f)

gilt, ist \overline{f} ein Homomorphismus, insgesamt also ein Isomorphismus.

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Beispiel: det : GL_{n}(ℝ) → ℝ^{∗} ist ein Gruppenhomomorphismus. Ker det = SL_{n}(ℝ) = \{A ∈ GL_{n}(ℝ) | det A = 1\}. \overline{det} : GL_{n}(ℝ)/ SL_{n}(ℝ) → ℝ^{∗} mit \overline{det}(A SL_{n}(ℝ)) = det A ist ein Isomorphismus.

Beispiel: sgn : S_{n} → ({1, −1}, ·) (siehe Kapitel 12) ist ein Gruppenhomomorphismus, Ker sgn = A_{n} = {π ∈ S_{n} | sgn π = 1}, Im sgn = {1, −1}, \overline{sgn} : S_{n}/A_{n} → \{1, −1\} mit \overline{sgn}(πA_{n}) = sgn π ist ein Isomorphismus.

Bemerkung: G sei eine Gruppe, N ⊴ G. Dann tritt N als Kern und G/N als Bild eines Gruppenhomomorphismus auf, nämlich π_{N} : G → G/N, π_{N}(a) = aN (a ∈ Ker π_{N} ⇔ aN = N ⇔ a ∈ N). Wenn umgekehrt f : G → H ein Gruppenhomomorphismus ist, dann gilt Ker f ⊴G, Im f ≃ G/ Ker f; also ist jedes homomorphe Bild von G isomorph zu einer Faktorgruppe. Bis auf Isomorphie sind daher Faktorgruppen und homomorphe Bilder dasselbe.

Beispiel: ”Jede Faktorgruppe einer kommutativen Gruppe ist kommutativ“ ist gleichbedeutend mit ”jedes homomorphe Bild einer kommutativen Gruppe ist kommutativ“.

Zyklische Gruppen

Definition 8.1 Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn ∃a ∈ G : G = ⟨a⟩. Dabei ist ⟨a⟩ = ⟨{a}⟩ die von a erzeugte Untergruppe von G, definiert als ⟨a⟩ = ⋂_{H≤G,a∈H} H; wir wissen, dass

⟨a⟩ = {a^{n} | n ∈ ℤ} = {…, a^{−2}, a^{−1}, e, a, a^{2}, …}

gilt. Für additiv geschriebene Gruppen (G, +) ist

⟨a⟩ = {na | n ∈ ℤ} = {…, −2a, −a, e, a, 2a, …}

Beispiel: (ℤ, +) ist zyklisch, denn ℤ = ⟨1⟩ = ⟨−1⟩.

Satz 8.2 Für eine zyklische Gruppe G gilt:

1. Jeder Untergruppe von G ist zyklisch.

2. Jede Faktorgruppe (bzw. jedes homomorphe Bild) von G ist zyklisch.

Beweis:

1. Sei H ≤ G = ⟨a⟩. Wenn H = {e}, dann ist H = ⟨e⟩ zyklisch, ansonsten existiert ein m ≠ 0 mit a^{m} ∈ H. Da aus a^{m} ∈ H auch a^{−m} = (a^{m})^{−1} ∈ H folgt, gibt es sogar ein m > 0 mit a^{m} ∈ H. Sei n = min{m ∈ ℕ | a^{m} ∈ H} (dieser Wert existiert, da jede nichtleere Teilmenge von ℕ ein Minimum hat), und sei h ∈ H beliebig. Es gibt ein m ∈ ℤ, sodass h = a^{m} ist. Wir führen nun eine Division mit Rest durch: es gibt Werte q, r, sodass m = qn + r, r, q ∈ ℤ, 0 ≤ r < n. Wegen a^{r} = (a^{qn})^{−1}h ∈ H und der Minimalität von n muss r = 0 sein, also h = a^{qn} ∈ ⟨a^{n}⟩. Also ist H ⊆ ⟨a^{n}⟩, und wegen a^{n} ∈ H gilt ⟨a^{n}⟩ ⊆ H, insgesamt also ⟨a^{n}⟩ = H.

2. Behauptung: ist f : G → K ein Homomorphismus und H ≤ G mit H = ⟨X⟩, dann gilt f(H) = ⟨f(X)⟩ (Beweis als Übung). Damit folgt dann für G = ⟨a⟩ sofort Im f = ⟨f(a)⟩, also ist Im f zyklisch.

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Korollar 8.3 Sei H ≤ G = ⟨a⟩, dann ist H = {e} oder H = ⟨a^{n}⟩ für n = min{m ∈ ℕ | a^{m} ∈ H}. Für eine additive Gruppe H ≤ (G, +), G = ⟨a⟩, folgt analog H = ⟨na⟩ für n = min{m ∈ ℕ | ma ∈ H}.

Korollar 8.4 Jede Untergruppe von ℤ = ⟨1⟩ hat die Form (nℤ, +) = ⟨n⟩ und H ≤ (ℤ, +) ⇒ H = {0} oder H = ⟨n⟩ mit n = min{n ∈ ℕ | n ∈ H}.

Bemerkung: ⟨n⟩ = ⟨−n⟩; für n, m ∈ ℕ mit n ≠ m gilt ⟨n⟩ ≠ ⟨m⟩. ⟨0⟩ = {0}, ⟨1⟩ = ⟨−1⟩ = ℤ.

Bemerkung: Jede zyklische Gruppe ist kommutativ: a^{n}a^{m} = a^{n+m} = a^{m+n} = a^{m}a^{n}.

Satz 8.5 Jede zyklische Gruppe ist entweder isomorph zu (ℤ, +) oder zu (ℤ/nℤ, +) für ein n ∈ ℕ.

Beweis: Sei G = ⟨a⟩ = {a^{n} | n ∈ ℤ}. Definiere f : ℤ → G durch f(n) = a^{n}. Dann ist f ein Homomorphismus, da f(n + m) = a^{n+m} = a^{n}a^{m} = f(n)f(m). f ist surjektiv. Daher ist G ≃ ℤ/ Ker f, also muss G isomorph zu ℤ/nℤ für ein n ∈ ℕ_{0} sein (die Mengen nℤ sind die einzigen Untergruppen von ℤ). Für n = 0 ist ℤ/nℤ = ℤ.

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Korollar 8.6 Ist G eine unendliche zyklische Gruppe, dann gilt G ≃ (ℤ, +). Ist G zyklisch mit |G| = n, dann gilt G ≃ (ℤ/nℤ, +) = (ℤ_{n}, +).

Bemerkung: Der oben definierte Isomorphismus f hat den Kern Ker f = {n ∈ ℤ | a^{n} = e}. Es gilt

f injektiv ⇔ Ker f = {0} ⇔ G ≃ ℤ

Wenn Ker f ≠ {0} ist, dann ist Ker f = ⟨n⟩, wobei n = min{m ∈ ℕ | m ∈ Ker f} = min{m ∈ ℕ | a^{m} = e}, und G = ⟨a⟩ ≃ ℤ/nℤ.

Definition 8.7 Sei G eine Gruppe, a ∈ G. Die Ordnung von a ist definiert als |a| = |⟨a⟩| (die Ordnung der von a erzeugten Untergruppe). Man schreibt |a| = ∞, falls ⟨a⟩ unendlich ist.

Proposition 8.8 Sei G eine Gruppe und a ∈ G. Dann sind äquivalent:

1. (a) |a| = ∞

(b) {m ∈ ℤ | a^{m} = e} = {0}

(c) ⟨a⟩ ≃ (ℤ, +)

2. (a) |a| = n

(b) {m ∈ ℤ | a^{m} = e} = nℤ

(c) min{m ∈ ℕ | a^{m} = e} = n

(d) ⟨a⟩ ≃ (ℤ_{n}, +)

Beweis: f : (ℤ, +) → ⟨a⟩, definiert durch f(n) = a^{n}, ist ein Epimorphismus, daher ist ⟨a⟩ ≃ ℤ/(Ker f), wobei Ker f = {m ∈ ℤ | a^{m} = e}. Entweder ist Ker f = {0} (dann gelten alle Aussagen von 1.), oder es ist Ker f = ⟨n⟩ für ein n ∈ ℕ (dann gelten alle Aussagen von 2.) Da entsprechende Aussagen verschiedener Fälle einander widersprechen, müssen somit alle Bedingungen aus 1. bzw. alle Bedingungen aus 2. äquivalent sein.

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Bemerkung: Ist |a| = n endlich, dann gilt a^{m} = e ⇔ n|m. Ist |a| = ∞, dann gilt a^{m} = e ⇔ m = 0.

Beweis: als Übung.

Korollar 8.9 Es gilt a^{k} = e ⇔ |a|| k (mit der Konvention, dass ∞ | 0 und ∞ ∤ k für k ≠ 0).

Bemerkung: Aus dem Satz von Lagrange (H ≤ G ⇒ |G| = [G : H] · |H|) folgt für endliche Gruppen G, dass |H|| |G|, insbesondere |a|| |G|, also ∀a ∈ G

a^{|G|} = e.

Lemma 8.10 Sei a^{k} ∈ ⟨a⟩ und |a| endlich. Dann gilt |a^{k}| = \frac{|a|}{ggT(k,|a|)}.

Beweis: a^{km} = e ⇔ |a|| km ⇔ \frac{|a|}{ggT(k,|a|)} | m.

□

Definition 8.11 (Euler’sche φ-Funktion) Die Euler’sche φ-Funktion ist definiert durch φ : ℕ → ℕ, φ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | ggT(k, n) = 1}|. Für Primzahlen p gilt φ(p^{m}) = p^{m} − p^{m−1}. Für relativ prime Zahlen m, n (d.h. ggT(m, n) = 1) gilt φ(nm) = φ(n)φ(m).

Korollar 8.12 Sei n = md. Dann hat die zyklische Gruppe der Ordnung n genau φ(d) Elemente der Ordnung d.

Beweis: Sei |⟨a⟩| = n. Dann ist ⟨a⟩ = {e = a^{n}, a, a^{2}, …, a^{n−1}}. Die Elemente mit Ordnung d sind genau jene a^{k} mit 1 ≤ k ≤ n, für die ggT(k, n) = m gilt. Das sind wiederum genau jene a^{k} mit k = ml, 1 ≤ l ≤ d und ggT(l, d) = 1. Davon gibt es genau φ(d) Stück.

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Korollar 8.13 Die zyklische Gruppe der Ordnung n hat für jeden Teiler d | n genau eine Untergruppe der Ordnung d.

Beweis: Sei n = md und ⟨a⟩ die zyklische Gruppe der Ordnung n. Jedenfalls ist ⟨a^{m}⟩ eine Untergruppe der Ordnung d. Sie enthält φ(d) Erzeuger (also Elemente der Ordnung d). Die Gruppe ⟨a⟩ enthält jedoch nur φ(d) Elemente der Ordnung d, also befinden sich alle in ⟨a^{m}⟩. Da jede Untergruppe von ⟨a⟩ zyklisch ist, muss somit ⟨a^{m}⟩ die einzige der Ordnung d sein.

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Bemerkung: Der Untergruppenverband der zyklischen Gruppe der Ordnung n ist isomorph zum Teilerverband von n.

Beispiel: Betrachte die zyklische Gruppe der Ordnung 12 und ein Element a mit |a| = 12:

[figure: ⟨a^{3}⟩; ⟨a^{6}⟩; ⟨a⟩; {e}; ⟨a^{2}⟩; ⟨a^{4}⟩; 4; 2; 12; 1; 6; 3]

Isomorphiesätze

Proposition 9.1 (Einfache Tatsachen über Normalteiler) Sei G eine Gruppe. Es gelten folgende Beziehungen:

1. H ≤ G, N ⊴ G ⇒ H ∩ N ⊴ H

2. H ≤ G, K ⊴ G mit K ⊆ H ⇒ K ⊴ H.

3. H ≤ G, N ⊴ G ⇒ HN = NH; HN ≤ G und N ⊴ HN

Beweis:

1. Zu zeigen ist, dass ∀a ∈ H ∩ N, h ∈ H gilt: hah^{−1} ∈ H ∩ N. Wegen a ∈ H ∩ N ⊆ H, h ∈ H gilt jedoch hah^{−1} ∈ H, wegen N ⊴ G gilt hah^{−1} ∈ N. Insgesamt folgt also hah^{−1} ∈ H ∩ N.

2. Aus K ≤ G und K ⊆ H folgt sofort K ≤ H. Da ∀g ∈ G, k ∈ K gkg^{−1} ∈ K ist, gilt insbesondere ∀g ∈ H, k ∈ K gkg^{−1} ∈ K, also K ⊴ H.

3. ∀h ∈ H (sogar ∀h ∈ G) hN = Nh, d.h. ∀h ∈ H, n ∈ N ∃m ∈ N : hn = mh. Ebenso gilt ∀h ∈ H, m ∈ N ∃n ∈ N : mh = hn. Daher ist HN = {hn | n ∈ N, h ∈ H} ⊆ {mh | m ∈ N, h ∈ H} = NH und analog NH ⊆ HN, insgesamt also HN = NH. Es gilt H, K ≤ G ⟹ (HK ≤ G ⇔ HK = KH) (Beweis als Übung). Damit folgt HN ≤ G. Klarerweise ist N = eN ≤ HN, und wegen N ⊴ G muss nach 2. auch N ⊴ HN sein.

□

Satz 9.2 (2. Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe, H ≤ G, N ⊴ G. Dann gilt:

H/(N ∩ H) ≃ NH/N

Bemerkung: Die Motivation für diesen Satz ergibt sich daraus, dass man H/N bilden möchte, aber im Allgemeinen N ⊈ H ist. Dies kann auf zwei Arten repariert werden: man kann N zu N ∩ H verkleinern oder H zu HN vergrößern. Der Satz zeigt, dass beide Varianten gleichwertig sind.

Beweis: N ∩H⊴H und N ⊴NH sind erfüllt. Wir betrachten nun die Funktion φ : H → NH/N, definiert durch φ(h) = Nh. φ ist dann ein Gruppenhomomorphismus: φ(gh) = N(gh) = (Ng)(Nh) = φ(g)φ(h). φ ist surjektiv, da NH/N = {Ng | g ∈ NH} = {Nnh | n ∈ N, h ∈ H} = \{Nh | h ∈ H\} = Im φ ist. Also ist \overline{φ} : H/(Ker φ) → NH/N ein Isomorphismus (Nach Satz 7.11). Aus der Tatsache, dass Ker φ = {h ∈ H | Nh = N} = {h ∈ H | h ∈ N} = H ∩ N ist, folgt die Behauptung.

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Bemerkung: HN/N = {gN | g ∈ HN} = {gN | g ∈ H}, da für g = hn, h ∈ H, n ∈ N gilt: gN = hnN = hN; aber aus gN ∈ HN/N = {gN | g ∈ H} folgt nicht, dass g ∈ H, sondern nur g ∈ HN!

Bemerkung: Wenn N ⊴ G, H ≤ G mit N ⊆ H gilt, dann ist N ⊴ H und H/N = {hN | h ∈ H} ≤ {gN | g ∈ G} = G/N (die Multiplikation in H/N ist gegeben durch (hN)(h′N) = (hh′)N; dies ist lediglich die Einschränkung der Multiplikation in G/N auf H/N). Wenn zusätzlich H ⊴ G ist, dann gilt auch H/N ⊴ G/N: aus hN ∈ H/N und gN ∈ G/N folgt nämlich:

(gN)(hN)(gN)^{−1} = (gN)(hN)(g^{−1}N) = (ghg^{−1})N ∈ H/N

da wegen H ⊴ G ghg^{−1} ∈ H ist. Wir werden sehen, dass jede Untergruppe (jeder Normalteiler) von G/N die Form H/N mit H ≤ G (bzw. H ⊴ G) hat.

Satz 9.3 Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus und N ⊴ G mit N ⊆ Ker f. Dann existiert eine Funktion \overline{f} : G/N → H, sodass f = \overline{f} ∘ π_{N}, wobei π_{N} : G → G/N die kanonische Projektion ist. D.h., das folgende Diagramm kommutiert:

[figure: G/N; G; H; π_{N}; \overline{f}; f]

Beweis: Die Funktion \overline{f}, die durch \overline{f}(gN) = f(g) definiert ist, erfüllt die Bedingung:

• \overline{f} ist wohldefiniert: g′ ∈ gN ⇒ g′ = gn für ein n ∈ N, also f(g′) = f(gn) = f(g)f(n) = f(g), da wegen N ⊆ Ker f f(n) = e ist.

• \overline{f} ist ein Homomorphismus: \overline{f}((gN)(g′N)) = \overline{f}(gg′N) = f(gg′) = f(g)f(g′) = \overline{f}(gN)\overline{f}(g′N)

• ∀a ∈ G: \overline{f}(π_{N}(a)) = \overline{f}(aN) = f(a), d.h. \overline{f} ∘ π_{N} = f.

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Lemma 9.4 Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus, a ∈ G, A ⊆ G, C ⊆ H, dann gilt:

1. f^{−1}(f(a)) = a Ker f

2. f^{−1}(f(A)) = A Ker f

3. f(f^{−1}(C)) = C ∩ Im f

Beweis: als Übung.

Satz 9.5 (Korrespondenzsatz) Seien G, H Gruppen, f : G → H ein Gruppenepimorphismus (also surjektiv), K := Ker f. Wir definieren

U_{K}(G) := {A | A ≤ G, K ⊆ A}
U(H) := {C | C ≤ H}
N_{K}(G) := {N | N ⊴ G, K ⊆ N}
N (H) := {M | M ⊴ H}

Es gilt:

1. • φ : U_{K}(G) → U(H), definiert durch φ(A) = f(A), ist eine bijektive Funktion.

• ψ : U(H) → U_{K}(G), definiert durch ψ(C) = f^{−1}(C), ist die Umkehrabbildung von φ.

• φ|_{N_{K}(G)} : N_{K}(G) → N (H) ist bijektiv mit der Umkehrabbildung ψ|_{N (H)} : N (H) → N_{K}(G).

2. ∀A, B ∈ U_{K}(G) (Untergruppen mit K ⊆ A, K ⊆ B) gilt:

A ≤ B ⟺ f(A) ≤ f(B) und, falls A ≤ B, dann [B : A] = [f(B) : f(A)]

A ⊴ B ⟺ f(A) ⊴ f(B) und, falls A ⊴ B, dann B/A ≃ f(B)/f(A)

Beweis:

1. A ≤ G ⇒ f(A) ≤ H, also definiert φ(A) = f(A) eine Funktion φ : U_{K}(G) → U(H). A ⊴ G ⇒ f(A) ⊴ Im f = H, da f surjektiv ist, also ist auch φ|_{N_{K}(G)} : N_{K}(G) → N (H) eine Funktion. C ≤ H ⇒ f^{−1}(C) ≤ G, also ist auch ψ : U(H) → U_{K}(G) eine Funktion. C ⊴ H ⇒ f^{−1}(C) ⊴ G, also ist auch ψ|_{N (H)} : N (H) → N_{K}(G) eine Funktion. Sei nun A ∈ U_{K}(G). Dann ist ψ ∘ φ(A) = f^{−1}f(A) = A Ker f = A, da Ker f ⊆ A. Sei umgekehrt C ∈ U(H). Dann ist φ ∘ ψ(C) = ff^{−1}(C) = Im f ∩ C = C, da f surjektiv ist. Also sind φ und ψ bijektiv und invers zueinander.

2. A, B ≤ G ⇒ f(A), f(B) ≤ H ist bereits bekannt. Ist A ⊆ B, dann folgt f(A) ⊆ f(B) und somit f(A) ≤ f(B). Ist umgekehrt f(A) ≤ f(B), dann folgt: f(A) ⊆ f(B) ⇒ A = f^{−1}f(A) ⊆ f^{−1}f(B) = B (weil K ⊆ A, B). Sei nun A ⊴ B. f|_{B} : B → f(B) ist ein Epimorphismus. Wendet man auf diesen 1. an, ergibt sich f(A) ⊴ f(B). Ist umgekehrt f(A) ⊴ f(B), dann folgt (f|_{B})^{−1}f|_{B}(A) = A Ker f|_{B} = A ⊴ B. Es bleibt zu zeigen, dass [B : A] = [f(B) : f(A)] ist, falls A ≤ B: g : {bA | b ∈ B} → {cf(A) | c ∈ f(B)} mit g(bA) = f(b)f(A) ist eine Bijektion:

• g ist wohldefiniert: bA = b′A ⇒ f(b)f(b′)^{−1} = f(bb^{′−1}) ∈ f(A), da bb^{′−1} ∈ A, also ist f(b)f(A) = f(b′)f(A).

• g ist surjektiv: trivial

• g ist injektiv:

g(bA) = g(b′A) ⇒ f(b)f(b′)^{−1} = f(bb^{′−1}) ∈ f(A)
⇒ bb^{′−1} ∈ f^{−1}(f(bb^{′−1})) ⊆ f^{−1}f(A) = A
⇒ bA = b′A

Also folgt [B : A] = [f(B) : f(A)]. Ist zudem A ⊴ B, dann ist g sogar ein Homomorphismus, denn dann gilt

g((bA)(b′A)) = g(bb′A) = f(bb′)f(A) = f(b)f(b′)f(A)
= f(b)f(A)f(b′)f(A) = g(bA)g(b′A)

Damit folgt dann B/A ≃ f(B)/f(A).

□

Bilder und Urbilder unter der kanonischen Projektion:

Bemerkung: Sei N ⊴ G und π_{N} : G → G/N, π_{N}(a) = aN, die kanonische Projektion. Dann gilt für eine Menge A ⊆ G:

π_{N}(A) = {aN | a ∈ A}
= {alle Nebenklassen von N, die einen Repräsentanten in A haben}
= {bN | b ∈ G, bN ∩ A ≠ ∅}
= AN/N ⊆ G/N

Für eine Menge C ⊆ G/N, C = {bN | b ∈ B}, gilt umgekehrt:

π_{N}^{−1}(C) = {a ∈ G | aN ∈ C}
= ⋃_{aN∈C} aN = ⋃_{b∈B} bN

Wenn H ≤ G mit N ⊆ H gilt, dann ist π_{N}(H) = HN/N = H/N (N ⊆ H ⇒ HN = H).

Satz 9.6 (3. Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe, N ⊴ G. Wir definieren weiters

U_{N}(G) = {H ≤ G | N ⊆ H} und U(G/N) = {K | K ≤ G/N}

Dann ist φ : U_{N}(G) → U(G/N) mit φ(H) = H/N eine Bijektion mit der Umkehrabbildung ψ : U(G/N) → U_{N}(G) mit ψ(K) = π_{N}^{−1}(K) = ⋃_{aN∈K} aN. Außerdem gilt für H ∈ U_{N}(G) die Äquivalenz H ⊴ G ⇔ H/N ⊴ G/N, und wenn H ⊴ G, H ∈ U_{N}(G), dann gilt

G/H ≃ (G/N)/(H/N)

Beweis: Dies ist lediglich der Korrespondenzsatz, angewandt auf den Epimorphismus π_{N}.

Bemerkung: Aus dem Korrespondenzsatz folgt auch [G : H] = [(G/N) : (H/N)], falls H ≤ G (nicht notwendigerweise ein Normalteiler) mit N ⊆ H ist.

Untergruppen mit trivialem Durchschnitt

Definition 10.1 Seien A, B ≤ G. Der Durchschnitt A ∩ B heißt trivial, wenn A ∩ B = {e}.

Proposition 10.2 Sei G eine Gruppe, H, K ≤ G. Wenn H ∩K = {e}, dann gilt ∀g ∈ HK ∃!(h, k) ∈ H × K mit g = hk.

Beweis: hk = h′k′ ⇒ h^{′−1}h = k′k^{−1} ∈ H ∩ K, daher ist e = h^{′−1}h = k′k^{−1} und somit h = h′, k = k′.

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Proposition 10.3 Seien H, K ≤ G, |H|,|K| endlich und H ∩ K = {e}. Dann gilt |HK| = |H||K|.

Beweis: Da ∀g ∈ HK ∃!(h, k) ∈ H × K mit g = hk, ist φ : H × K → HK mit φ(h, k) = hk bijektiv. Also ist |HK| = |H × K| = |H||K|.

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Bemerkung: Sind H, K ≤ G, dann gilt |HK| = |H|[K : (H ∩ K)]; wenn |H|, |K| endlich sind, dann ist [K : (H ∩ K)] = \frac{|K|}{|H∩K|}, also |HK| = \frac{|H||K|}{|H∩K|}.

Beweis: als Übung.

Korollar 10.4 Ist G endlich, H, K ≤ G und H ∩ K = {e}, |H||K| = |G|, dann ist G = HK.

KAPITEL 10. UNTERGRUPPEN MIT TRIVIALEM … 41

Beweis: Aus |H||K| = |G| folgt |HK| = |G|, zudem ist HK ⊆ G. Da G endlich ist, folgt daraus HK = G.

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Proposition 10.5 Seien H, K ⊴ G Normalteiler mit H ∩ K = {e}. Dann gilt ∀h ∈ H, k ∈ K: hk = kh.

Beweis: hk(kh)^{−1} = (hkh^{−1})k^{−1} ∈ K, weil aus K ⊴ G hkh^{−1} ∈ K folgt. Ebenso gilt hk(kh)^{−1} ∈ H, also hk(kh)^{−1} ∈ H ∩ K = {e}. Damit ergibt sich hk(kh)^{−1} = e ⇒ hk = kh

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Bemerkung: Diese Tatsache gilt nur, falls H und K Normalteiler sind!

Proposition 10.6 Seien H, K ≤ G, |H|, |K| endlich und ggT(|H|, |K|) = 1. Dann haben H und K trivialen Durchschnitt.

Beweis: Sei a ∈ H ∩K. Nach dem Satz von Lagrange gilt |a|||H| und |a|||K|.

Daher muss |a||1 und somit |a| = 1 ⇒ a = e gelten.

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Bemerkung: Alles, was aus H ∩ K = {e} folgt, folgt damit auch aus ggT(|H|, |K|) = 1.

Proposition 10.7 Seien a, b ∈ G, |a|,|b| endlich, ggT(|a|, |b|) = 1 und ab = ba. Dann folgt |ab| = |a||b|. Allgemeiner gilt: falls a, b ∈ G, ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = {e} und ab = ba gilt, dann folgt |ab| = kgV(|a|, |b|).

Beweis: als Übung.

Direktes Produkt zweier Gruppen

Definition 11.1 Seien H, K Gruppen. Die auf der Menge H×K = {(h, k) | h ∈ H, k ∈ K} durch (h, k)·(h′, k′) := (hh′, kk′) definierte Gruppe heißt (äußere) direkte Summe von H und K (geschrieben H ⊕ K) oder (äußeres) direktes Produkt von H und K (geschrieben H × K).

Bemerkung: H × K ist tatsächlich eine Gruppe:

• Assoziativität: klar.

• Neutrales Element: e := (e_{H}, e_{K}) erfüllt die Bedingung.

• Inverses Element: (h, k)^{−1} := (h^{−1}, k^{−1}) erfüllt die Bedingung.

Proposition 11.2 H × (K × G) ≃ (H × K) × G

Beweis: φ : H × (K × G) → (H × K) × G mit φ(h, (k, g)) = ((h, k), g) ist offensichtlich ein Isomorphismus.

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Proposition 11.3 Seien H, K Gruppen.

1. ε_{H} : H → H × K mit ε_{H}(h) = (h, e) und ε_{K} : K → H × K mit ε_{K}(k) = (e, k) (die Einbettungen) sind Gruppenmonomorphismen; dabei ist H ≃ Im ε_{H} = {(h, e) | h ∈ H} = H × {e} =: H̃ und K ≃ Im ε_{K} = {(e, k) | k ∈ K} = {e} × K =: K̃.

2. H̃, K̃ ≤ H × K mit H̃ ∩ K̃ = {(e_{H}, e_{K})} = {e} und H̃K̃ = H × K.

3. p_{H} : H×K → H mit p_{H}(h, k) = h und p_{K} : H×K → K mit p_{K}(h, k) = k (die Projektionen) sind Gruppenepimorphismen; Ker p_{H} = K̃, Ker p_{K} = H̃, also K̃, H̃ ⊴ H × K.

Beweis: trivial.

Bemerkung: Für h̃ = (h, e) ∈ H̃ und k̃ = (e, k) ∈ K̃ folgt aus H̃, K̃⊴H×K, H̃ ∩ K̃ = {e}, dass h̃k̃ = k̃h̃; dies ergibt sich auch direkt aus (h, e)(e, k) = (h, k) = (e, k)(h, e).

Satz 11.4 (Innere direkte Summe) Wenn G eine Gruppe ist, H ⊴ G, K ⊴ G mit H ∩ K = {e} und HK = G, dann gilt G ≃ H × K, wobei φ : H × K → G mit φ(h, k) = hk der Isomorphismus ist.

Beweis:

• φ ist Homomorphismus: φ((h, k)(h′, k′)) = φ((hh′, kk′)) = hh′kk′; da Normalteiler mit trivalem Durchschnitt elementweise kommutieren, gilt h′k = kh′, also φ((h, k)(h′, k′)) = hh′kk′ = hkh′k′ = φ((h, k))φ((h′, k′)).

• φ ist surjektiv, da G = HK.

• φ ist injektiv: φ(h, k) = φ(h′, k′) ⇒ hk = h′k′ ⇒ h^{′−1}h = k′k^{−1} ∈ H ∩ K = {e} ⇒ h = h′, k = k′.

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Bemerkung: Wenn also H ⊴ G, K ⊴ G mit HK = G, H ∩ K = {e} gilt, dann folgt ∀g ∈ G ∃!(h, k) ∈ H × K mit g = hk, und wenn g = hk, g = h′k′ mit h, h′ ∈ H und k, k′ ∈ K, dann ist gg′ = hkh′k′ = hh′kk′, d.h., die Hund K-Anteile werden unabhängig multipliziert.

Bemerkung: Wenn N⊴G und H ≤ G (nicht notwendigerweise auch H⊴G!) mit NH = G und H ∩ N = {e} gilt, dann hat ebenso jedes Element g ∈ G eine eindeutige Darstellung der Form g = nh mit h ∈ H, n ∈ N, und es gilt: nhn′h′ = n(hn′h^{−1})hh′ (hn′h^{−1} ∈ N, weil N Normalteiler ist).

Proposition 11.5 Sei G eine Gruppe, a ∈ G. Dann ist φ_{a} : G → G mit φ_{a}(x) = axa^{−1} (Konjugation mit a) ein Automorphismus auf G.

Beweis:

• φ_{a}(gh) = agha^{−1} = aga^{−1}aha^{−1} = φ_{a}(g)φ_{a}(h), also ist φ_{a} ein Homomorphismus.

• φ_{a} ∘ φ_{a^{−1}} = id und φ_{a^{−1}} ∘ φ_{a} = id, also ist φ_{a} bijektiv.

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Definition 11.6 Ein Automorphismus der Form φ_{a} für ein a ∈ G heißt innerer Automorphismus.

Bemerkung: Aut(G) = {φ : G → G | φ ist Automorphismus} ist eine Gruppe bezüglich ∘. Das Bild von G unter der Abbildung a ↦ φ_{a}, Im G = {φ_{a} | a ∈ G} ≤ Aut G, ist eine Untergruppe.

Bemerkung: Ist H ≤ G, dann gilt H ⊴ G ⇔ ∀a ∈ G φ_{a}(H) = H.

Definition 11.7 Sei G eine Gruppe, a, b ∈ G. a heißt zu b konjugiert, wenn ∃g ∈ G : a = gbg^{−1}, man schreibt a ∼_{G} b. ∼_{G} ist eine Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen heißen Konjugiertenklassen.

Bemerkung: H ≤ G ist genau dann Normalteiler, wenn H Vereinigung ganzer Konjugiertenklassen ist.

Die symmetrische Gruppe

Definition 12.1 Sei \underline{n} = \{1, …, n\}. Die Menge aller bijektiven Abbildungen von \underline{n} auf sich (Permutationen von \underline{n}) bildet bezüglich der Verknüpfung ∘ eine Gruppe der Ordnung n! = n(n − 1) … 1, die symmetrische Gruppe vom Grad n, kurz S_{n}.

Definition 12.2 π ∈ S_{n} heißt r-Zyklus, wenn es a_{1}, …, a_{r} (paarweise verschieden) in \underline{n} gibt, sodass π(a_{1}) = a_{2}, π(a_{2}) = a_{3}, …, π(a_{r}) = a_{1} und π(a) = a für alle anderen a ∈ \underline{n} gilt. Wir schreiben in diesem Fall π = (a_{1}a_{2} … a_{r}). r heißt Länge des Zyklus.

Bemerkung: Man kann den Zyklus auch mit einem anderen a_{i} beginnen, z.B. π = (a_{2}a_{3} … a_{r}a_{1}), es gibt also r äquivalente Schreibweisen für jeden r-Zyklus.

Definition 12.3 Zwei Permutationen π, σ heißen disjunkt, wenn

{i | π(i) ≠ i} ∩ {j | σ(j) ≠ j} = ∅

Lemma 12.4 Disjunkte Permutationen kommutieren, d.h. für disjunkte π, σ gilt πσ = σπ.

Beweis: Sei A = {i | π(i) ≠ i} und B = {j | σ(j) ≠ j}. Dann ist A ∩ B = ∅. Für a ∈ A gilt auch π(a) ∈ A, da π bijektiv ist. Somit sind a, π(a) ∉ B, und es folgt π(σ(a)) = π(a) = σ(π(a)) und analog für b ∈ B π(σ(b)) = σ(π(b)). Für ein c ∈ \underline{n} \ (A ∪ B) gilt wiederum π(σ(c)) = π(c) = c = σ(c) = σ(π(c))) Also ist πσ = σπ.

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Satz 12.5 Jede Permutation ist als Produkt disjunkter Zyklen darstellbar. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Zyklen und die r verschiedenen Schreibweisen eines jeden r-Zyklus, wenn man festlegt, dass auch alle 1-Zyklen (Fixpunkte) angeschrieben werden.

Beweis: Sei a ∈ \underline{n}. Betrachte die Folge a_{0} = a, a_{i+1} = π(a_{i}). Da \underline{n} endlich ist, muss es ein minimales k ≥ 0 geben, sodass a_{k} = a_{j} für ein j < k. Angenommen, es wäre j ≠ 0. Dann folgt aus π(a_{j−1}) = a_{j} = a_{k} = π(a_{k−1}) wegen der Injektivität von π, dass a_{j−1} = a_{k−1}, im Widerspruch zur Minimalität von k. Also muss j = 0 sein. Man schreibt nun den Zyklus (a_{0} … a_{k−1}) an und iteriert diesen Vorgang mit einem b_{0} ∈ \underline{n} \ \{a_{0}, …, a_{k−1}\}. Wegen der Injektivität von π ist der neue Zyklus disjunkt zum vorigen. Der Vorgang bricht mit einer Menge von Zyklen ab, in der jedes a ∈ \underline{n} genau einmal vorkommt. π ist das Produkt dieser Zyklen.

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Bemerkung: Das Inverse wird in der Zyklendarstellung einfach gebildet, indem man alle Zyklen umkehrt, d.h. aus (a_{1}a_{2} … a_{r}) wird (a_{r}a_{r−1} … a_{1}). Für disjunkte Permutationen gilt πσ = σπ ⇒ (πσ)^{−1} = σ^{−1}π^{−1} = π^{−1}σ^{−1}.

Definition 12.6 Der Zyklentyp einer Permutation π ∈ S_{n} ist [t_{1}, …, t_{n}] mit t_{i} := Anzahl der i-Zyklen in der Darstellung von π als Produkt disjunkter Zyklen.

Lemma 12.7 Zwei Permutationen π, σ sind genau dann konjugiert (d.h. ∃ρ ∈ S_{n} : σ = ρπρ^{−1}), wenn π, σ vom selben Zyklentyp sind.

Beweis: ”⇒“: Sei σ = ρπρ^{−1}. Dann gilt für i, j mit π(i) = j: σ(ρ(i)) = ρ(π(i)) = ρ(j). D.h., π : i ↦ j ⇒ σ : ρ(i) ↦ ρ(j). Also führt Ersetzen von i durch ρ(i) in der Zyklendarstellung von π zur Zyklendarstellung von σ. Somit haben π und σ denselben Zyklentyp. ”⇐“: Seien π, σ vom selben Zyklentyp. Man schreibt π, σ untereinander, sodass Zyklen gleicher Länge untereinander zu stehen kommen:

π = (..)(...)(.) …
σ = (..)(...)(.) …

ρ sei jene Funktion, die jedes a ∈ \underline{n} auf das darunterliegende abbildet. Dann ist ρ bijektiv; außerdem gilt π : i ↦ j ⇔ σ : ρ(i) ↦ ρ(j), d.h. σ(ρ(i)) = ρ(π(i)) ∀i ∈ \underline{n} und somit σ = ρπρ^{−1}.

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Beispiel: Sei π = (34)(125)(6) und σ = (56)(134)(2). Für ρ = (1)(23546) gilt: σ = ρπρ^{−1}.

Korollar 12.8 Jede Konjugiertenklasse besteht genau aus allen Permutationen eines Zyklentyps.

Korollar 12.9 Eine Untergruppe von S_{n} ist genau dann ein Normalteiler, wenn sie eine Vereinigung von vollständigen Konjugiertenklassen ist, d.h. wenn sie zu jedem Element auch alle Permutationen desselben Zyklentyps enthält.

Definition 12.10 π ∈ S_{n} heißt Transposition, wenn ∃a, b ∈ \underline{n}, a ≠ b, sodass π(a) = b, π(b) = a und ∀j ∈ \underline{n} \ \{a, b\} π(j) = j, d.h. π = (a b).

Lemma 12.11 Jedes π ∈ S_{n} ist als Produkt von Transpositionen darstellbar.

Beweis: Es genügt zu zeigen, dass jeder Zyklus als Produkt von Transpositionen darstellbar ist. Dies ist jedoch der Fall:

(a_{1}a_{2} … a_{r}) = (a_{1}a_{r})(a_{1}a_{r−1}) … (a_{1}a_{3})(a_{1}a_{2})
□

Definition 12.12 Für π ∈ S_{n} ist

sgn π := ∏_{\{i,j\}} \frac{π(i) − π(j)}{i − j}

wobei das Produkt über alle ungeordneten Paare {i, j} läuft.

Bemerkung: sgn nimmt nur Werte ±1 an! (alle ungeordneten Paare kommen sowohl im Zähler als auch im Nenner je einmal vor)

Lemma 12.13 Ist π = (a b) eine Transposition, dann ist sgn π = −1.

Beweis:

sgn(a b) = \frac{π(a) − π(b)}{a − b} · ∏_{j∉\{a,b\}} \frac{π(a) − π(j)}{a − j} \frac{π(b) − π(j)}{b − j} · ∏_{\begin{matrix}\{i,j\} \\ \{i,j\}∩\{a,b\}=∅ \end{matrix}} \frac{π(i) − π(j)}{i − j}

= \frac{b − a}{a − b} · ∏_{j∉\{a,b\}} \frac{b − j}{a − j} \frac{a − j}{b − j} · ∏_{\begin{matrix}\{i,j\} \\ \{i,j\}∩\{a,b\}=∅ \end{matrix}} \frac{i − j}{i − j}

= (−1) · 1 · 1 = −1
□

Lemma 12.14 sgn(πσ) = (sgn π)(sgn σ)

Beweis:

sgn(πσ) = ∏_{\{i,j\}} \frac{π(σ(i)) − π(σ(j))}{i − j}

= ∏_{\{i,j\}} \frac{π(σ(i)) − π(σ(j))}{σ(i) − σ(j)} ∏_{\{i,j\}} \frac{σ(i) − σ(j)}{i − j}
= sgn(π) sgn(σ)
□

Korollar 12.15 Wenn π ein Produkt von m Transpositionen ist, dann ist sgn(π) = (−1)^{m}; die Parität der Anzahl der Transpositionen in der Darstellung von π ist eindeutig.

Definition 12.16 π ∈ S_{n} heißt gerade, wenn sgn π = 1, ungerade, wenn sgn π = −1.

Definition 12.17 A_{n} := {π ∈ S_{n} | sgn π = 1} heißt die alternierende Gruppe vom Grad n.

Bemerkung: Weil sgn(πσ) = (sgn π)(sgn σ), ist A_{n} abgeschlossen bezüglich ·. Da A_{n} endlich ist, muss daher A_{n} eine Untergruppe sein, d.h. A_{n} ≤ S_{n}.

Lemma 12.18 A_{n} ⊴ S_{n}

Beweis:

1. Variante: Da sgn π nur vom Zyklentyp abhängt, besteht A_{n} aus vollständigen Konjugiertenklassen.

2. Variante: [S_{n} : A_{n}] = 2 ⇒ A_{n} ist Normalteiler (die einzigen Linksnebenklassen müssen A_{n} und S_{n} \ A_{n} sein, dies sind jedoch auch die einzigen Rechtsnebenklassen).

3. Variante: Weil sgn : S_{n} → ({1, −1}, ·) ein Gruppenhomomorphismus ist und A_{n} = Ker sgn ist, ist A_{n} ein Normalteiler.

□

Bemerkung: Ad 1.: Da

(a_{1}a_{2} … a_{r}) = \underbrace{(a_{1}a_{r})(a_{1}a_{r−1}) … (a_{1}a_{2})}_{r−1 Transpositionen}

ist, gilt:

• Ein r-Zyklus mit r ≡ 0 mod 2 ist eine ungerade Permutation.

• Ein r-Zyklus mit r ≡ 1 mod 2 ist eine gerade Permutation. D.h.: für π mit Zyklentyp [t_{1}, …, t_{n}] ist sgn π = (−1)^{t_{2}+t_{4}+...}.

Direktes Produkt und direkte Summe von Gruppen

Definition 13.1 Sei I eine nichtleere Menge und für jedes i ∈ I eine Gruppe G_{i} gegeben. Wir verallgemeinern das direkte Produkt von Gruppen durch die Definition

∏_{i∈I} G_{i} = {(g_{i})_{i∈I} | g_{i} ∈ G_{i} für i ∈ I} = {g : I → · ⋃_{i∈I} G_{i} | g(i) ∈ G_{i}}

D.h., ein Element von ∏_{i∈I} G_{i} ist eine Zuordnung eines Elements g(i) = g_{i} ∈ G_{i} zum Index i für jedes i ∈ I. Auf dieser Menge definieren wir die Multiplikation durch komponentenweise Multiplikation:

(g_{i})_{i∈I} · (h_{i})_{i∈I} = (g_{i}h_{i})_{i∈I}

Proposition 13.2 Sei G_{i} eine Gruppe für i ∈ I. Dann ist ∏_{i∈I} G_{i} eine Gruppe mit dem neutralen Element e = (e_{i})_{i∈I} und dem Inversen ((g_{i})_{i∈I})^{−1} = (g_{i}^{−1})_{i∈I}. ∏_{i∈I} G_{i} ist genau dann kommutativ, wenn alle G_{i} kommutativ sind.

Beweis: trivial.

Definition 13.3 Sei G_{i} eine Gruppe für i ∈ I, ∏_{i∈I} G_{i} das direkte Produkt. Für j ∈ I heißt

p_{j} : ∏_{i∈I} G_{i} → G_{j} mit p_{j}((g_{i})_{i∈I}) = g_{j}

die Projektion auf den j-ten Faktor G_{j} und

ε_{j} : G_{j} → ∏_{i∈I} G_{i} mit ε_{j}(g) = (g_{i})_{i∈I}, wobei g_{i} = \begin{cases}g & i = j \\ e_{G_{i}} & i ≠ j \end{cases}

die Einbettung des j-ten Faktors G_{j} in ∏_{i∈I} G_{i}.

KAPITEL 13. DIREKTES PRODUKT UND DIREKTE SUMME … 51

Proposition 13.4 p_{j} ist ein Gruppenepimorphismus, ε_{j} ist ein Gruppenmonomorphismus. G̃_{j} = {(g_{i})_{i∈I} | g_{i} = e_{G_{i}} für i ≠ j} = Im ε_{j} ≃ G_{j} ist ein Normalteiler von ∏_{i∈I} G_{i}.

Beweis: als Übung.

Satz 13.5 (Universelle Eigenschaft des direkten Produkts) Für i ∈ I sei G_{i} eine Gruppe, P = ∏_{i∈I} G_{i}, p_{j} : P → G_{j} die Projektion auf den j-ten Faktor. Dann gilt: Für alle Gruppen H und alle Mengen {f_{i} : H → G_{i} | i ∈ I} von Gruppenhomomorphismen gibt es genau einen Homomorphismus f : H → P mit ∀j ∈ I p_{j} ∘ f = f_{j}, d.h. das folgende Diagramm kommutiert:

[figure: G_{j}; H; ∏ G_{i}; f_{j}; p_{j}; f]

Beweis: p_{j}(f(h)) = f_{j}(h) ∀j ⇒ f(h) = (f_{i}(h))_{i∈I}, also kann es höchstens einen solchen Homomorphismus geben, nämlich f : H → P definiert durch f(h) = (f_{i}(h))_{i∈I}. Dann gilt tatsächlich für alle j: p_{j}(f(h)) = p_{j}((f_{i}(h))_{i∈I}) = f_{j}(h). Es bleibt noch zu zeigen, dass f ein Homomorphismus ist:

f(hk) = (f_{i}(hk))_{i∈I} = (f_{i}(h)f_{i}(k))_{i∈I} = (f_{i}(h))_{i∈I}(f_{i}(k))_{i∈I} = f(h)f(k)

□

Definition 13.6 Sei I ≠ ∅ eine Menge und für jedes i ∈ I eine Gruppe G_{i} gegeben. Die direkte Summe der G_{i}, ∑_{i∈I} G_{i} (oder ⨁_{i∈I} G_{i}), ist

{(a_{i})_{i∈I} | a_{i} ∈ G_{i} für i ∈ I ∧ nur für endlich viele i ∈ I ist a_{i} ≠ e_{G_{i}}}

mit der komponentenweisen Multiplikation (a_{i})_{i∈I} · (b_{i})_{i∈I} = (a_{i}b_{i})_{i∈I}. Sie kann als Untergruppe von ∏_{i∈I} G_{i} aufgefasst werden:

∑_{i∈I} G_{i} = {(a_{i})_{i∈I} ∈ ∏_{i∈I} G_{i} | für höchstens endlich viele i ∈ I ist a_{i} ≠ e_{G_{i}}}

Bemerkung: ∑_{i∈I} G_{i} ⊴ ∏_{i∈I} G_{i}.

Definition 13.7 Sei G_{i} eine Gruppe für i ∈ I, ∑_{i∈I} G_{i} die direkte Summe. Für j ∈ I heißt

p_{j} : ∑_{i∈I} G_{i} → G_{j} mit p_{j}((g_{i})_{i∈I}) = g_{j}

die Projektion auf den j-ten Summanden G_{j} und

ε_{j} : G_{j} → ∑_{i∈I} G_{i} mit ε_{j}(g) = (g_{i})_{i∈I}, wobei g_{i} = \begin{cases}g & i = j \\ e_{G_{i}} & i ≠ j \end{cases}

die Einbettung des j-ten Summanden G_{j} in ∑_{i∈I} G_{i}.

Proposition 13.8 p_{j} ist ein Gruppenepimorphismus, ε_{j} ist ein Gruppenmonomorphismus. G̃_{j} = {(g_{i})_{i∈I} | g_{i} = e_{G_{i}} für i ≠ j} = Im ε_{j} ≃ G_{j} ist ein Normalteiler von ∑_{i∈I} G_{i}. ∑_{i∈I} G_{i} = ⟨⋃_{j∈I} G̃_{j}⟩ und ∀j G̃_{j} ∩⟨⋃_{j∈I,i≠j} G̃_{j}⟩ = {e}.

Beweis: als Übung.

Satz 13.9 (Innere direkte Summe) Sei (G, +) eine Gruppe, I ≠ ∅ eine Menge und für i ∈ I sei N_{i} ≤ G. Wenn die Bedingungen

1. ∀i ∈ I N_{i} ⊴ G

2. ∀j ∈ I N_{j} ∩ ⟨⋃_{i∈I,i≠j} N_{i}⟩ = {0}

3. G = ⟨⋃_{i∈I} N_{i}⟩

gleichzeitig gelten, dann gilt

(a) Für g_{i} ∈ N_{i}, g_{j} ∈ N_{j} mit i ≠ j ist g_{i} + g_{j} = g_{j} + g_{i}.

(b) Jedes g ∈ G hat eine Darstellung g = g_{i_{1}} + … + g_{i_{n}} mit g_{i_{k}} ∈ N_{i_{k}} und i_{k} ≠ i_{j} für k ≠ j.

(c) Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge und eventuell eingefügte Summanden g_{i_{j}} = 0 eindeutig.

Außerdem ist dann ∑_{i∈I} N_{i} ≃ G, wobei φ : ∑_{i∈I} N_{i} → G mit φ((g_{i})_{i∈I}) = g_{i_{1}} + … + g_{i_{n}} (dabei ist {i_{1}, …, i_{n}} = {i ∈ I | g_{i} ≠ 0} =: Supp g) der Isomorphismus ist.

Beweis:

(a) Nach 1. und 2. sind N_{i} und N_{j} Normalteiler mit trivialem Durchschnitt und kommutieren daher elementweise.

(b) Wegen 3. hat jedes g ∈ G eine Darstellung der Form g = g_{i_{1}} + … + g_{i_{n}}, wobei die i_{k} aber nicht notwendigerweise verschieden sein müssen. Wegen (a) kann man die g_{i_{k}} aber so vertauschen, dass alle g_{i_{k}} aus demselben N_{i} nebeneinanderstehen. Dann kann man sie zu einem Element zusammenfassen.

(c) Angenommen, es sei g_{i_{1}} +…+g_{i_{k}} = g′_{i_{1}} +…+g′_{i_{k}} mit g_{i_{j}}, g′_{i_{j}} ∈ N_{i_{j}}, wobei die i_{j} paarweise verschieden seien (gegebenenfalls stellt man geeignet um und fügt Nullen ein, um links und rechts Elemente derselben Gruppen stehen zu haben). Dann folgt:

−g′_{i_{1}} + g_{i_{1}} = g′_{i_{2}} + … + g′_{i_{k}} − g_{i_{2}} − … − g_{i_{k}} ∈ N_{i_{1}} ∩ ⟨ ⋃_{i∈I,i≠i_{1}} N_{i}⟩

Wegen 2. muss daher −g′_{i_{1}} + g_{i_{1}} = 0, also g′_{i_{1}} = g_{i_{1}}, sein. Nun kann man auf beiden Seiten kürzen und erhält induktiv, dass g′_{i_{j}} = g_{i_{j}} für alle j ist.

Sei nun φ wie oben definiert, wobei φ(0) = 0 gesetzt wird. Dann ist φ wegen (b) und (c) bijektiv. Es bleibt zu zeigen, dass φ ein Homomorphismus ist: Zunächst sei bemerkt, dass für ein Element (g_{i})_{i∈I} ∈ ∑_{i∈I} N_{i} und eine beliebige endliche Menge {j_{1}, …, j_{m}}, die Supp g enthält, auch φ((g_{i})_{i∈I}) = g_{j_{1}} + … + g_{j_{m}} ist, da ja g_{j_{k}} = 0 für ein j_{k} ∉ Supp g ist. Seien nun (g_{i})_{i∈I}, (h_{i})_{i∈I} zwei Elemente von ∑_{i∈I} N_{i} und K = {k_{1}, …, k_{m}} =: (Supp g) ∪ (Supp h). Dann ist jedenfalls für alle i ∈ I \ K g_{i} + h_{i} = 0, d.h. i ∉ Supp(g + h), also Supp(g + h) ⊆ K. Es folgt:

φ((g_{i})_{i∈I} + (h_{i})_{i∈I}) = φ((g_{i} + h_{i})_{i∈I})
= (g_{k_{1}} + h_{k_{1}}) + … + (g_{k_{m}} + h_{k_{m}})
=^{(∗)} g_{k_{1}} + … + g_{k_{m}} + h_{k_{1}} + … + h_{k_{m}}
= φ((g_{i})_{i∈I}) + φ((h_{i})_{i∈I})

Man beachte, dass g_{k_{l}} und h_{k_{l}} nicht kommutieren müssen, der Schritt (∗) ist also keineswegs trivial. Man kann dennoch leicht von der einen auf die Darstellung kommen: hinter jedem h_{k_{l}} stehen nur Elemente aus den Gruppen N_{i} mit i > k_{l}, daher kann man der Reihe nach alle h_{k_{l}} durch geeignete Vertauschungen nach hinten verschieben, bis alle g_{k_{r}} vor allen h_{k_{l}} stehen.

□

Satz 13.10 (Universelle Eigenschaft der direkten Summe) Sei I ≠ ∅ eine Menge und für i ∈ I sei (G_{i}, +) eine Gruppe. Dann gilt für alle kommutativen Gruppen (K, +) und alle Mengen {f_{i} : G_{i} → K | i ∈ I} von Gruppenhomomorphismen, dass es genau einen Homomorphismus f : ∑_{i∈I} G_{i} → K mit ∀j ∈ I f ∘ ε_{j} = f_{j} gibt, d.h. das folgende Diagramm kommutiert:

[figure: ∑ G_{i}; G_{j}; K; ε_{j}; f; f_{j}]

Beweis: Sei g = (g_{i})_{i∈I} und {i_{1}, …, i_{n}} derart, dass g_{i} = 0 für alle i ∉ {i_{1}, …, i_{n}} ist. Dann ist g = ε_{i_{1}}(g_{i_{1}}) + … + ε_{i_{n}}(g_{i_{n}}), und es muss daher gelten:

f(g) = f(ε_{i_{1}}(g_{i_{1}})) + … + f(ε_{i_{n}}(g_{i_{n}})) = f_{i_{1}}(g_{i_{1}}) + … + f_{i_{n}}(g_{i_{n}})

Also gibt es höchstens einen solchen Homomorphismus, nämlich f : ∑_{i∈I} G_{i} → K mit f((g_{i})_{i∈I}) = f_{i_{1}}(g_{i_{1}}) + … + f_{i_{n}}(g_{i_{n}}) für {i_{1}, …, i_{n}} = Supp g (und f(0) = 0). Weil K kommutativ ist, kommt es dabei nicht auf die Reihenfolge der Summanden an, f ist daher jedenfalls wohldefiniert. Es bleibt jedoch zu zeigen, dass f ein Homomorphismus ist: Seien dazu g = (g_{i})_{i∈I} und h = (h_{i})_{i∈I} gegeben und {i_{1}, …, i_{n}} = (Supp g) ∪ (Supp h).

f((g_{i})_{i∈I} + (h_{i})_{i∈I})  =  f((g_{i} + h_{i})_{i∈I})
=  f_{i_{1}}(g_{i_{1}} + h_{i_{1}}) + … + f_{i_{n}}(g_{i_{n}} + h_{i_{n}})
=  f_{i_{1}}(g_{i_{1}}) + f_{i_{1}}(h_{i_{1}}) + … + f_{i_{n}}(g_{i_{n}}) + f_{i_{n}}(h_{i_{n}})
=^{K kommutativ} f_{i_{1}}(g_{i_{1}}) + … + f_{i_{n}}(g_{i_{n}}) + f_{i_{1}}(h_{i_{1}}) + … + f_{i_{n}}(h_{i_{n}})
=  f((g_{i})_{i∈I}) + f((h_{i})_{i∈I})
□

Bemerkung: Wenn H_{i} ≤ G_{i} für i ∈ I, dann ist ∏_{i∈I} H_{i} ≃ {(a_{i})_{i∈I} ∈ ∏_{i∈I} G_{i} | a_{i} ∈ H_{i}} ≤ ∏_{i∈I} G_{i}. Ebenso gilt ∑_{i∈I} H_{i} ≃ {(a_{i})_{i∈I} ∈ ∑_{i∈I} G_{i} | a_{i} ∈ H_{i}} ≤ ∑_{i∈I} G_{i}. Man schreibt daher ∏_{i∈I} H_{i} ≤ ∏_{i∈I} G_{i} und ∑_{i∈I} H_{i} ≤ ∑_{i∈I} G_{i}. Dies sind jedoch keineswegs alle Untergruppen von ∏_{i∈I} G_{i} bzw. ∑_{i∈I} G_{i}, z.B. ist ja ∑_{i∈I} G_{i} ≤ ∏_{i∈I} G_{i} nicht von dieser Form. Auch {(g, g) | g ∈ G} ≤ G × G ist nicht von dieser Form.

Satz 13.11 Sei I ≠ ∅ eine Menge und für jedes i ∈ I seien Gruppen G_{i}, H_{i} und ein Homomorphismus f_{i} : G_{i} → H_{i} gegeben. Dann ist f =: ∏_{i∈I} f_{i} : ∏_{i∈I} G_{i} → ∏_{i∈I} H_{i}, definiert durch f((g_{i})_{i∈I}) = (f_{i}(g_{i}))_{i∈I}, ein Gruppenhomomorphismus mit

f(∑_{i∈I} G_{i}) ⊆ ∑_{i∈I} H_{i}

Ker f = {(g_{i})_{i∈I} | g_{i} ∈ Ker f_{i} ∀i} = ∏_{i∈I} Ker f_{i}

und

Im f = {(h_{i})_{i∈I} | h_{i} ∈ Im f_{i} ∀i} = ∏_{i∈I} Im f_{i}

Insbesondere ist f genau dann ein Epi- bzw. Monomorphismus, wenn alle f_{i} Epi- bzw. Monomorphismen sind. Weiters gilt auch für f̃ = f|_{∑ G_{i}} : ∑_{i∈I} G_{i} → ∑_{i∈I} H_{i}:

Ker f̃ = ∑_{i∈I} Ker f_{i} und Im f̃ = ∑_{i∈I} Im f_{i}

Beweis: als Übung.

Korollar 13.12 Wenn N_{i} ⊴ G_{i} für i ∈ I, dann ist ∏_{i∈I} N_{i} ⊴ ∏_{i∈I} G_{i}, und es gilt

(∏_{i∈I} G_{i})/(∏_{i∈I} N_{i}) ≃ ∏_{i∈I}(G_{i}/N_{i}) und (∑_{i∈I} G_{i})/(∑_{i∈I} N_{i}) ≃ ∑_{i∈I}(G_{i}/N_{i})

Beweis: Man wende den vorherigen Satz auf π_{i} : G_{i} → G_{i}/N_{i} und den 1. Isomorphiesatz an.

Wirkung einer Gruppe auf eine Menge

Definition 14.1 Sei M eine Menge, (G, ·) eine Gruppe. Eine Wirkung (von links) von G auf M ist eine Funktion f : G × M → M, (g, x) → gx, sodass

1. ∀x ∈ M ∀g, h ∈ G (g · h)x = g(hx)

2. ∀x ∈ M ex = x (wobei e das neutrale Element von G ist)

Bemerkung: Wenn durch f : G×M → M eine Wirkung auf M gegeben ist, dann definiert jedes g ∈ G eine Funktion φ_{g} : M → M durch φ_{g}(x) = gx, und φ_{g} ist bijektiv (∀x ∈ M φ_{g}φ_{g^{−1}}(x) = g(g^{−1}x) = (gg^{−1})x = ex = x, also gilt φ_{g} ∘ φ_{g^{−1}} = id_{M}). Die Abbildung φ : G → S_{M} = {π : M → M | π bijektiv} ist ein Gruppenhomomorphismus. Wenn umgekehrt φ : G → S_{M} ein Gruppenhomomorphismus ist, dann definiert f : G × M → M mit f(g, x) = φ_{g}(x) eine Wirkung von G auf M.

Bemerkung: Bei Verwechslungsgefahr mit einem Produkt schreiben wir φ_{g}(x) anstelle von gx.

Definition 14.2 Eine Wirkung heißt treu, wenn φ injektiv ist (d.h. wenn für ein g ∈ G ∀x ∈ M gx = x gilt, dann muss g = e sein).

Beispiel: (G, ·) wirkt auf G durch Linkstranslation (sogenannte Cayley-Darstellung): f : G × G → G, (g, x) ↦ g · x = L_{g}(x) (d.h. φ_{g} = L_{g}). Die Bedingungen für eine Wirkung sind offensichtlich erfüllt:

1. (g · h)x = (g · h) · x = g · (h · x) = g · (hx) = g(hx)

2. ex = e · x = x Beispiel: (G, ·) wirkt auf G durch Konjugation: f : G × G → G, (g, x) ↦ g · x · g^{−1}

1. (g · h)x = (g · h) · x · (g · h)^{−1} = g · h · x · h^{−1} · g^{−1} = g(h · x · h^{−1}) = g(hx)

2. ex = e · x · e^{−1} = e · x · e = x

Beispiel: (G, ·) wirkt auf der Menge der Linksnebenklassen von H ≤ G durch Linkstranslation: (g, aH) ↦ gaH; auch K ≤ G wirkt auf den Linksnebenklassen von H in G durch Linkstranslation.

Definition 14.3 G wirke auf M; für x ∈ M heißt

\overline{x} = \{y ∈ M | ∃g ∈ G : gx = y\} = \{gx | g ∈ G\}

die Bahn (Orbit) von x.

St_{G}(x) = {g ∈ G | gx = x}

heißt Stabilisator von x.

Bemerkung:

1. Wenn G auf M wirkt, dann ist x ∼ y :⇔ ∃g ∈ G : gx = y eine Äquivalenzrelation auf M:

• Reflexivität: ex = x, also x ∼ x.

• Symmetrie: gx = y ⇒ g^{−1}y = x, also x ∼ y ⇒ y ∼ x.

• Transitivität: gx = y, hy = z ⇒ hgx = z, also x ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ x ∼ z.

Die Äquivalenzklasse von x bezüglich dieser Relation ist \overline{x}, die Bahn von x. Also bilden die Bahnen eine Partition von M.

2. St_{G}(x) ≤ G, denn es gilt:

• ex = x ⇒ e ∈ St_{G}(x)

• g ∈ St_{G}(x) ⇒ gx = x ⇒ g^{−1}x = x ⇒ g^{−1} ∈ St_{G}(x)

• g, h ∈ St_{G}(x) ⇒ gx = x ∧ hx = x ⇒ ghx = gx = x ⇒ gh ∈ St_{G}(x)

Beispiel: (G, ·) wirkt auf der Menge der Untergruppen von G durch Konjugation: (g, H) ↦ gHg^{−1}. Die Bahn von H ist dann {gHg^{−1} | g ∈ G}, die Konjugiertenklasse von H.

Satz 14.4 G wirke auf M. Es gilt:

1. |\overline{x}| = [G : St_{G}(x)]

2. St_{G}(gx) = g St_{G}(x)g^{−1}

Beweis:

1. h St_{G}(x) = g St_{G}(x) ⇔ h^{−1}g ∈ St_{G}(x) ⇔ h^{−1}gx = x ⇔ gx = hx. Also hat jede Linksnebenklasse von St_{G}(x) die Form g St_{G}(x) = {h ∈ G | hx = gx\} = \{h ∈ G | hx = y\} für y = gx ∈ \overline{x}. Da es auch zu jedem y ∈ \overline{x} ein g ∈ G mit gx = y und daher eine Linksnebenklasse g St_{G}(x) = {h ∈ G | hx = y} gibt, definiert y ↦ {g ∈ G | gx = y} eine Bijektion \overline{x} → \{g St_{G}(x) | g ∈ G\}.

2. Sei h ∈ St_{G}(gx). Dann ist ghg^{−1}(gx) = ghx = gx, also ghg^{−1} ∈ St_{G}(gx). Damit folgt g St_{G}(x)g^{−1} ⊆ St_{G}(gx). Sei umgekehrt f ∈ St_{G}(x). Dann ist (g^{−1}fg)x = g^{−1}(f(gx)) = g^{−1}(gx) = ex = x, also g^{−1}fg ∈ St_{G}(x) und damit f ∈ g St_{G}(x)g^{−1}. Es folgt St_{G}(gx) ⊆ g St_{G}(x)g^{−1}.

□

Korollar 14.5 Die Stabilisatoren der Elemente eines Orbits bilden eine Konjugiertenklasse von Untergruppen von G.

Definition 14.6 Sei G eine Gruppe und x ∈ G. Der Zentralisator von x in G ist

Z_{G}(x) := {g ∈ G | gx = xg} = {g ∈ G | gxg^{−1} = x}

d.h. der Stabilisator von x unter der Wirkung von G auf sich durch Konjugation. Für eine Untergruppe H ≤ G definiert man:

Z_{H}(x) := {g ∈ H | gx = xg} = {g ∈ H | gxg^{−1} = x}

(der Stabilisator von x unter der Wirkung von H auf G durch Konjugation)

Bemerkung: Die Konjugiertenklasse von x in G ist \overline{x} = \{y ∈ G | ∃g ∈ G : gxg^{−1} = y} = {gxg^{−1} | g ∈ G}, d.h. die Bahn von x unter der Wirkung von G auf sich durch Konjugation. Wir wissen bereits, dass |\overline{x}| = [G : Z_{G}(x)] gilt.

Definition 14.7 Sei G eine Gruppe. Dann heißt

Z(G) = {g ∈ G | ∀x ∈ G gx = xg} = {g ∈ G | ∀x ∈ G gxg^{−1} = x}

das Zentrum von G.

Bemerkung: Z(G) ⊴ G. Z(G) ist sogar eine sogenannte charakteristische Untergruppe , d.h. ∀f ∈ Aut(G) f(Z(G)) = Z(G).

Bemerkung: x ∈ Z(G) ⇔ |\overline{x}| = 1, weil gxg^{−1} = x ⇔ gx = xg.

Satz 14.8 (Klassengleichung) Sei G eine endliche Gruppe, x_{1}, …, x_{n} ein Repräsentantensystem der Konjugiertenklassen. Dann gilt

|G| = ∑_{i=1}^{n}[G : Z_{G}(x_{i})]

Wenn y_{1}, …, y_{m} ein Repräsentantensystem der Konjugiertenklassen mit mehr als einem Element ist, dann gilt

|G| = |Z(G)| + ∑_{j=1}^{m}[G : Z_{G}(y_{j})]

Beweis: G ist disjunkte Vereinigung von Konjugiertenklassen: G = · ⋃_{i=1}^{n} \overline{x_{i}}, also |G| = ∑_{i=1}^{n} |\overline{x_{i}}| = ∑_{i=1}^{n}[G : Z_{G}(x_{i})]. Z(G) = \{x ∈ G | |\overline{x}| = 1\}, also ist G = Z(G) ·∪ · ⋃_{j=1}^{m} \overline{y_{j}} und somit |G| = |Z(G)| + ∑_{j=1}^{m}[G : Z_{G}(y_{j})].

□

Semidirektes Produkt von Gruppen:

Bemerkung: Aus Kapitel 11 wissen wir: wenn N ⊴ G und H ≤ G mit NH = G und H ∩ N = {e} gilt, dann hat jedes Element g ∈ G eine eindeutige Darstellung der Form g = nh mit h ∈ H, n ∈ N, und es gilt: nhn′h′ = n(hn′h^{−1})hh′ = nφ_{h}(n′)hh′. Dabei ist φ_{h} ∈ Aut(G) ein innerer Automorphismus, und weil N Normalteiler und somit hNh^{−1} = N ist, ist auch φ_{h}|_{N} ∈ Aut(N). Sei umgekehrt eine Funktion φ : H → Aut(N), φ(h) =: φ_{h} ∈ Aut(N) gegeben, dann definiert die Operation (n, h)·(n′, h′) = (nφ_{h}(n′), hh′) eine Gruppe auf der Menge N × H, ein sogenanntes semidirektes Produkt von N und H, geschrieben N ⋊_{φ} H.

Lemma 14.9 N ⋊_{φ} H ist tatsächlich eine Gruppe, Ñ = {(n, e) ∈ N ⋊_{φ} H} ⊴ N ⋊_{φ} H, H̃ = {(e, h) ∈ N ⋊_{φ} H} ≤ N ⋊_{φ} H, ε_{N} : N → Ñ mit ε_{N}(n) = (n, e) und ε_{H} : H → H̃ mit ε_{H}(h) = (e, h) sind Gruppenisomorphismen. Insbesondere also N ≃ Ñ, H ≃ H̃ und Ñ ∩ H̃ = {(e, e)}.

Beweis: als Übung.

Bemerkung: G ist genau dann semidirektes Produkt eines Normalteilers N ⊴ G mit einer Untergruppe H ≤ G, wenn es ein Repräsentantensystem der Nebenklassen von N gibt, das eine Untergruppe von G bildet.

Bemerkung: Sind H und K kommutativ, so gilt

G kommutativ ⇔ φ trivial (∀h ∈ H φ_{h} = id_{K}) ⇔ G ≃ N × K

Beispiel: Diëdergruppe D_{n} = Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks:

Das regelmäßige n-Eck wird durch Spiegelungen an n Symmetrieachsen und Drehungen um Vielfache von \frac{2π}{n} auf sich abgebildet. Diese werden von einer fixen Spiegelung β und der Drehung um \frac{2π}{n} (o.B.d.A. im Uhrzeigersinn), α, erzeugt. Die Diëdergruppe besteht somit aus den Elementen

D_{n} = {e, α, …, α^{n−1}, β, αβ, …, α^{n−1}β}

Sei C_{n} die zyklische Gruppe der Ordnung n, multiplikativ geschrieben, erzeugt von α, also C_{n} = ⟨α⟩ mit |α| = n. Sei weiters C_{2} die zyklische Gruppe der Ordnung 2, die von β erzeugt wird. Dann gilt: C_{n} ⊴ D_{n}, C_{2} ≤ D_{n} und C_{n} ∩ C_{2} = ∅. Weiters wirkt C_{2} auf C_{n} durch φ_{e}(g) = g und φ_{β}(g) = g^{−1}. Da die Abbildung g ↦ g^{−1} für die kommutative Gruppe C_{n} ein Automorphismus ist (siehe unten), sind alle Bedingungen für ein semidirektes Produkt erfüllt, also gilt D_{n} = C_{n} ⋊_{φ} C_{2}. Die Multiplikation in D_{n} ist durch folgende Rechenregeln gegeben:

α^{n} = e; β^{2} = e; βα^{k} = α^{−k}β; α^{k}α^{l} = α^{k+l}; α^{k}βα^{l}β = α^{k−l}; α^{k}βα^{l} = α^{k−l}β

Bemerkung: Für eine Gruppe G ist die Abbildung g ↦ g^{−1} genau dann ein Isomorphismus, wenn G kommutativ ist, denn: (ab)^{−1} = a^{−1}b^{−1} ⇔ ab = (b^{−1})^{−1}(a^{−1})^{−1} = ba.

Sylowsätze

Definition 15.1 Sei p eine Primzahl. Eine Gruppe (G, ·) heißt endliche p-Gruppe, wenn ∃n ∈ ℕ_{0} mit |G| = p^{n}.

Bemerkung: Eine Gruppe heißt allgemein p-Gruppe (für eine Primzahl p), wenn ∀x ∈ G ∃m ∈ ℕ_{0}, sodass |x| = p^{m}; eine endliche Gruppe G ist genau dann p-Gruppe, wenn ∃n ∈ ℕ_{0} mit |G| = p^{n}.

Lemma 15.2 Eine endliche p-Gruppe wirke auf eine endliche Menge M; sei M_{0} := {x ∈ M | ∀g ∈ G gx = x}, dann gilt |M_{0}| ≡ |M| mod p.

Beweis: M ist disjunkte Vereinigung von Bahnen, M_{0} = \{x ∈ M | |\overline{x}| = 1\}. Sei y_{1}, …, y_{m} ein Repräsentantensystem der Bahnen mit mehr als einem Element. Dann gilt M = M_{0} ·∪ · ⋃_{i=1}^{m} \overline{y_{i}} und somit |M| = |M_{0}| + ∑_{i=1}^{m} |\overline{y_{i}}| = |M_{0}|+∑_{i=1}^{m}[G : St_{G}(y_{i})]. Wegen |G| = p^{n} und 1 < [G : St_{G}(y_{i})] | |G| = p^{n} gibt es zu jedem i ein n_{i} > 0, sodass [G : St_{G}(y_{i})] = p^{n_{i}} und somit [G : St_{G}(y_{i})] ≡ 0 mod p. Daraus folgt die Behauptung.

□

Satz 15.3 (Satz von Cauchy) Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl mit p | |G|. Dann ∃g ∈ G mit |g| = p.

Beweis: Sei M = {(g_{1}, …, g_{p}) ∈ G × … × G | g_{1}g_{2} … g_{p} = e}. ℤ_{p} wirke auf M durch zyklische Vertauschung, d.h. \overline{1}(g_{1}, …, g_{p}) = (g_{2}, …, g_{p}, g_{1}), \overline{k}(g_{1}, …, g_{p}) = (g_{k+1 mod p}, …, g_{k+p mod p}). φ\overline{k} ist wohldefiniert, d.h. es hängt nicht von k, sondern von \overline{k} ab. Es bleibt zu überprüfen, dass (g_{1}, …, g_{p}) ∈ M ⇒ φ\overline{k}(g_{1}, …, g_{p}) ∈ M gilt:

g_{1}g_{2} … g_{p} = e ⟹ (g_{1} … g_{k})(g_{k+1} … g_{p}) = e
⟹ (g_{1} … g_{k})^{−1} = (g_{k+1} … g_{p})
⟹ (g_{k+1} … g_{p})(g_{1} … g_{k}) = e

Es handelt sich auch tatsächlich um eine Wirkung:

\overline{0}(g_{1}, …, g_{p}) = (g_{1}, …, g_{p})

und

(\overline{k + l})(g_{1}, …, g_{p}) = (g_{k+l+1 mod p}, …, g_{k+l+p mod p})
= \overline{k}(g_{l+1 mod p}, …, g_{l+p mod p})
= \overline{k}(\overline{l}(g_{1}, …, g_{p}))

Dann ist

M_{0} = {(g_{1}, …, g_{p}) ∈ M | (g_{k+1 mod p}, …, g_{k+p mod p}) = (g_{1}, …, g_{p}) ∀k}
= {(g_{1}, …, g_{p}) ∈ G × … × G | g_{1}g_{2} … g_{p} = e und g_{1} = … = g_{p}}
= {(g, …, g) | g^{p} = e}

Folglich gilt |M_{0}| = |{g ∈ G | g^{p} = e}|; |M_{0}| ≥ 1, da e^{p} = e und somit (e, …, e) ∈ M_{0}. |M| = |G|^{p−1}, da jedes (p − 1)-tupel (g_{1}, …, g_{p−1}) ein eindeutig bestimmtes x ∈ G mit (g_{1}, …, g_{p−1}, x) ∈ M definiert, nämlich x = (g_{1} … g_{p−1})^{−1}. p ist prim, daher p − 1 ≥ 1. Somit folgt aus p | |G| p | |G|^{p−1} und daher |M_{0}| ≡ |M| ≡ 0 mod p. Wegen p | |M_{0}| und |M_{0}| ≥ 1 gilt |M_{0}| = np für ein n > 0, also ∃g ≠ e mit g^{p} = e. Für dieses g folgt dann |g| = p.

□

Definition 15.4 Sei H ≤ G. Der Normalisator von H in G ist

N_{G}(H) := {g ∈ G | g^{−1}Hg = H}

N_{G}(H) ist der Stabilisator von H unter der Wirkung von G durch Konjugation auf der Menge der Untergruppen von G; daher ist N_{G}(H) ≤ G.

Bemerkung: H ⊆ N_{G}(H) (für h ∈ H gilt h^{−1}Hh ⊆ H und hHh^{−1} ⊆ H ⇒ H ⊆ h^{−1}Hh, somit ist h^{−1}Hh = H für alle h ∈ H). Also gilt H ⊴ N_{G}(H) nach Definition von N_{G}(H). N_{G}(H) ist die größte Untergruppe K von G mit H ⊴ K.

Bemerkung: |{g^{−1}Hg | g ∈ G}| = [G : N_{G}(H)] (Mächtigkeit einer Bahn = Index des Normalisators).

Lemma 15.5 Sei H ≤ G, |H| = p^{k} für eine Primzahl p. Dann gilt [G : H] ≡ [N_{G}(H) : H] mod p.

Beweis: H wirke auf M = {gH | g ∈ G}, den Linksnebenklassen von H, durch Linkstranslation: (h, gH) ↦ hgH. Es gilt:

xH ∈ M_{0} ⟺ ∀h ∈ H hxH = xH ⇔ ∀h ∈ H x^{−1}hxH = H
⟺ ∀h ∈ H x^{−1}hx ∈ H ⇔ x^{−1}Hx ⊆ H
⟺^{(∗)} x^{−1}Hx = H ⇔ x ∈ N_{G}(H)

wobei die Äquivalenz (∗) gilt, weil die Abbildung g ↦ x^{−1}gx ein Automorphismus auf G und daher bijektiv und H endlich ist. Deswegen muss |x^{−1}Hx| = |H| gelten. Somit ist M_{0} = {xH | x ∈ N_{G}(H)} ⇒ |M_{0}| = [N_{G}(H) : H]. Mit Lemma 15.2 folgt die Behauptung.

□

Satz 15.6 (1. Sylowsatz) Sei G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl, n ≥ 0 maximal mit p^{n} | |G|. Dann gilt ∀k mit 0 ≤ k < n: ∃H ≤ G mit |H| = p^{k} und ∀H ≤ G mit |H| = p^{k} ∃K ≤ G mit |K| = p^{k+1} und H ⊴ K.

Korollar 15.7 Ist n maximal mit p^{n} | |G|, dann existiert eine Untergruppe K ≤ G mit |K| = p^{n}.

Beweis: durch Induktion nach k. Für k = 0 erfüllt H = {e} die Bedingung |H| = p^{0} = 1. Nach dem Satz von Cauchy gibt es ein g ∈ G mit |g| = p. K = ⟨g⟩ ist dann eine Gruppe mit |K| = p und H = {e} ⊴ K. Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein H ≤ G mit |H| = p^{k} (das K aus der Induktionsvoraussetzung). |G| = [G : H]|H|, und da p^{n} | |G|, |H| = p^{k} gilt, muss p | [G : H] gelten. Nach obigem Lemma folgt p | [N_{G}(H) : H].

Nach dem Satz von Cauchy hat daher N_{G}(H)/H eine Untergruppe der Ordnung p (diese sei {g_{1}H, …, g_{p}H}). Das Urbild dieser Untergruppe unter dem Homomorphismus π : N_{G}(H) → N_{G}(H)/H ist g_{1}H ∪ … ∪ g_{p}H =: K mit |K| = p|H| = p^{k+1}. Es muss H ⊴ K sein, da K ⊆ N_{G}(H).

□

Definition 15.8 Sei G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl und n maximal mit p^{n} | |G|; eine Untergruppe H ≤ G mit |H| = p^{n} heißt p-Sylowgruppe von G.

Satz 15.9 (2. Sylowsatz) Sei G eine endliche Gruppe, S ≤ G eine p-Sylowgruppe und H ≤ G mit |H| = p^{k} für ein k ∈ ℕ_{0}. Dann gibt es ein g ∈ G, sodass H ≤ gSg^{−1} ist.

Korollar 15.10 Je zwei p-Sylowgruppen von G sind zueinander konjugiert; daher bilden die p-Sylowgruppen von G eine Konjugiertenklasse von Untergruppen.

Beweis: Sei M = {gS | g ∈ G}. H wirke auf M durch Linkstranslation: φ_{h}(gS) = hgS. Weil n maximal mit p^{n} | |G| ist, gilt

p ∤ \frac{|G|}{p^{n}} = \frac{|G|}{|S|} = [G : S] = |M|

Nach Lemma 15.2 gilt daher auch p ∤ |M_{0}| für

M_{0} = {gS | ∀h ∈ H hgS = gS} = {gS | ∀h ∈ H g^{−1}hgS = S}
= {gS | ∀h ∈ H g^{−1}hg ∈ S} = {gS | g^{−1}Hg ⊆ S}
= {gS | H ⊆ gSg^{−1}}

Wegen p ∤ |M_{0}| muss M_{0} ≠ ∅ sein, also gibt es ein g ∈ G mit gS ∈ M_{0}. Für dieses g gilt dann H ⊆ gSg^{−1}.

□

Bemerkung: Da |gSg^{−1}| = |S| ist, ist jede Konjugierte einer Sylowgruppe wieder eine Sylowgruppe. Nach dem zweiten Sylowsatz sind daher je zwei Sylowgruppen konjugiert. Wenn also S eine beliebige p-Sylowgruppe ist, dann ist {gSg^{−1} | g ∈ G} die Menge aller p-Sylowgruppen von G.

Bemerkung: Es gibt genau dann eine p-Sylowgruppe S mit S ⊴ G, wenn es genau eine p-Sylowgruppe gibt (beides ist äquivalent zu |{gSg^{−1} | g ∈ G}| = Satz 15.11 (3. Sylowsatz) Sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe. Sei n_{p} die Anzahl der p-Sylowgruppen von G. Dann gilt:

1. n_{p} | |G|

2. n_{p} ≡ 1 mod p

Beweis: Wenn p ∤ |G|, dann ist die einzige p-Sylowgruppe in G {e}, also ist n_{p} = 1, und der Satz ist erfüllt. Sei nun p ein Teiler von |G| und S eine p-Sylowgruppe. Dann ist n_{p} = |{gSg^{−1} | g ∈ G}| = [G : N_{G}(S)] | |G|

(|\overline{S}| = [G : St_{G}(S)] für die Wirkung von G auf die Untergruppen von G durch Konjugation). Somit ist der erste Punkt erfüllt. Eine fixe Sylowgruppe S wirkt auf der Menge M der p-Sylowgruppen von G durch Konjugation: für x ∈ S, T ∈ M sei φ_{x}(T) = x^{−1}T x (was wieder in M liegt). Weil S ≠ ∅ eine endliche p-Gruppe ist, die auf M wirkt, gilt |M| ≡ |M_{0}| mod p, wobei M_{0} = {T ≤ G | |T | = |S| ∧ ∀x ∈ S x^{−1}T x = T } = {T ≤ G | |T | = |S| ∧ S ⊆ N_{G}(T)} ist. Sei nun T ∈ M_{0}. Dann sind S, T Untergruppen von N_{G}(T). Weil T ≤ N_{G}(T) ≤ G gilt, |T | = p^{n} ist und n maximal mit p^{n} | |G| ist, muss n auch ma-

ximal mit p^{n} | |N_{G}(T)| sein. Nach dem zweiten Sylowsatz sind S, T daher in N_{G}(T) konjugiert, d.h. ∃g ∈ N_{G}(T) mit g^{−1}T g = S. Also ist S = g^{−1}T g = T (weil g ∈ N_{G}(T)). Folglich besteht M_{0} nur aus einem Element, nämlich S. Es folgt 1 = |M_{0}| ≡ |M| mod p.

□

Beispiel: Jede Gruppe der Ordnung 12 hat einen nichttrivialen Normalteiler: n_{2} ≡ 1 mod 2 und n_{2} | 12 ⇒ n_{2} ∈ {1, 3}. n_{3} ≡ 1 mod 3 und n_{3} | 12 ⇒ n_{3} ∈ {1, 4}. Angenommen, es gäbe keinen Normalteiler der Ordnung 3, d.h. n_{3} = 4. Jede 3-Sylowgruppe hat dann die Form {e, a, a^{−1}}, und verschiedene 3-Sylowgruppen haben trivialen Durchschnitt, weil a, a^{−1} bereits Erzeuger von {e, a, a^{−1}} sind. Die 4 3-Sylowgruppen enthalten also 8 Elemente der Ordnung 3. Es bleiben nur noch e und drei weitere Elemente übrig. Diese müssen die einzig mögliche 2-Sylowgruppe bilden, und diese ist dann auch Normalteiler.

Beispiel: Seien p, q Primzahlen mit p > q. Wenn |G| = p^{n}q für ein n ∈ ℕ ist, dann ist die p-Sylowgruppe ein Normalteiler von G: c_{p} ≡ 1 mod p und c_{p} | |G| = p^{n}q ⇒ c_{p} | q. Da p > q ist, ist auch mp + 1 > q für alle m ≥ 1, also jedenfalls nicht mp + 1 | q. Daher muss c_{p} = 1 sein.

Teil II Ringtheorie

66

Definitionen und Beispiele

Definition 16.1 Eine Menge R ≠ ∅ zusammen mit zwei inneren Operationen + : R × R → R (genannt Addition) und · : R × R → R (genannt Multiplikation) heißt Ring, wenn gilt:

• (R, +) ist eine kommutative Gruppe (das neutrale Element bezüglich + wird mit 0 bzw. 0_{R} bezeichnet)

• (R, ·) ist eine Halbgruppe

• ∀a, b, c ∈ R : a · (b + c) = a · b + a · c ∧ (a + b) · c = a · c + b · c

(”Distributivität“) Man schreibt: (R, +, ·) ist Ring (oder: R ist Ring). Definition 16.2

• (R, +, ·) heißt Ring mit Eins, wenn (R, ·) ein Monoid ist; das neutrale Element bezüglich · wird mit 1 (bzw. 1_{R}) bezeichnet.

• R heißt kommutativer Ring, wenn (R, ·) kommutativ ist.

• Ein Ring heißt endlicher Ring, wenn ∃n ∈ ℕ mit |R| = n. Definition 16.3 Für (R, +) und (R, ·) werden die für Gruppen und Monoide eingeführten Schreibweisen verwendet:

• Das Inverse von a bezüglich + wird als −a geschrieben; a−b := a+(−b) Das Inverse von a bezüglich · wird als a^{−1} geschrieben; • Vielfache: für a ∈ R, n ∈ ℤ definiert man

na := \begin{cases}a + … + a & n > 0 \\ 0 & n = 0 \\ (−a) + … + (−a) & n < 0 \end{cases}

• Potenzen: a^{n} := a · . . . · a für n ∈ ℕ; falls R Ring mit Eins ist, a^{0} := 1; falls R Ring mit Eins ist und a ein Inverses a^{−1} hat, a^{−n} := a^{−1} ·. . .·a^{−1}

Beispiel: (ℤ, +, ·), (ℚ, +, ·), (ℤ_{n}, +, ·) (ℤ_{n} = \{\overline{k} = k + nℤ | k ∈ ℤ\}, \overline{k} + \overline{l} = \overline{k + l} und \overline{k} · \overline{l} = \overline{k · l}) sind kommutative Ringe mit Eins.

Beispiel: (2ℤ, +, ·) ist ein kommutativer Ring ohne 1.

Beispiel: für einen Körper K (z.B. K = ℚ oder K = ℝ) bilden die Matrizen M_{n}(K) mit der üblichen Matrizenaddition und -multiplikation einen Ring; für n > 1 ist er nichtkommutativ. Unter den Matrizenringen gibt es auch endliche nichtkommutative Ringe: M_{n}(ℤ_{p}) (für eine Primzahl p) ist ein endlicher nichtkommutativer Ring.

Beispiel: Sei (G, +) eine kommutative Gruppe; End(G) = {φ : G → G | φ(g + h) = φ(g) + φ(h)} (die Menge der Endomorphismen von G) bildet mit den Operationen +, definiert durch (φ + ψ)(g) = φ(g) + ψ(g) ∀g ∈ G, sowie ∘, definiert durch (φ ∘ ψ)(g) = φ(ψ(g)) ∀g ∈ G, einen Ring mit Eins.

Satz 16.4 (Rechenregeln für Ringe) Wenn (R, +, ·) ein Ring ist, dann gilt:

1. ∀a ∈ R : a·0_{R} = 0_{R} ·a = 0_{R} (Bemerkung: dies ist eine andere Aussage als die Definition des 0-ten Vielfachen von a durch 0a := 0_{R}!)

2. ∀a, b, c ∈ R : a·(b−c) = a·b−a·c; ∀a, b, c ∈ R : (a−b)·c = a·c−b·c

3. (−a) · b = a · (−b) = −(a · b); (−a) · (−b) = a · b

4. (−a)^{n} = (−1)^{n}a = \begin{cases}a^{n} & n gerade \\ −a^{n} & n ungerade \end{cases} (hierbei ist (−1)^{n} in ℤ zu

verstehen)

5. für n, m ∈ ℤ, a, b ∈ R: (na) · (mb) = (m · n)(a · b)

6. wenn R ein Einselement 1_{R} hat, dann ist ∀n ∈ ℤ, a ∈ R: na = (n1_{R}) · a = a · (n1_{R})

7. verallgemeinerte Distributivität:

(∑_{i=1}^{n} a_{i})(∑_{j=1}^{m} b_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} a_{i}b_{j}(= ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{j})

(a_{1} + … + a_{n}) · (b_{1} + … + b_{m}) = (a_{1} · b_{1} + … a_{1} · b_{m}) + … + (a_{n} · b_{1} + … a_{n} · b_{m})
= (a_{1} · b_{1} + … a_{n} · b_{1}) + … + (a_{1} · b_{m} + … a_{n} · b_{m})

Beweis:

1. (a · 0_{R}) = a · (0_{R} + 0_{R}) = a · 0_{R} + a · 0_{R}; durch Addition von −(a · 0_{R}) erhält man 0_{R} = a · 0_{R}. Analog folgt 0_{R} = 0_{R} · a. Rest: als Übung.

□

Spezielle Elemente eines Ringes

Definition 17.1 Sei (R, +, ·) ein Ring.

• a ∈ R heißt nilpotent, wenn ∃n ∈ ℕ mit a^{n} = 0.

• b ∈ R heißt Linksnullteiler, wenn ∃c ∈ R \ {0} mit b · c = 0.

• b ∈ R heißt Rechtsnullteiler, wenn ∃c ∈ R \ {0} mit c · b = 0.

• b ∈ R heißt Nullteiler, wenn b Links- oder Rechtsnullteiler ist.

Bemerkung: 0 ist Nullteiler, sofern R ≠ {0}.

Bemerkung: a^{n} = 0, d.h. a ist Nullteiler in einem Ring, ist nicht zu verwechseln mit a^{n} = e, d.h. a hat endliche Ordnung in einer Gruppe!

Bemerkung: In einem kommutativen Ring sind die Begriffe Linksnullteiler, Rechtsnullteiler und Nullteiler äquivalent (da b·c = c·b). Auch im Folgenden sind alle Eigenschaften, die links und rechts definiert werden, für kommutative Ringe äquivalent.

Proposition 17.2 Sei R ≠ {0}. Dann gilt: a nilpotent ⇒ a Nullteiler (Rechts- und Linksnullteiler).

Beweis: Sei n ∈ ℕ minimal, sodass a^{n} = 0. Wenn n = 1, dann ist a = 0, also wegen R ≠ {0} ein Nullteiler. Wenn n > 1, dann gilt 0 = a^{n} = a · a^{n−1} = a^{n−1} · a und a^{n−1} ≠ 0.

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Beispiel: In ℤ_{6} sind \overline{2} und \overline{3} Nullteiler, denn \overline{2} · \overline{3} = \overline{3} · \overline{2} = \overline{6} = \overline{0}, aber \overline{2} und \overline{3} sind nicht nilpotent: \overline{2}^{n} = \overline{2^{n}} = \overline{0} würde gelten, wenn 6|2^{n}; dies ist jedoch unmöglich.

Definition 17.3 Sei (R, +, ·) ein Ring mit Eins.

• a ∈ R heißt rechtsinvertierbar (Rechtseinheit), wenn

∃a_{r} ∈ R mit a · a_{r} = 1_{R}

• a ∈ R heißt linksinvertierbar (Linkseinheit), wenn

∃a_{l} ∈ R mit a_{l} · a = 1_{R}

a_{r} heißt dann Rechtsinverses von a, a_{l} Linksinverses. a heißt invertierbar oder Einheit, wenn a links- und rechtsinvertierbar ist. In diesem Falle gibt es ein eindeutiges a^{−1} ∈ R, sodass a · a^{−1} = a^{−1} · a = 1_{R} (siehe das entsprechende Resultat für Monoide).

Definition 17.4 Sei R ein Ring mit Eins. Dann ist

E(R) = R^{∗} := {a ∈ R | a invertierbar}

eine Gruppe, die Einheitengruppe von R (wir wissen bereits: die invertierbaren Elemente eines Monoids bilden eine Gruppe).

Beispiel: Sei K ein Körper, z.B. K = ℝ, V ein K-Vektorraum. Die Menge der Endomorphismen auf V,

End_{K}(V) := {L : V → V | L(x+y) = L(x)+L(y), L(kx) = kL(x) ∀x, y ∈ V, k ∈ K}

bildet einen Ring bezüglich der Operationen +, ∘. In End_{K}(V) gilt:

1. L rechtsinvertierbar ⟺ L surjektiv

2. L linksinvertierbar ⟺ L injektiv

Beweis:

1. (⇐) Sei L surjektiv, B eine Basis von V. Für jedes b ∈ B wähle b′ ∈ L^{−1}(b) (≠ ∅); setze L̃(b) = b′ für b ∈ B (∃! lineare Abbildung L̃ : V → V, die das erfüllt). Dann gilt ∀b ∈ B (L ∘ L̃)(b) = L(b′) = b, also ist L ∘ L̃ eine lineare Abbildung, die auf einer Basis B L ∘ L̃ = id erfüllt. Somit gilt L ∘ L̃ = id. (⇒) Wir wissen bereits: L hat (als Funktion) eine Rechtsinverse ⇒ L ist surjektiv.

2. (⇐) Sei L injektiv, B eine Basis von V. Dann ist B′ = {L(b) = b′ | b ∈ B} eine linear unabhängige Menge: Seien b′_{1} = L(b_{1}), …, b′_{n} = L(b_{n}) ∈ B′ und c_{1}b′_{1} + … + c_{n}b′_{n} = 0. Dann folgt:

0 = c_{1}b′_{1} + … + c_{n}b′_{n} = c_{1}L(b_{1}) + … + c_{n}L(b_{n}) = L(c_{1}b_{1} + … + c_{n}b_{n})

Da L injektiv ist, muss daher c_{1}b_{1} + … + c_{n}b_{n} = 0 sein, also c_{i} = 0 ∀i, da B eine Basis ist. Folglich ist B′ linear unabhängig. Nun kann man B′ zu einer Basis C ergänzen und eine Funktion L̃ : V → V auf der Basis C definieren: für b′ ∈ B′ sei L̃(b′) = b, wobei b das eindeutig bestimmte Element von B mit L(b) = b′ sei; für c ∈ C \ B sei L̃(c) beliebig, z.B. L̃(c) = 0. Dann folgt für b ∈ B L̃(L(b)) = L̃(b′) = b, also muss L̃ ∘ L = id sein. (⇒) Wir wissen bereits: L hat (als Funktion) eine Linksinverse ⇒ L ist injektiv.

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Beispiel: Sei (G, +) eine kommutative Gruppe, f ∈ End(G). Dann gilt: f linksinvertierbar in (End(G), +, ∘) ⇒ f ist injektiv. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Wähle z.B. G = (ℤ, +), f ∈ End(ℤ) als f(x) = 2x. Dann ist f injektiv, hat aber keine Linksinverse: aus g(f(x)) = x würde etwa für x = 1 folgen, dass g(f(1)) = g(2) = g(1 + 1) = g(1) + g(1) = 1 ist, was in den ganzen Zahlen unmöglich ist.

Definition 17.5 Sei (R, +, ·) ein Ring.

• a ∈ R heißt linkskürzbar, wenn ∀b, c ∈ R ab = ac ⇒ b = c.

• a ∈ R heißt rechtskürzbar, wenn ∀b, c ∈ R ba = ca ⇒ b = c.

Proposition 17.6 Sei (R, +, ·) ein Ring, a ∈ R. Dann gilt:

• (1) a linkskürzbar ⟺ a kein Linksnullteiler

• (1’) a rechtskürzbar ⟺ a kein Rechtsnullteiler

Wenn R weiters ein Ring mit Eins ist, gilt:

• (2) a linksinvertierbar ⟹ a linkskürzbar

• (2’) a rechtsinvertierbar ⟹ a rechtskürzbar Beweis: (1), (1’) als Übung.

(2) Sei a_{l} das Linksinverse von a, d.h. a_{l}a = 1; multipliziert man nun ab = ac von links mit a_{l}, dann folgt a_{l}ab = 1b = b = c = 1c = a_{l}ac. (2’) folgt analog.

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Proposition 17.7 Sei (R, +, ·) ein Ring, und für ein a ∈ R sei L_{a} : R → R definiert durch L_{a}(x) = a · x, R_{a} : R → R durch R_{a}(x) = x · a. Dann gilt:

• (1) a rechtskürzbar ⟺ R_{a} injektiv

• (1’) a linkskürzbar ⟺ L_{a} injektiv

Wenn R weiters ein Ring mit Eins ist, gilt:

• (2) a Linkseinheit ⟺ R_{a} surjektiv

• (2’) a Rechtseinheit ⟺ L_{a} surjektiv

Beweis: (1), (1’) als Übung.

(2) (⇒) ∃a_{l} : a_{l}a = 1; für b ∈ R folgt damit b = b1 = ba_{l}a = R_{a}(ba_{l}), also ist R_{a} surjektiv. (⇐) ∃a′ ∈ R mit R_{a}(a′) = 1, d.h. a′a = 1. Damit ist a′ Linksinverses von a. (2’) folgt analog.

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[figure: Ring mit 1; Einheiten; Nicht-Linkseinheiten; Nicht-Rechtseinheiten; Linksnullteiler; Rechtsnullteiler; Nilpotente; 0; 1]

[figure: Kommutativer Ring mit 1; Einheiten; Nicht-Einheiten; Nullteiler; Nilpotente; 0; 1]

Satz 17.8 Sei R ein endlicher Ring mit Eins und a ∈ R. Dann gilt:

1. a ist Links- oder Rechtseinheit ⟹ a ist Einheit

2. a ist nicht Einheit ⟹ a ist Rechts- und Linksnullteiler.

Beweis:

1. Sei a Linkseinheit. Dann ist a linkskürzbar, also L_{a} injektiv. Weil R endlich ist, muss L_{a} auch surjektiv sein. Damit ist a jedoch auch Rechtseinheit. Analog folgt, dass a Linkseinheit sein muss, wenn a Rechtseinheit ist.

2. Sei a keine Einheit, o.B.d.A. keine Linkseinheit. Dann ist R_{a} nicht surjektiv, und weil R endlich ist, ist R_{a} auch nicht injektiv. Daher ist a Rechtsnullteiler, also keine Rechtseinheit. Dann ist L_{a} nicht surjektiv und (weil R endlich ist) auch nicht injektiv. Damit muss a auch Linksnullteiler sein.

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Beispiel: Sei (G, +) = ∏_{n∈ℕ}(ℤ, +) und R = End(G). Definiere die Funktionen f, g, h ∈ R durch

f((a_{1}, a_{2}, a_{3}, …)) = (a_{2}, a_{4}, a_{6}, …)
g((a_{1}, a_{2}, a_{3}, …)) = (a_{1}, 0, a_{2}, 0, a_{3}, …)
h((a_{1}, a_{2}, a_{3}, …)) = (0, a_{1}, 0, a_{2}, 0, …)

Dann gilt f ∘ g = 0, also ist f Linksnullteiler (und g Rechtsnullteiler). Andererseits ist f jedoch rechtsinvertierbar, denn f ∘ h = id (und g ist linksinvertierbar, denn für k : (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …) ↦ (a_{1}, a_{3}, a_{5}, …) gilt k ∘ g = id).

Ideale

Definition 18.1 Sei R ein Ring und S ⊆ R. Wenn (S, +) eine Untergruppe von (R, +) ist und S bezüglich · abgeschlossen ist (d.h. a, b ∈ S ⇒ ab ∈ S), dann heißt S Unterring von S, geschrieben S ≤ R.

Definition 18.2 Sei R ein Ring, I ⊆ R. Wenn (I, +) eine Untergruppe von (R, +) ist und ∀i ∈ I, r ∈ R ir ∈ I, dann heißt I Rechtsideal von R. Wenn (I, +) eine Untergruppe von (R, +) ist und ∀i ∈ I, r ∈ R ri ∈ I, dann heißt I Linksideal von R. Wenn I Links- und Rechtsideal ist, dann heißt I Ideal von R, geschrieben I ⊴ R.

Bemerkung: Eine Untergruppe (I, +) ≤ (R, +) ist

• Unterring, wenn a, b ∈ I ⇒ ab ∈ I (schwächste Bedingung)

• Linksideal, wenn r ∈ R, b ∈ I ⇒ rb ∈ I

• Rechtsideal, wenn a ∈ I, r ∈ R ⇒ ar ∈ I

• Ideal, wenn r ∈ R, i ∈ I ⇒ ri ∈ I und ir ∈ I (stärkste Bedingung)

Daher ist jedes Links- oder Rechtsideal Unterring, aber nicht umgekehrt. In einem kommutativen Ring ist jedes Linksideal auch Rechtsideal und umgekehrt. Jeder Ring hat die trivialen Ideale {0} und R.

Bemerkung: Sei I ⊆ R. Wenn I ≠ ∅, a, b ∈ I ⇒ a − b ∈ I und r ∈ R, i ∈ I ⇒ ri, ir ∈ I gilt, dann ist I ein Ideal.

Beispiel: Als Ideale von (ℤ, +, ·) kommen nur Untergruppen von (ℤ, +) in Frage, diese sind von der Form {0} oder nℤ für ein n ∈ ℕ. nℤ ist auch ein Ideal: wenn r ∈ ℤ und i = nl ∈ nℤ ist, dann ist ri = ir = nrl ∈ nℤ. Also sind die Ideale von ℤ {0} und nℤ (n ∈ ℕ).

Beispiel: ℤ ≤ ℚ ist ein Unterring, aber weder Links- noch Rechtsideal: 1 ∈ ℤ, \frac{1}{2} ∈ ℚ, aber 1 · \frac{1}{2} = \frac{1}{2} ∉ ℤ.

Beispiel: Sei K ein Körper und M_{n}(K) der Matrizenring über diesem Körper. Dann ist jedes Linksideal von der Form L_{A} := {MA | M ∈ M_{n}(K)} für eine Matrix A ∈ M_{n}(K). Ebenso ist jedes Rechtsideal von der Form R_{B} := {BM | M ∈ M_{n}(K)} für eine Matrix B ∈ M_{n}(K). Daher hat M_{n}(K) nur die trivialen Ideale {0} und M_{n}(K) (Beweise als Übung).

Lemma 18.3 Sei R ein Ring und für i ∈ I sei A_{i} ein Unterring (Rechtsideal/Linksideal/Ideal). Dann ist ⋂_{i∈I} A_{i} ein Unterring (Rechtsideal/Linksideal/ Ideal).

Beweis: Wir wissen bereits, dass (A_{i}, +) ≤ (R, +) ⇒ (⋂_{i∈I} A_{i}, +) ≤ (R, +). Wenn jedes A_{i} Unterring ist, also ∀i ∈ I (r, s ∈ A_{i} ⇒ rs ∈ A_{i}) gilt, und r, s ∈ ⋂_{i∈I} A_{i} sind, dann ist ∀i ∈ I r, s ∈ A_{i}, also ∀i ∈ I rs ∈ A_{i} und somit rs ∈ ⋂_{i∈I} A_{i}. Daher ist A_{i} ein Unterring. Für Rechtsideal/Linksideale/Ideale läuft der Beweis analog.

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Definition 18.4 Sei R ein Ring und X ⊆ R. Das von X erzeugte Ideal ist

(X) := ⋂_{I⊴R,X⊆I} I

Der von X erzeugte Unterring ist

[X] := ⋂_{S≤R,X⊆S} S

Weiters ist das von X erzeugte Linksideal ⋂_{I Linksideal,X⊆I} I, das von X erzeugte Rechtsideal ⋂_{I Rechtsideal,X⊆I} I. Statt ({a}) schreibt man (a), statt ({a_{1}, …, a_{n}}) schreibt man (a_{1}, …, a_{n}). Ein Ideal der Form (a) für ein a ∈ R heißt Hauptideal von R.

Satz 18.5 (Hauptideale) Sei (R, +, ·) ein Ring, a ∈ R. Dann gilt:

1. (a) = {na + ra + as + ∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i} | n ∈ ℤ, r, s, r_{i}, s_{i} ∈ R, m ∈ ℕ_{0}}

2. Für einen Ring mit Eins: (a) = {∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i} | r_{i}, s_{i} ∈ R, m ∈ ℕ_{0}}

3. Für einen kommutativen Ring: (a) = {na + ra | n ∈ ℤ, r ∈ R}

4. Für einen kommutativen Ring mit Eins: (a) = {ra | r ∈ R}

Beweis:

Ad 1.: Sei M = {na + ra + as + ∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i} | n ∈ ℤ, r, s, r_{i}, s_{i} ∈ R, m ∈ ℕ_{0}}. Dann gilt:

i. Für alle Ideale I ⊴ R mit a ∈ I gilt M ⊆ I, denn: (I, +) ≤ (R, +) ⇒ na ∈ I; I ist bezüglich Multiplikation von links und rechts abgeschlossen ⇒ ra, as, r_{i}as_{i} ∈ I; I ist bezüglich + abgeschlossen ⇒ jedes Element der Form na+ra+as+∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i} muss in I enthalten sein, also M ⊆ I.

ii. M ist ein Ideal von M und a ∈ M: Zweiteres ist unmittelbar klar, da a = 1_{ℤ}a + 0_{R}a + a0_{R} + 0_{R}a0_{R} ∈ M. Damit ist außerdem M ≠ ∅. Es seien na + ra + as + ∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i} und n′a + r′a + as′ + ∑_{i=1}^{m′} r′_{i}as′_{i} zwei Elemente aus M. Dann ist ihre Differenz

(n − n′)a + (r − r′)a + a(s − s′) + ∑_{i=1}^{m+m′} r′′_{i}as′′_{i} ∈ M

Seien weiters b = na + ra + as + ∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i} ∈ M und r′ ∈ R. Dann ist ihr Produkt

r′b = r′(na + ra + as + ∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i})

= r′(na) + r′ra + ras + ∑_{i=1}^{m} r′r_{i}as_{i}

= (nr′ + r′r)a + ∑_{i=1}^{m′} r′_{i}as′_{i} ∈ M

Analog ist auch br′ ∈ M.

Wegen ii. kommt M unter den Idealen, die a enthalten, vor. Daher ist (a) = ⋂_{I⊴R,a∈I} I ⊆ M. Wegen i. wiederum muss M ⊆ ⋂_{I⊴R,a∈I} I = (a) sein, also folgt M = (a).

Ad 2.-4.: Die entsprechenden Mengen sind jedenfalls nach 1. in (a) enthalten. Sie umfassen jedoch aufgrund der zusätzlichen Bedingungen auch ganz (a):

• Ad 2.: R hat ein Einselement ⇒ na = (n1_{R})a1_{R}, ra = ra1_{R}, as = 1_{R}as

• Ad 3.: R ist kommutativ ⇒ as = sa, ∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i} = (∑_{i=1}^{m} r_{i}s_{i})a • Ad 4.: R ist kommutativer Ring mit Einselement ⇒ na = (n1_{R})a,

as = sa, ∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i} = (∑_{i=1}^{m} r_{i}s_{i})a

Daher ist na + ra + as + ∑_{i=1}^{m} r_{i}as_{i} jeweils von der angegebenen Form.

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Definition 18.6 Sei R ein Ring und A, B ⊆ R. Dann definiert man:

AB := {a_{1}b_{1} + … + a_{n}b_{n} | n ∈ ℕ, a_{i} ∈ A, b_{i} ∈ B}
A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B}

Durch diese Definition ist AB bezüglich + abgeschlossen.

Bemerkung: Statt {a}B für ein a ∈ R schreibt man aB, analog Ab = A{b}. Wegen der Distributivität gilt aR = {ar_{1} + … + ar_{n} | r_{i} ∈ R} = {ar | r ∈ R} und analog Ra = {ra | r ∈ R}. In diesem Sinne ist dann für einen Ring mit Eins (a) = RaR und für einen kommutativen Ring mit Eins (a) = aR = Ra.

Satz 18.7 Seien A_{1}, …, A_{n}, A, B, C Ideale (Linksideale/Rechtsideale). Dann sind auch A_{1} + … + A_{n} und AB Ideale (Linksideale/Rechtsideale), und es gilt:

1. A + (B + C) = (A + B) + C

2. A(BC) = (AB)C

3. A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

4. (A_{1}+…+A_{n})B = A_{1}B+…+A_{n}B, B(A_{1}+…+A_{n}) = BA_{1}+…+BA_{n}

5. Wenn R ein Ring mit Eins ist, dann gilt für alle Linksideale I von R RI = I und für alle Rechtsideale J von R JR = J.

Beweis: als Übung.

Homomorphismen

Definition 19.1 Seien R, S Ringe. Eine Funktion R → S heißt Ringhomomorphismus, wenn ∀a, b ∈ R f(a + b) = f(a) + f(b) und f(ab) = f(a)f(b).

Definition 19.2 Der Kern eines Ringhomomorphismus f : R → S ist definiert als

Ker f := {a ∈ R | f(a) = 0_{S}} = f^{−1}(0_{S})

Das Bild von f wiederum ist

Im f := {f(a) | a ∈ R}

Definition 19.3 Ein surjektiver Ringhomomorphismus heißt – wie für Gruppen – Epimorphismus, ein injektiver Monomorphismus, ein bijektiver Isomorphismus, einer, der R auf sich abbildet, Endomorphismus, und ein bijektiver Endomorphismus heißt Automorphismus.

Satz 19.4 Sei (R, +, ·) ein Ring und I ⊴R. Für a ∈ R sei a+I := {a+i | i ∈ I} = {b ∈ R | b − a ∈ I} (die Nebenklasse von a bezüglich (I, +) ≤ (R, +)) und R/I := {a + I | a ∈ R}. Dann bildet R/I mit der Addition (a + I) + (b + I) = (a + b) + I und der Multiplikation (a + I) · (b + I) = (a · b) + I einen Ring. Wenn R kommutativ ist, dann auch R/I; wenn R ein Ring mit einem Einselement 1_{R} ist, dann ist 1_{R}+I das Einselement von R/I. Weiters ist π : R → R/I mit π(a) = a + I ein Ringepimorphismus (die kanonische Projektion) mit Ker π = I.

Beweis: Wir wissen bereits, dass (R/I, +) eine kommutative Gruppe ist. Zu zeigen ist zunächst, dass (R/I, ·) eine Halbgruppe ist und das Distributivgesetz erfüllt ist:

• · ist wohldefiniert: sei a + I = a′ + I, b + I = b′ + I, d.h. a − a′ = i ∈ I und b − b′ = j ∈ I. Dann ist a′b′ − ab = (a + i)(b + j) − ab = ab + aj + ib + ij − ab = aj + ib + ij ∈ I, also a′b′ + I = ab + I.

• Die Assoziativität von · und die Distributivität ergeben sich aus den entsprechenden Bedingungen für R. Ebenso ist R/I kommutativ, wenn R kommutativ ist. Falls R ein Einselement hat, ist (a + I)(1 + I) = a1 + I = a + I = 1a + I = (1 + I)(a + I), also muss 1 + I Einselement in R/I sein.

Es ist bereits bekannt, dass π : R → R/I ein Gruppenepimorphismus bezüglich + ist, wobei Ker π = I. Weil zudem π(ab) = ab+I = (a+I)(b+I) = π(a)π(b) gilt, ist π auch Ringhomomorphismus.

Satz 19.5 (Homomorphiesatz, 1. Isomorphiesatz) Sei f : R → S ein Ringhomomorphismus. Dann ist Ker f ein Ideal von R, Im f ein Unterring von S und \overline{f} : R/(Ker f) → Im f mit \overline{f}(a + Ker f) = f(a) ein Ringisomorphismus.

Beweis: Ker f ≤ (R, +), weil f ein Gruppenhomomorphismus bezüglich + ist. Sei nun k ∈ Ker f und a ∈ R. Dann gilt:

f(ak) = f(a)f(k) = f(a) · 0 = 0 ⇒ ak ∈ Ker f
f(ka) = f(k)f(a) = 0 · f(a) = 0 ⇒ ka ∈ Ker f

Daher ist Ker f ein Ideal von R. Im f ist eine Untergruppe von (S, +) und abgeschlossen bezüglich ·, da für a = f(α), b = f(β) ∈ Im f ab = f(αβ) ∈ Im f ist. Daher ist Im f tatsächlich Unterring. Nun betrachten wir die Funktion \overline{f} : R/K → Im f, wobei K = Ker f sei:

• \overline{f} ist wohldefiniert: a′ ∈ a+K ⇒ a′ = a+k für ein k ∈ K ⇒ f(a′) = f(a) + f(k) = f(a) + 0 = f(a)

• \overline{f} ist offensichtlich surjektiv, und zudem auch injektiv: \overline{f}(a + K) = \overline{f}(b+K) ⇒ f(a) = f(b) ⇒ f(a−b) = 0 ⇒ a−b ∈ K ⇒ a+K = b+K

• \overline{f} ist Ringhomomorphismus:

\overline{f}((a+K)+(b+K)) = \overline{f}(a+b+K) = f(a+b) = f(a)+f(b) = \overline{f}(a+K)+\overline{f}(b+K)

\overline{f}((a+K)(b+K)) = \overline{f}(ab+K) = f(ab) = f(a)f(b) = \overline{f}(a+K)\overline{f}(b+K)

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Beispiel: nℤ ⊴ ℤ; π : ℤ → ℤ/(nℤ) = ℤ_{n} mit π(m) = \overline{m} = m + ℤ ist auch Ringepimorphismus.

Bemerkung: Sei S Unterring von R und I ⊴ R. Dann ist S ∩ I ⊴ S (die Einschränkung von I auf S).

Satz 19.6 (2. Isomorphiesatz) Sei R ein Ring, S ein Unterring von R und I ein Ideal von R. Dann gilt

S/(S ∩ I) ≃ (I + S)/I

wobei φ : S/(S ∩ I) → (I + S)/I mit φ(s + S ∩ I) = s + I der Isomorphismus ist.

Beweis: Wir wissen bereits, dass φ ein Gruppenisomorphismus bezüglich + ist. Wegen φ((s+S ∩I)(t+S ∩I)) = φ(st+S ∩I) = st+I = (s+I)(t+I) = φ(s + S ∩ I)φ(t + S ∩ I) ist φ jedoch auch Ringisomorphismus.

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Proposition 19.7 Sei f : R → S ein Ringhomomorphismus. Dann gilt:

• R′ ≤ R ⇒ f(R′) ≤ S

• S′ ≤ S ⇒ f^{−1}(S′) ≤ R

• R′ ⊴ R ⇒ f(R′) ⊴ f(R) (im Allgemeinen aber nicht f(R′) ⊴ S !)

• S′ ⊴ S ⇒ f^{−1}(S′) ⊴ R

Beweis: als Übung.

Lemma 19.8 Sei f : R → S ein Ringhomomorphismus. Dann gilt:

X ⊆ R ⟹ f^{−1}(f(X)) = X + Ker f
Y ⊆ S ⟹ f(f^{−1}(Y)) = Y ∩ Im f

Beweis: Dies gilt bereits, weil f ein Gruppenhomomorphismus bezüglich + ist (Lemma 9.4).

Definition 19.9 Für I ⊴ R ist [R : I] = |R/I| = |{a + I | a ∈ R}| der Index von I (d.h. der Index der Untergruppe (I, +) von (R, +)).

Satz 19.10 (Korrespondenzsatz) Seien R, S Ringe, f : R → S ein Ringepimorphismus (also surjektiv) und K := Ker f. Seien weiters

R_{K}(R) := {A | A ≤ R, K ⊆ A}
R(S) := {B | B ≤ S}
I_{K}(R) := {I | I ⊴ R, K ⊆ I}
I(S) := {J | J ⊴ S}

Dann gilt:

1. φ : R_{K}(R) → R(S) mit φ(A) = f(A) ist eine Bijektion mit der Inversen ψ : R(S) → R_{K}(R) mit ψ(B) = f^{−1}(B) und φ|_{I_{K}(R)} : I_{K}(R) → I(S) ist eine Bijektion mit der Inversen ψ|_{I(S)} : I(S) → I_{K}(R).

2. ∀A, C ∈ R_{K}(R) : A ⊴ C ⇔ f(A) ⊴ f(C), und falls A ⊴ C ist, dann C/A ≃ f(C)/f(A).

Beweis:

1. A ≤ R ⇒ f(A) ≤ S; B ≤ S ⇒ f^{−1}(B) ≤ R mit K = f^{−1}(0) ⊆ f^{−1}(B), da 0 ∈ B. Also sind φ und ψ Funktionen. Sei nun A ∈ R_{K}(R): dann ist

ψ(φ(A)) = f^{−1}(f(A)) = A + Ker f = A (da Ker f ⊆ A)

Sei andererseits B ∈ R(S): dann ist

φ(ψ(B)) = f(f^{−1}(B)) = B ∩ Im f = B (da f surjektiv ist)

Daher sind φ und ψ invers zueinander und somit bijektiv. I ∈ I_{K}(R) ⇒ f(I) ⊴ Im f = S; J ∈ I(S) ⇒ f^{−1}(J) ⊴ R, also sind φ|_{I_{K}(R)} und ψ|_{I(S)} Funktionen. Sie sind invers zueinander, weil φ und ψ es sind.

2. Für A⊴C sei g = f|_{C} : C → f(C). Dann ist g ein Ringepimorphismus, und man kann 1. anwenden. Es folgt A ⊴ C ⇒ f(A) ⊴ f(C). Sei dann h : C/A → f(C)/f(A) durch h(c+A) = f(c)+f(A) gegeben.

• h ist wohldefiniert: seien c, c′ ∈ C mit c+A = c′+A ⇔ c−c′ ∈ A. Dann ist f(c) − f(c′) = f(c − c′) ∈ f(A) und daher f(c) + f(A) = f(c′) + f(A).

• h ist ein Ringhomomorphismus:

h((c + A) + (d + A)) = h((c + d) + A)
= f(c + d) + f(A)
= f(c) + f(d) + f(A)
= (f(c) + f(A)) + (f(d) + f(A))
= h(c + A) + h(d + A)

und

h((c + A) · (d + A)) = h(cd + A)
= f(cd) + f(A)
= f(c)f(d) + f(A)
= (f(c) + f(A))(f(d) + f(A))
= h(c + A) · h(d + A)

• h ist injektiv: c + A ∈ Ker h ⇒ f(c) + f(A) = f(A), d.h. f(c) ∈ f(A). Es muss also ein a ∈ A geben, sodass f(c) = f(a) ist. Es folgt f(a − c) = 0, also c − a ∈ Ker f ⊆ A und somit wegen a ∈ A auch c ∈ A. Also besteht der Kern von h nur aus dem neutralen Element 0 + A.

• h ist klarerweise surjektiv.

Also ist h ein Ringisomorphismus, und es gilt C/A ≃ f(C)/f(A). Seien umgekehrt A, C beliebige Unterringe von R und f(A) ⊴ f(C). Dann ist f(A) ⊆ f(C), also A = A + Ker f = f^{−1}(f(A)) ⊆ C + Ker f = C und folglich A ≤ C. Wendet man nun wiederum 1. auf den Ringepimorphismus g : C → f(C) an, ergibt sich aus f(A) = g(A) ⊴ g(C) = f(C) sofort A ⊴ C.

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Satz 19.11 (3. Isomorphiesatz) Sei R ein Ring und I ein Ideal von R. Definiere

R_{I}(R) := {S ≤ R | I ⊆ S}
I_{I}(R) := {J ⊴ R | I ⊆ J}
R(R/I) := {S′ ≤ R/I}
I(R/I) := {J′ ⊴ R/I}

Dann ist φ : R_{I}(R) → R(R/I) mit φ(S) = S/I = {s + I | s ∈ S} eine Bijektion, und für J ≤ R mit I ⊆ J gilt J ⊴ R ⇔ J/I ⊴ R/I. Außerdem gilt für I ⊴ R, J ⊴ R mit I ⊆ J:

R/J ≃ (R/I)/(J/I)

Beweis: Dies ist lediglich der Korrespondenzsatz, angewandt auf den Ringepimorphismus π : R → R/I mit π(r) = r + I. Für S ≤ R mit I ⊆ S ist π(S) = {s + I | s ∈ S} = S/I.

Korollar 19.12 Jedes Ideal von R/I hat die Form J/I für ein J ⊴R, I ⊆ J.

Charakteristik

Definition 20.1 Sei R ein Ring. Wenn {n ∈ ℕ | ∀r ∈ R nr = 0} = ∅, dann definiere χ(R) := 0, andernfalls

χ(R) := min{n ∈ ℕ | ∀r ∈ R nr = 0}

χ(R) heißt Charakteristik von R.

Beispiel: χ(ℤ) = 0, χ(ℤ_{n}) = n, χ(M_{n}(ℚ)) = 0, χ(M_{n}(ℤ_{p})) = p

Proposition 20.2 Wenn R ein Ring mit Eins ist, dann ist χ(R) = 0, falls {n ∈ ℕ | n1_{R} = 0_{R}} = ∅, andernfalls ist χ(R) = min{n ∈ ℕ | n1_{R} = 0_{R}}.

Beweis: als Übung.

Definition 20.3 Ein Ring R heißt nullteilerfrei, wenn R außer 0 keine Nullteiler enthält, d.h. wenn ∀a, b ∈ R gilt: ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0.

Bemerkung: R ist nullteilerfrei ⇒ jedes a ≠ 0 ist links- und rechtskürzbar: ab = ac ⇒ a(b − c) = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = c

Proposition 20.4 Wenn R ein nullteilerfreier Ring ist, dann ist χ(R) = 0 oder χ(R) = p eine Primzahl.

Beweis: Angenommen, χ(R) wäre weder 0 noch eine Primzahl. Dann ist χ(R) = nm für n, m ∈ ℕ, n, m > 1. Weil χ(R) ≠ 0 ist, ist χ(R) = min{k ∈ ℕ | ∀r ∈ R kr = 0}. Wegen m > 1 ist n < nm = χ(R) = min{k ∈ ℕ | ∀r ∈ R kr = 0}, daher gibt es ein r ∈ R, sodass nr ≠ 0 ist, und ebenso ein s ∈ R, sodass ms ≠ 0 ist. Es gilt jedoch (nr)(ms) = (nm)(rs) = χ(R)(rs) = 0, also müsste R Nullteiler haben, ein Widerspruch.

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Definition 20.5 Sei R ein Ring mit Eins. Der von 1 erzeugte Unterring von R heißt Primring von R, Π_{R} := ⋂_{S≤R,1∈S} S.

Satz 20.6 Sei R ein Ring mit Eins. Dann gilt

1. Π_{R} = {n1_{R} | n ∈ ℤ}

2. Wenn χ(R) = 0, dann ist Π_{R} ≃ ℤ, wenn χ(R) = n ∈ ℕ, dann ist Π_{R} ≃ ℤ_{n}.

Beweis:

1. {n1_{R} | n ∈ ℤ} = ⋂_{(H,+)≤(R,+),1∈H} H ⊆ ⋂_{S≤R,1∈S} S = Π_{R} (da jeder Unterring von R auch Untergruppe bezüglich + ist). Zudem ist G = {n1_{R} | n ∈ ℤ} ein Ring, denn G ist bezüglich · abgeschlossen: (n1_{R})(m1_{R}) = (nm)(1_{R}1_{R}) = (nm)1_{R} ∈ G (dass G bezüglich + eine Gruppe bildet, ist bereits bekannt). Daher ist G ein Unterring von R mit 1 ∈ G, also Π_{R} = ⋂_{S≤R,1∈S} ⊆ G und insgesamt folglich Π_{R} = G.

2. φ : ℤ → R, definiert durch φ(n) = n1_{R}, ist ein Ringhomomorphismus, denn φ(n+m) = (n+m)1_{R} = n1_{R} +m1_{R} = φ(n)+φ(m) und φ(nm) = nm1_{R} = (n1_{R})(m1_{R}) = φ(n)φ(m). Im φ = {n1_{R} | n ∈ ℤ} = Π_{R} und Ker φ = {n ∈ ℤ | n1_{R} = 0}. Ist χ(R) = 0, dann existiert kein n ∈ ℕ mit n1_{R} = 0. In diesem Fall ist Ker φ = {0} und somit Π_{R} = Im φ ≃ ℤ/{0} = ℤ. Ist andererseits χ(R) = m ∈ ℕ, dann ist Ker φ = mℤ und somit Π_{R} = Im φ ≃ ℤ/(mℤ) = ℤ_{m}.

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Definition 20.7 (Binomialkoeffizienten) Für n ∈ ℕ_{0}, k ∈ ℤ sei

\binom{n}{k} := Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge

Bemerkung: \binom{0}{0} = 1, denn ∅ hat genau eine 0-elementige Teilmenge; \binom{n}{k} = 0 für k < 0 und für k > n.

Proposition 20.8 Für n ∈ ℕ, k ∈ ℤ gilt

1. \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n−k)!}

2. \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k−1} + \binom{n}{k} 3. \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1, \binom{n}{k} = \binom{n}{n−k}

4. Ist p eine Primzahl und 0 < k < p, dann gilt p | \binom{p}{k}.

Beweis:

1. Man kann eine beliebige k-elementige Teilmenge einer n-elementigen Menge {a_{1}, …, a_{n}} auswählen, indem man die Elemente in einer beliebigen Reihenfolge anschreibt (dafür gibt es n! Möglichkeiten) und die ersten k auswählt. Dabei kommt dieselbe Menge je k!(n − k)! Mal vor, denn jede Reihenfolge der ersten k (dafür gibt es k! Möglichkeiten) und der letzten n − k (dafür gibt es (n − k)! Möglichkeiten) Elemente führt zu denselben k ausgewählten Elementen. Also gibt es \frac{n!}{k!(n−k)!} k-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge.

2. als Übung

3. Offensichtlich gibt es je genau eine Teilmenge der Mächtigkeit 0 bzw. n. Weiters ist durch T ↦ M/T eine Bijektion zwischen den k-elementigen und den (n−k)-elementigen Teilmengen von M (mit |M| = n) gegeben.

4. Es ist

\binom{p}{k} = \frac{p(p − 1) · . . . · 1}{k(k − 1) · . . . · 1 · (n − k)(n − k − 1) · . . . · 1}

Da p den Zähler, aber nicht den Nenner teilt, muss p | \binom{n}{k} gelten.

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Satz 20.9 (Binomischer Lehrsatz) Sei R ein Ring und a, b ∈ R mit ab = ba. Für n ∈ ℕ sei a^{0}b^{n} := b^{n} und a^{n}b^{0} := a^{n} (auch wenn R kein Einselement hat). Dann gilt für n ∈ ℕ:

(a + b)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n−k}

Beweis: Entwickelt man (a+b)^{n} = (a+b) … (a+b) mit dem Distributivgesetz, so erhält man wegen ab = ba nur Summanden der Form a^{k}b^{n−k} (da es n Faktoren gibt, erhält man beim Ausmultiplizieren wiederum nur Glieder mit n Faktoren).

Dabei kommt ein Faktor a^{k}b^{n−k} sooft vor, wie es Möglichkeiten gibt, jene k Faktoren auszuwählen, aus denen ein a stammt (bzw. n − k Faktoren, aus denen ein b stammt). Dafür gibt es nach der vorhergehenden Definition genau \binom{n}{k} Möglichkeiten, womit die Behauptung folgt.

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Proposition 20.10 Sei R ein kommutativer Ring, sodass χ(R) = p eine Primzahl ist. Dann ist φ : R → R, gegeben durch φ(x) = x^{p}, ein Ringhomomorphismus (der Frobenius-Homomorphismus).

Beweis:

• φ(xy) = (xy)^{p} = x^{p}y^{p} = φ(x)φ(y) gilt aufgrund der Kommutativität von R.

• Es ist

φ(x + y) = (x + y)^{p}
= ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}x^{k}y^{p−k}

= \binom{p}{0}x^{0}y^{p} + … + \binom{p}{p}x^{p}y^{0}
= \binom{p}{0}x^{0}y^{p} + \binom{p}{p}x^{p}y^{0} = y^{p} + x^{p}
= φ(x) + φ(y)

weil wegen p | \binom{p}{k} für 0 < k < p und χ(R) = p alle übrigen Summanden \binom{p}{k}x^{k}y^{p−k} = m(p(x^{k}y^{p−k})) = m0 = 0 wegfallen.

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Korollar 20.11 Sei R ein kommutativer Ring mit χ(R) = p für eine Primzahl p. Dann gilt ∀a, b ∈ R, n ∈ ℕ: (a + b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} + b^{p^{n}}

Beweis: φ : R → R mit φ(x) = x^{p} ist ein Homomorphismus, daher auch φ∘…∘φ = φ^{n}, und es ist φ^{n}(x) = (((x^{p})^{p}) …)^{p} = x^{p^{n}}. Also muss (a+b)^{p^{n}} = φ^{n}(a + b) = φ^{n}(a) + φ^{n}(b) = a^{p^{n}} + b^{p^{n}} sein.

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Adjunktion der Eins

Satz 21.1 (Adjunktion der Eins) Sei R ein Ring.

1. Dann gibt es einen Ring S mit Einselement, sodass χ(S) = 0 und R ≤ S ist, nämlich S = ℤ×R mit der Addition (k, r)+(k′, r′) = (k+k′, r+r′) und der Multiplikation (k, r) · (k′, r′) = (kk′, kr′ + k′r + rr′).

2. Wenn χ(R) = n ∈ ℕ ist und m ein Vielfaches von n, dann gibt es einen Ring S mit Einselement, sodass χ(S) = m und R ≤ S ist, nämlich S = ℤ_{m} × R mit der Addition (\overline{k}, r) + (\overline{k′}, r′) = (\overline{k + k′}, r + r′) und der Multiplikation (\overline{k}, r) · (\overline{k′}, r′) = (\overline{kk′}, kr′ + k′r + rr′).

Beweis:

1. • S ist eine kommutative Gruppe, denn (S, +) = (ℤ, +) ⊕ (R, +). • · ist assoziativ:

(k_{1}, r_{1})((k_{2}, r_{2})(k_{3}, r_{3})) = (k_{1}, r_{1})(k_{2}k_{3}, k_{2}r_{3} + k_{3}r_{2} + r_{2}r_{3})
= (k_{1}k_{2}k_{3}, k_{1}k_{2}r_{3} + k_{1}k_{3}r_{2} + k_{1}r_{2}r_{3} +
k_{2}k_{3}r_{1} + k_{2}r_{1}r_{3} + k_{3}r_{1}r_{2} + r_{1}r_{2}r_{3})
= (k_{1}k_{2}, k_{1}r_{2} + k_{2}r_{1} + r_{1}r_{2})(k_{3}, r_{3})
= ((k_{1}, r_{1})(k_{2}, r_{2}))(k_{3}, r_{3})

• Das Distributivitätsgesetz ergibt sich ebenso durch direktes Nachrechnen.

• (1, 0) ist Einselement: (1, 0)(k, r) = (k, 1r + k0 + 0r) = (k, r) und (k, r)(1, 0) = (k, k0 + 1r + r0) = (k, r).

• R ist ein Unterring vermöge der Einbettung φ : R → S mit φ(r) = (0, r): es gilt φ(r + s) = (0, r + s) = (0, r) + (0, s) = φ(r) + φ(s) und φ(rs) = (0, rs) = (0, 0r + 0s + rs) = (0, r)(0, s) = φ(r)φ(s). φ ist daher ein Ringhomomorphismus und offensichtlich injektiv.

• χ(S) = 0, denn aus n(k, r) = (0, 0) folgt für k = 1 sofort n = 0. Also kann es kein n ∈ ℕ geben, sodass n(k, r) = (0, 0) für alle Elemente von S gilt.

2. • Die Multiplikation ist wohldefiniert: seien k, k′ Repräsentanten von \overline{k}, d.h. \overline{k} = \overline{k′} Dann gilt m|k − k′ und somit

(\overline{k}, r)(\overline{l}, s) = (\overline{kl}, ks + lr + rs)
= (\overline{k′l}, k′s + (k − k′)s + lr + rs)
= (\overline{k′l}, k′s + lr + rs)
= (\overline{k′}, r)(\overline{l}, s)

weil wegen χ(R) = n | m | (k − k′) (k − k′)s = 0 sein muss.

• m(\overline{k}, r) = (m\overline{k}, mr) = (0, 0) für alle Elemente (\overline{k}, r) von S, weil wegen \overline{k} ∈ ℤ_{m} m\overline{k} = 0 und wegen χ(R) = n | m mr = 0 sein muss. Andererseits ist für alle l ∈ ℕ mit l < m l(\overline{1}, 0) = (\overline{l}, 0) ≠ (0, 0), weswegen

m = min{l ∈ ℕ | ∀s ∈ S ls = 0} = χ(S)

sein muss.

• Der Rest läuft analog zu 1. ab.

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Bemerkung: Auch wenn R nullteilerfrei ist, kann S nichttriviale Nullteiler haben. Man betrachte als Beispiel etwa die Adjunktion der Eins an R = 2ℤ: Dann ist S = ℤ×2ℤ, und es gilt die Multiplikation (k, 2n)(l, 2m) = (kl, 2km+ 2ln + 4nm). Daher ist

(0, 2)(−2, 2) = (0 · (−2), 0 · 2 + 2 · (−2) + 2 · 2) = (0, 0)

Also hat S die nichttrivialen Nullteiler (0, 2) und (−2, 2).

Primideale, maximale Ideale

Definition 22.1 Sei R ein Ring und P ⊴R. P heißt Primideal, wenn P ≠ R und ∀A, B ⊴ R gilt: AB ⊆ P ⇒ A ⊆ P ∨ B ⊆ P.

Lemma 22.2 Sei R ein Ring und a, b ∈ R. Dann gilt (ab) ⊆ (a)(b). Wenn R kommutativ ist, gilt sogar (ab) = (a)(b).

Beweis: als Übung.

Satz 22.3 Sei R ein Ring, P ⊴ R und P ≠ R. Wenn P die Eigenschaft hat, dass ∀a, b ∈ R (ab ∈ P ⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P) gilt, dann ist P ein Primideal. Wenn R kommutativ ist und P ⊴R, dann ist P genau dann Primideal, wenn diese Bedingung erfüllt ist.

Beweis: P habe die oben genannte Eigenschaft. Seien dann A, B ⊴ R Ideale mit AB ⊆ P. Angenommen, A ⊈ P. Dann wähle ein a_{0} ∈ A, das nicht in P liegt. Für alle b ∈ B muss dann gelten:

a_{0}b ∈ AB ⊆ P ⇒ a_{0} ∈ P ∨ b ∈ P ⇒ b ∈ P

Also ist B ⊆ P. Analog folgt B ⊈ P ⇒ A ⊆ P. Sei jetzt P ein Primideal in einem kommutativen Ring. Wenn ab ∈ P ist, dann muss (a)(b) = (ab) ⊆ P und somit (a) ⊆ P oder (b) ⊆ P sein. Daraus folgt jedoch insbesondere a ∈ P ∨ b ∈ P.

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Bemerkung: Für nichtkommutative Ringe gilt nicht (ab) ⊆ P ⇒ (a)(b) ⊆ P, weil im Allgemeinen (ab) ⫋ (a)(b) ist.

Definition 22.4 Ein Ring R ≠ {0} heißt Integritätsbereich, wenn R kommutativer Ring mit Eins und nullteilerfrei ist.

Beispiel: (ℤ, +, ·) ist Integritätsbereich.

Lemma 22.5 Sei R ein Ring und I ⊴ R ein Ideal. Dann gilt:

R/I ≠ {0} und nullteilerfrei ⟺ I ≠ R und ∀a, b ∈ R (ab ∈ I ⇒ a ∈ I∨b ∈ I)

Beweis: R/I ≠ {0} ⇔ R ≠ I gilt offensichtlich. Da a+I = 0_{R/I} = I ⇔ a ∈ I gilt, ist die Bedingung ab ∈ I ⇒ a ∈ I ∨b ∈ I äquivalent zu ab + I = 0_{R/I} ⇒ a + I = 0_{R/I} ∨ b + I = 0_{R/I}. Dies ist jedoch genau die Bedingung, dass R/I keine nichttrivialen Nullteiler hat.

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Satz 22.6 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und P ⊴ R. Dann gilt

P ist Primideal ⟺ R/P ist Integritätsbereich

Beweis: Sei P zunächst ein Primideal. Dann folgt P ≠ R ⇒ R/P ≠ {0}. Weil R kommutativ ist, gilt ∀a, b ∈ R (ab ∈ P ⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P), nach dem vorigen Lemma ist damit R/P nullteilerfrei. Da R kommutativer Ring mit Eins ist, muss dies außerdem auch auf R/P zutreffen. Also ist R/P Integritätsbereich. Sei umgekehrt R/P ein Integritätsbereich. Dann folgt R/P ≠ {0} ⇒ P ≠ R. Aus dem vorigen Lemma folgt wiederum aus der Tatsache, dass R/P nullteilerfrei ist, dass (ab ∈ P ⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P) gelten muss, daher ist P ein Primideal.

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Definition 22.7 Sei R ein Ring, M ⊴ R. M heißt maximales Ideal, wenn M ≠ R ist und für alle I ⊴ R mit M ⫋ I ⊆ R bereits I = R gelten muss.

Definition 22.8 Ein Ring R heißt einfach, wenn

I ⊴ R ⇒ (I = {0} ∨ I = R)

Proposition 22.9 Sei R ein Ring und M ⊴ R. Dann gilt:

M ist maximales Ideal ⟺ R/M ≠ {0} und R/M ist einfach

Beweis: Aus M ≠ R folgt R/M ≠ {0} und umgekehrt. Sei nun zunächst M ein maximales Ideal. Nach dem 3. Isomorphiesatz hat jedes Ideal von R/M die Form J/M für ein Ideal J ⊴ R mit M ⊆ J. Wenn J = M, dann ist J/M = M/M = {0}, wenn J ≠ M, dann ist M ⫋ J ⊆ R, also muss J = R und somit J/M = R/M sein. Daher ist R/M einfach. Sei umgekehrt R/M einfach. Dies ist äquivalent dazu, dass |{J ⊴ R/M}| = 2 ist. Nach dem 3. Isomorphiesatz gilt |{I ⊴ R | M ⊆ I}| = |{J ⊴ R/M}|, also |{I ⊴ R | M ⊆ I}| = 2. Daher kann M ⊆ I ⊆ R nur für die Ideale I = M und I = R gelten. Damit ist M jedoch maximal.

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Definition 22.10 Ein Ring R ≠ {0} mit Eins, in dem jedes Element außer 0 invertierbar ist (d.h. E(R) = R \ {0}), heißt Schiefkörper. Ein kommutativer Ring R ≠ {0} mit Eins, in dem jedes Element außer 0 invertierbar ist, heißt Körper.

Bemerkung: Sei R ein Ring.

• R ≠ {0} und R ist nullteilerfrei ⟺ (R \ {0}, ·) ist Halbgruppe

• R ist Schiefkörper ⟺ (R \ {0}, ·) ist Gruppe

• R ist Körper ⟺ (R \ {0}, ·) ist kommutative Gruppe

Bemerkung: Jeder Schiefkörper ist nullteilerfrei, jeder Körper ist Integritätsbereich (ein Element, das invertierbar ist, kann kein Nullteiler sein).

Beispiel: ℚ, ℝ, ℂ, ℤ_{p} (wobei p Primzahl ist) sind Körper.

Beispiel: Seien i, j, k beliebige Symbole. Definiere eine Menge

ℍ := {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ ℚ}

Die Addition auf dieser Menge sei durch (a+bi+cj+dk)+(a′+b′i+c′j+d′k) = (a + a′) + (b + b′)i + (c + c′)j + (d + d′)k erklärt, die Multiplikation durch i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj = −i, ik = −j (wobei −i = (−1)i sei). Zudem soll das Distributivgesetz gelten. Dann bildet (ℍ, +, ·) einen nichtkommutativen Schiefkörper, die sogenannten rationalen Quaternionen (analog definiert man auch die reellen Quaternionen).

Bemerkung: {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} bildet bezüglich der oben definierten Multiplikation (mit der zusätzlichen Bedingung (−x)y = x(−y) = −(xy)) eine Gruppe, die sogenannte Quaternionengruppe Q_{8}. Hierbei sind i, −i, … nur Symbole, die mit einer Addition nichts mehr zu tun haben! (also ist − nur ein Zusatz zum Namen)

Lemma 22.11 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Dann gilt:

R ist einfach und ≠ {0} ⟺ R ist Körper

Beweis: In einem kommutativen Ring mit Eins gilt ∀a ∈ R (a) = Ra = aR. Sei nun R ≠ {0} einfach und a ≠ 0 ein Element von R. Dann ist aR = (a)⊴R, und weil a ≠ 0 in (a) enthalten ist, muss (a) ≠ {0} sein. Da R einfach ist, kann somit nur (a) = aR = R gelten, und daher gibt es ein b ∈ R mit ab = 1 (weil R kommutativ ist, auch ba = 1). Also ist a invertierbar. Da somit jedes Element von R \ {0} invertierbar ist, ist R ein Körper. Sei umgekehrt R ein Körper und I ⊴ R, I ≠ {0}, ein Ideal. Dann gibt es ein a ∈ I, a ≠ 0, das invertierbar ist. Damit ist jedoch a^{−1}a = 1 ∈ I und damit auch r = 1r ∈ I für jedes r ∈ R. Also muss I = R sein, und folglich ist R einfach.

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Satz 22.12 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und M ⊴ R. Dann gilt:

M ist maximales Ideal ⟺ R/M ist Körper

Beweis: Ist M maximal, dann ist R/M ≠ {0} und einfach. Daher muss R/M ein Körper sein. Ist umgekehrt R/M ein Körper, dann ist R/M einfach und R/M ≠ {0}. Daraus folgt, dass M maximales Ideal ist.

Beispiel: Für eine Primzahl p ist wegen pℤ ⊆ nℤ ⇔ n|p pℤ ein maximales Ideal von ℤ, also ist ℤ_{p} = ℤ/pℤ ein Körper.

Bemerkung: Man kann dies auf nichtkommutative Ringe verallgemeinern: ist R ein Ring mit Eins, dann gilt:

R rechts- und linkseinfach ⟺ R ist Schiefkörper

(dabei bedeutet ”rechtseinfach“, dass es keine Rechtsideale außer R und {0} gibt, ”linkseinfach“, dass es keine Linksideale außer R und {0} gibt) Wenn R ein Ring mit Eins ist und M ⊴ R, dann gilt:

M ist maximal unter den Links- und Rechtsidealen ⟺ R/M ist Schiefkörper

(d.h. für jedes Rechts- oder Linksideal J mit M ⫋ J ⊆ R gilt bereits J = R) Wenn R ein Ring mit Eins und M ein maximales Ideal ist, dann muss R/M nicht notwendigerweise Schiefkörper sein!

Halbgeordnete Mengen:

Definition 22.13 Sei X eine Menge und ≤ ⊆ X × X eine Relation (man schreibt x ≤ y für (x, y) ∈ ≤). ≤ heißt Ordnungsrelation (und (X, ≤) heißt geordnete Menge), wenn gilt:

1. ∀x ∈ X x ≤ x

2. ∀x, y, z ∈ X (x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z

3. ∀x, y ∈ X (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y)

Definition 22.14 Sei (X, ≤) eine geordnete Menge, Y ⊆ X.

• s ∈ X heißt obere Schranke von Y, wenn ∀y ∈ Y y ≤ s

• y_{0} ∈ Y heißt maximales Element von Y, wenn ∀y ∈ Y (y_{0} ≤ y ⇒ y = y_{0})

Bemerkung: Eine obere Schranke von Y muss nicht unbedingt in Y liegen, ein maximales Element schon. Ein maximales Element y_{0} ist im Allgemeinen keine obere Schranke (weil erlaubt ist, dass es in Y Elemente gibt, die mit y_{0} nicht vergleichbar sind).

Definition 22.15 Eine geordnete Menge (Y, ≤) heißt totalgeordnet, wenn ∀x, y ∈ Y : (x ≤ y ∨ y ≤ x). Eine Teilmenge Y einer geordneten Menge (X, ≤) heißt Kette, wenn Y bezüglich ≤ totalgeordnet ist, d.h. ∀x, y ∈ Y (x ≤ y ∨ y ≤ x).

Lemma 22.16 (Lemma von Zorn) Sei (X, ≤) eine halbgeordnete Menge, X ≠ ∅. Wenn jede Kette Y ⊆ X eine obere Schranke in X hat, dann hat X ein maximales Element.

Bemerkung: Sei R ein Ring mit Eins und I ⊴ R. Dann gilt (I = R ⇔ 1 ∈ I).

Satz 22.17 Sei R ein Ring mit Eins und I ⊴R. Wenn I ≠ R, dann existiert ein maximales Ideal M ⊴ R mit I ⊆ M.

Beweis: Sei X = {J ⊴ R | I ⊆ J ⫋ R}. Dann ist X ≠ ∅, weil I ∈ X. X ist eine geordnete Menge durch J ≤ J′ :⇔ J ⊆ J′. Jede Kette in X hat eine obere Schranke in X: Sei Y = {J_{λ} | λ ∈ Λ} ⊆ X eine Kette. Wenn Λ = ∅, dann ist jedes x ∈ X eine obere Schranke. Sei andernfalls J = ⋃_{λ∈Λ} J_{λ}. Dann gilt ∀y = J_{μ} ∈ Y: y ⊆ J, also wäre J eine obere Schranke. Es bleibt jedoch zu zeigen, dass J ∈ X ist:

• 0 ∈ J, weil 0 ∈ J_{λ} für ein λ ∈ Λ. Daher ist J ≠ ∅.

Seien nun a, b ∈ J. Dann gibt es λ, μ ∈ Λ mit a ∈ J_{λ} und b ∈ J_{μ}. Weil Y eine Kette ist, muss J_{λ} ⊆ J_{μ} oder J_{μ} ⊆ J_{λ} gelten, o.B.d.A ersteres. Dann folgt a, b ∈ J_{μ}, also a − b ∈ J_{μ} und folglich auch a − b ∈ J. Seien schließlich a ∈ J und r ∈ R. Dann gibt es ein λ ∈ Λ mit a ∈ J_{λ}. Weil J_{λ} ein Ideal ist, sind damit ar, ra ∈ J_{λ} und somit auch ar, ra ∈ J. Folglich ist J ein Ideal.

• I ⊆ J ist klar, weil für ein beliebiges λ ∈ Λ I ⊆ J_{λ} gilt.

• Da ∀λ ∈ Λ J_{λ} ≠ R und folglich 1 ∉ J_{λ} ist, muss 1 ∉ J sein, und somit ist J ≠ R.

Also ist J eine obere Schranke von Y, und man darf das Lemma von Zorn anwenden. Daher hat X ein maximales Element M ∈ X, d.h. M ⊴ R, I ⊆ M ⫋ R und ∀J ⊴ R mit I ⊆ J ⫋ R: wenn M ⊆ J, dann J = M. Also ist M ein maximales Ideal mit I ⊆ M.

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Satz 22.18 R sei ein Ring mit Eins und M ⊴ R. Wenn M ein maximales Ideal ist, dann ist M auch ein Primideal.

Beweis: Sei M ein maximales Ideal, A, B ⊴ R und AB ⊆ M. Angenommen, A ⊈ M. Dann ist A + M ein Ideal mit M ⫋ A + M, also A + M = R, da M maximal ist. R ist ein Ring mit Eins, also folgt B ⊴ R ⇒ RB = B. Damit ist B = RB = (A + M)B = AB + MB ⊆ AB + M ⊆ M (da AB ⊆ M). Hiermit ist gezeigt, dass B ⊆ M.

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Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht, z.B. ist (0) ⊆ ℤ ein Primideal, aber nicht maximal.

Bemerkung: Für kommutative Ringe R folgt dieser Satz auch folgendermaßen:

M maximales Ideal ⇒ R/M Körper ⇒ R/M Integritätsbereich ⇒ M Primideal

Bemerkung: Ist R ein kommutativer Ring mit Eins und P ein Primideal mit endlichem Index [R : P], dann ist R/P ein endlicher Integritätsbereich und somit ein Körper (jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper – Beweis als Übung). Somit ist P dann ein maximales Ideal.

Direktes Produkt und direkte Summe von Ringen

Satz 23.1 Sei {R_{i} | i ∈ I} eine nichtleere Menge von Ringen. Dann ist (∏_{i∈I} R_{i}, +, ·), wobei (∏_{i∈I} R_{i}, +) das direkte Produkt der Abelschen Gruppen (R_{i}, +) und (r_{i})_{i∈I} ·(s_{i})_{i∈I} = (r_{i}s_{i})_{i∈I} (komponentenweise Multiplikation) ist, ein Ring, das direkte Produkt der Ringe.

• ∏_{i∈I} R_{i} ist genau dann kommutativ, wenn ∀i ∈ I R_{i} kommutativ ist.

• ∏_{i∈I} R_{i} hat genau dann ein Einselement, wenn ∀i ∈ I R_{i} ein Einselement hat (dann ist 1 = (1_{R_{i}})_{i∈I}).

• p_{j} : ∏_{i∈I} R_{i} → R_{j} mit p_{j}((r_{i})_{i∈I}) = r_{j} ist Ringepimorphismus (die Projektion in den j-ten Faktor).

• ε_{j} : R_{j} → ∏_{i∈I} R_{i} mit ε_{j}(r) = (r_{i})_{i∈I}, wobei r_{i} = \begin{cases}r & i = j \\ 0 & sonst \end{cases} ist, ist

Ringmonomorphismus (die Einbettung des j-ten Faktors).

Beweis: Die Assoziativität und die Distributivität übertragen sich von den einzelnen R_{i}, da + und · komponentenweise definiert sind, ebenso die Kommutativität. Ist jedoch ein R_{j} nicht kommutativ, dann ist R̃_{j} = Im ε_{j} ≤ ∏_{i∈I} R_{i}, also ist R̃_{j} ≃ R_{j} ein nichtkommutativer Unterring von ∏_{i∈I} R_{i}, und damit ist auch ∏_{i∈I} R_{i} nichtkommutativ. Wenn jedes R_{i} ein Ring mit Einselement 1_{R_{i}} ist, dann ist 1 = (1_{R_{i}})_{i∈I} Einselement in ∏_{i∈I} R_{i}. Wenn umgekehrt (r_{i})_{i∈I} Einselement in ∏_{i∈I} R_{i} ist, dann muss r_{i} Einselement in R_{i} sein. Es ist bereits bekannt, dass p_{j} Gruppenepimorphismus bezüglich + ist. Weil zudem p_{j}((r_{i})_{i∈I}(s_{i})_{i∈I}) = p_{j}((r_{i}s_{i})_{i∈I}) = r_{j}s_{j} = p_{j}((r_{i})_{i∈I})p_{j}((s_{i})_{i∈I}) gilt, ist p_{j} auch Ringhomomorphismus. Ebenso ist bekannt, dass ε_{j} Gruppenmonomorphismus ist. Weil zudem ε_{j}(rs) =

(t_{i})_{i∈I} = (r_{i})_{i∈I}(s_{i})_{i∈I} = ε_{j}(r)ε_{j}(s) mit t_{i} = \begin{cases}rs & i = j \\ 0 & sonst \end{cases} = r_{i}s_{i}, r_{i} = \begin{cases}r & i = j \\ 0 & sonst \end{cases}

und s_{i} = \begin{cases}s & i = j \\ 0 & sonst \end{cases} gilt, ist ε_{j} auch Ringhomomorphismus.

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Proposition 23.2 Sei für i ∈ I R_{i} ein Ring und J_{i} ⊴ R_{i} ein Ideal. Dann ist ∏_{i∈I} J_{i} = {(r_{i})_{i∈I} | r_{i} ∈ J_{i} ∀i} ein Ideal in ∏_{i∈I} R_{i}; insbesondere ist Im ε_{j} = {(r_{i})_{i∈I} | r_{i} = 0 für i ≠ j} ein Ideal von ∏_{i∈I} R_{i}.

Beweis: Es ist klar, dass es sich um Unterringe handelt. Da die Multiplikation komponentenweise definiert ist, gilt zudem für (r_{i})_{i∈I} ∈ ∏_{i∈I} R_{i} und (j_{i})_{i∈I} ∈ ∏_{i∈I} J_{i}: (r_{i})_{i∈I}(j_{i})_{i∈I} = (r_{i}j_{i})_{i∈I} ∈ ∏_{i∈I} J_{i}, also ist ∏_{i∈I} J_{i} ein Ideal. Insbesondere ist Im ε_{j} = ∏_{i∈I} J_{i} mit J_{i} = {0} für i ≠ j und J_{j} = R_{j} ein Ideal.

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Proposition 23.3 Wenn R_{1}, …, R_{n} Ringe mit Eins sind, dann ist jedes Ideal J ⊴ ∏_{i=1}^{n} R_{i} von der Form J = ∏_{i=1}^{n} J_{i} für Ideale J_{i} ⊴ R_{i}. Dabei ist

J_{i} = {r_{i} ∈ R_{i} | ∃r_{1}, …, r_{i−1}, r_{i+1}, …, r_{n} sodass (r_{1}, …, r_{n}) ∈ J}

Beweis: als Übung.

Bemerkung: Wenn R = ∏_{i∈I} R_{i} und I unendlich ist, dann muß nicht jedes Ideal diese Form haben.

Bemerkung: Die direkte Summe von unendlich vielen Ringen ist nicht so wichtig wie etwa die direkte Summe von Gruppen; z.B. hat die direkte Summe von unendlich vielen Ringen mit Eins kein Einselement! Es gilt aber

∑_{i∈I} R_{i} = {(r_{i})_{i∈I} | nur endlich viele r_{i} sind ≠ 0} ⊴ ∏_{i∈I} R_{i}

Satz 23.4 (Universelle Eigenschaft des direkten Produkts) Für i ∈ I sei R_{i} ein Ring. Dann gilt für alle Ringe S und alle Mengen {φ_{i} : S → R_{i} | i ∈ I} von Ringhomomorphismen, dass es genau einen Ringhomomorphismus φ : S → ∏_{i∈I} R_{i} gibt, sodass ∀j ∈ I p_{j} ∘ φ = φ_{j}, d.h. das folgende Diagramm kommutiert:

[figure: R_{j}; S; ∏ R_{i}; φ_{j}; p_{j}; φ]

Beweis: Wir wissen bereits, dass es genau einen Gruppenhomomorphismus bezüglich + gibt, der die Bedingung erfüllt, nämlich φ(s) = (φ_{i}(s))_{i∈I}. Dieser ist jedoch auch Ringhomomorphismus, denn es gilt

φ(rs) = (φ_{i}(rs))_{i∈I}
= (φ_{i}(r)φ_{i}(s))_{i∈I}
= (φ_{i}(r))_{i∈I}(φ_{i}(s))_{i∈I}
= φ(r)φ(s)
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Satz 23.5 (Innere direkte Summe) Sei R ein Ring und A_{1}, …, A_{n} Ideale von R, sodass A_{1} + … + A_{n} = R und ∀k ∈ {1, …, n} A_{k} ∩ (A_{1} + … + A_{k−1} + A_{k+1} + … + A_{n}) = {0}. Dann ist R ≃ ∑_{i=1}^{n} A_{i}, wobei φ : ∑_{i=1}^{n} A_{i} → R, definiert durch φ((a_{1}, …, a_{n})) = a_{1} + … + a_{n}, der Isomorphismus ist.

Beweis: Die A_{i} sind Normalteiler von (R, +), die R erzeugen sodass

A_{k} ∩ ⟨⋃_{i≠k} A_{i}⟩ = A_{k} ∩ (A_{1} + … + A_{k−1} + A_{k+1} + … + A_{n}) = {0}

ist, also gilt (R, +) ≃ ∑_{i=1}^{n}(A_{i}, +). φ ist ein Gruppenisomorphismus, es bleibt nur noch zu zeigen, dass φ auch Ringhomomorphismus ist: Für a_{i} ∈ A_{i}, a_{j} ∈ A_{j} mit i ≠ j gilt a_{i}a_{j} = 0, da a_{i}a_{j} ∈ A_{i} ∩ A_{j} = {0} ist, daher:

φ((a_{1}, …, a_{n}))φ((b_{1}, …, b_{n})) = (a_{1} + … + a_{n})(b_{1} + … + b_{n})
= a_{1}b_{1} + … + a_{n}b_{n}
= φ((a_{1}b_{1}, …, a_{n}b_{n}))
= φ((a_{1}, …, a_{n})(b_{1}, …, b_{n}))
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Chinesischer Restsatz

Definition 24.1 Sei R ein Ring, I, J ⊴ R. I, J heißen relativ prim, wenn I + J = R.

Bemerkung: Diese Definition stimmt mit jener für n, m ∈ ℤ überein, denn es gilt ggT(n, m) = 1 ⇔ nℤ + mℤ = ℤ (allgemein ist mℤ + nℤ = dℤ, wobei d = ggT(n, m)).

Bemerkung: Sei R ein Ring, I, J ⊴ R. Dann ist IJ ⊆ I ∩ J:

IJ = {i_{1}j_{1} + … + i_{n}j_{n} | i_{k} ∈ I, j_{k} ∈ J, n ∈ ℕ}

Weil I, J Ideale sind, ist jedoch i_{k}j_{k} ∈ I und i_{k}j_{k} ∈ J, also i_{k}j_{k} ∈ I ∩ J und somit i_{1}j_{1} + … + i_{n}j_{n} ∈ I ∩ J. Im allgemeinen ist jedoch IJ ≠ I ∩ J, etwa für I = J = 2ℤ ⊴ ℤ: hier ist IJ = 4ℤ und I ∩ J = 2ℤ.

Proposition 24.2 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, I, J ⊴ R mit I + J = R. Dann gilt IJ = I ∩ J.

Beweis: Es genügt zu zeigen, dass I ∩ J ⊆ IJ ist. Weil R ein Ring mit Eins ist, gilt zunächst ∀A ⊴ R AR = A, also

I∩J = (I∩J)R = (I∩J)(I+J) = (I∩J)I+(I∩J)J ⊆ JI+IJ = IJ+IJ = IJ

weil wegen der Kommutativität IJ = JI gilt.

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Bemerkung: Diese Proposition verallgemeinert die Tatsache, dass für relativ prime n, m ∈ ℤ nm = kgV(n, m) gilt, denn allgemein ist (nℤ)(mℤ) = nmℤ und (nℤ) ∩ (mℤ) = (kgV(n, m))ℤ.

Bemerkung: Ist M ein maximales Ideal und J ⊈ M ein beliebiges Ideal, dann sind M, J relativ prim, denn wegen M ⫋ J + M muss J + M = R sein.

Definition 24.3 Sei I ⊴ R ein Ideal, a, b ∈ R. Dann definieren wir die Kongruenz modulo I als a ≡ b mod I ⇔ a−b ∈ I, d.h. a ≡ b mod I ⇔ a+I = b + I. Man schreibt manchmal \overline{a} für a + I. Es gelten die Rechenregeln \overline{a} + \overline{b} = \overline{a + b} und \overline{a} · \overline{b} = \overline{a · b}. Die Schreibweise a + I ist jedoch zu bevorzugen, da hervorgeht, um welches Ideal es sich handelt.

Lemma 24.4 Sei R ein Ring mit Eins, A_{1}, …, A_{n} ⊴ R mit A_{i} + A_{j} = R für i ≠ j. Dann gilt für k = 1, …, n: A_{k} + A_{1} … A_{k−1}A_{k+1} … A_{n} = R. Insbesondere gilt dann auch A_{k} + ⋂_{i≠k} A_{i} = R.

Beweis: Gegeben A_{k}, sei {B_{1}, …, B_{n−1}} = {A_{i} | i ≠ k}. Wir zeigen durch Induktion nach j, dass R = A_{k} + B_{1} … B_{j} für alle 1 ≤ j ≤ n − 1 gilt:

• j = 1: R = A_{k} + B_{1} gilt nach Voraussetzung.

• Es gelte R = A_{k} + B_{1} … B_{j−1}. Es folgt

R = (A_{k} + B_{1} … B_{j−1})R
= (A_{k} + B_{1} … B_{j−1})(A_{k} + B_{j})
= A_{k}^{2} + A_{k}B_{j} + B_{1} … B_{j−1}A_{k} + B_{1} … B_{j}
⊆ A_{k} + B_{1} … B_{j}

Also muss auch R = A_{k} + B_{1} … B_{j} gelten.

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Satz 24.5 (Chinesischer Restsatz) Sei R ein Ring mit Eins, A_{1}, …, A_{n} Ideale von R, und für i ≠ j sei A_{i}+A_{j} = R. Dann gibt es für alle b_{1}, …, b_{n} ∈ R ein b ∈ R, sodass b ≡ b_{i} mod A_{i} für i = 1, …, n. Dieses b ist eindeutig modulo ⋂_{i=1}^{n} A_{i}.

Beweis: Nach dem vorherigen Lemma ist A_{i} + ⋂_{j≠i} A_{j} = R; für jedes i sei c_{i} ∈ A_{i}, d_{i} ∈ ⋂_{j≠i} A_{j}, sodass c_{i} + d_{i} = b_{i}. Setze b := d_{1} + … + d_{n}. Dann gilt für alle i d_{i} ≡ b_{i} mod A_{i} (da c_{i} = b_{i} − d_{i} ∈ A_{i}) und d_{i} ≡ 0 mod A_{j} für alle j ≠ i (da d_{i} ∈ A_{j}). Daher ist

b = d_{1} + … + d_{n}
= d_{1} + … + d_{i−1} + d_{i} + d_{i+1} + … + d_{n}
≡ 0 + … + 0 + b_{i} + 0 + … + 0 ≡ b_{i} mod A_{i}

Die Eindeutigkeit modulo ⋂_{i=1}^{n} A_{i} ergibt sich folgendermaßen: wenn b, b′ gegeben sind, sodass b ≡ b_{i} ≡ b′ mod A_{i} ist, dann gilt ∀i b − b′ ∈ A_{i}, d.h. b − b′ ∈ ⋂_{i=1}^{n} A_{i} und somit b ≡ b′ mod ⋂_{i=1}^{n} A_{i}.

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Korollar 24.6 (Chinesischer Restsatz für ℤ) Seien m_{1}, …, m_{n} ∈ ℤ, sodass für i ≠ j ggT(m_{i}, m_{j}) = 1 ist. Dann gibt es für alle b_{1}, …, b_{n} ∈ ℤ ein b ∈ ℤ, sodass ∀i b ≡ b_{i} mod m_{i} (und dieses b ist eindeutig modulo m_{1} … m_{n}).

Beweis: Es gilt m_{i}ℤ + m_{j}ℤ = ggT(m_{i}, m_{j})ℤ = ℤ, also kann man den chinesischen Restsatz anwenden. Es gibt daher ein eindeutiges b mod ⋂_{i=1}^{n} m_{i}ℤ = m_{1} … m_{n}ℤ (allgemein ist ⋂_{i=1}^{n} m_{i}ℤ = kgV(m_{1}, …, m_{n})ℤ), das b ≡ b_{i} mod m_{i}ℤ, also b ≡ b_{i} mod m_{i}, für alle i erfüllt.

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Lemma 24.7 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, A_{1}, …, A_{n} ⊴ R mit A_{i} + A_{j} = R für i ≠ j. Dann gilt A_{1} ∩ … ∩ A_{n} = A_{1} · . . . · A_{n}.

Beweis: durch Induktion nach n:

• Für n = 1 ist die Aussage trivial.

• Es gelte bereits A_{1} ∩ … ∩ A_{n−1} = A_{1} · . . . · A_{n−1}. Dann folgt:

A_{1}∩…∩A_{n} = (A_{1}∩…∩A_{n−1})∩A_{n} = (A_{1}·. . .·A_{n−1})∩A_{n} = (A_{1}·. . .·A_{n−1})·A_{n}

da nach Lemma 24.4 A_{1} ·. . .·A_{n−1} +A_{n} = R und nach Proposition 24.2 I + J = R ⇒ I ∩ J = I · J gilt.

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Korollar 24.8 Seien R ein Ring mit Eins und A_{1}, …, A_{n} Ideale von R. Dann ist φ : R/(A_{1}∩…∩A_{n}) → R/A_{1}×…×R/A_{n} mit φ(r+A_{1}∩…∩A_{n}) = (r + A_{1}, …, r + A_{n}) ein Ringmonomorphismus. Wenn zusätzlich für i ≠ j A_{i} + A_{j} = R gilt, dann ist φ auch surjektiv, also ein Isomorphismus.

Beweis: als Übung.

Korollar 24.9 Seien R ein kommutativer Ring mit Eins und A_{1}, …, A_{n} Ideale von R, sodass für i ≠ j A_{i} + A_{j} = R gelte. Dann folgt

[R : (A_{1} · . . . · A_{n})] = [R : A_{1}] · . . . · [R : A_{n}]

Bemerkung: Einfacher Beweis des chinesischen Restsatzes für ℤ:

Es mögen die Voraussetzungen von Korollar 24.6 gelten. φ : ℤ/(m_{1} · . . . · m_{n})ℤ → (ℤ/m_{1}ℤ) × … × (ℤ/m_{n}ℤ), gegeben durch φ(k + m_{1} … m_{n}ℤ) = (k + m_{1}ℤ, …, k + m_{n}ℤ), ist wohldefiniert und ein Ringhomomorphismus. φ ist injektiv, denn aus φ(k+m_{1} … m_{n}ℤ) = φ(l+m_{1} … m_{n}ℤ) folgt k+m_{i}ℤ = l+m_{i}ℤ für alle i, damit m_{i}|k−l für alle i und schließlich kgV(m_{1}, …, m_{n})|k− l. Da die m_{i} paarweise relativ prim sind, ist kgV(m_{1}, …, m_{n}) = m_{1} … m_{n}, also m_{1} … m_{n}|k − l und damit k + m_{1} … m_{n}ℤ = l + m_{1} … m_{n}ℤ. Weil zudem |ℤ/(m_{1} · . . . · m_{n})ℤ| = m_{1} · . . . · m_{n} = |ℤ/m_{1}ℤ| · . . . · |ℤ/m_{n}ℤ| = |(ℤ/m_{1}ℤ)×…×(ℤ/m_{n}ℤ)| ist, also Grund- und Zielmenge von φ gleichmächtige endliche Mengen sind, muss φ auch bijektiv sein. Also gibt es genau ein b modulo m_{1} · . . . · m_{n}, sodass φ(b + m_{1} … m_{n}ℤ) = (b_{1} + m_{1}ℤ, …, b_{n} + m_{n}ℤ) und damit b ≡ b_{i} mod m_{i} für alle i ist.

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Das Nilradikal

Lemma 25.1 Sei R ein kommutativer Ring, dann ist

Nil(R) := {r ∈ R | ∃n ∈ ℕ mit r^{n} = 0}

(die Menge der nilpotenten Elemente von R) ein Ideal von R, genannt das Nilradikal von R.

Beweis: als Übung.

Definition 25.2 Sei S ≠ ∅ eine Teilmenge eines Ringes R. S heißt multiplikativ abgeschlossen, wenn a, b ∈ S ⇒ ab ∈ S gilt.

Lemma 25.3 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und S ⊆ R multiplikativ abgeschlossen, 0 ∉ S. Dann gibt es ein Primideal P ⊴ R mit P ∩ S = ∅.

Beweis: Sei X = {I ⊴ R | I ∩ S = ∅}. X ≠ ∅, da {0} ∈ X. X werde durch ⊆ geordnet. Dann kann man das Zorn’sche Lemma auf X anwenden: Wenn Y = {I_{λ} | λ ∈ Λ} ⊆ X eine Kette ist, dann ist J = ⋃_{λ∈Λ} I_{λ} ein Ideal (Beweis wie in Satz 22.17), und da für alle λ I_{λ} ∩ S = ∅ ist, muss J ∩ S = ∅ sein, also J ∈ X. Zudem ist J offensichtlich eine obere Schranke von Y. Also enthält X ein maximales Element P mit P ∩ S = ∅. Wir zeigen nun, dass es sich um ein Primideal handelt: P ≠ R, da P ∩ S = ∅ und S ≠ ∅. Seien nun a, b ∈ R mit ab ∈ P: Angenommen, a ∉ P und b ∉ P. Dann gilt P ⫋ (a) + P und P ⫋ (b) + P. Wegen der Maximalität von P in X ist daher ((a) + P) ∩ S ≠ ∅ und ((b) + P) ∩ S ≠ ∅. Seien s ∈ ((a) + P) ∩ S und t ∈ ((b) + P) ∩ S. Weil S multiplikativ abgeschlossen ist, muss daher st ∈ S sein, und damit st ∈ ((a) + P)((b) + P) = (ab) + (a)P + (b)P + P^{2} ⊆ P, weil für kommutative Ringe mit Eins (a)(b) = (ab) gilt. Also folgt st ∈ S ∩ P und somit S ∩ P ≠ ∅, ein Widerspruch.

Folglich erfüllt P die Bedingungen eines Primideals, und wegen P ∈ X gilt P ∩ S = ∅.

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Satz 25.4 Ist R ein kommutativer Ring mit Eins, dann ist

Nil(R) = ⋂_{P Primideal von R} P

Beweis: Sei a ∈ Nil(R), n ∈ ℕ mit a^{n} = 0. Sei weiters P ein Primideal. Dann ist a · a^{n−1} = a^{n} = 0 ∈ P, also a ∈ P oder a^{n−1} ∈ P. Im ersten Fall folgt sofort a ∈ P, andernfalls gilt a^{n−1} ∈ P ⇒ a ∈ P ∨ a^{n−2} ∈ P, etc. Also muss a ∈ P sein, und daher gilt a ∈ ⋂_{P Primideal von R} P. Sei umgekehrt a ∉ Nil(R). Dann ist S = {a^{n} | n ∈ ℕ} multiplikativ abgeschlossen. Da a nicht nilpotent ist, enthält S nicht 0. Also gibt es ein Primideal P, sodass P ∩ S = ∅ ist, d.h. insbesondere a ∉ P. Damit folgt a ∉ ⋂_{P Primideal von R} P.

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Bemerkung: Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und I ein Ideal. Sei \sqrt{I} := \{a ∈ R | ∃n ∈ ℕ a^{n} ∈ I\}, dann heißt \sqrt{I} das Radikal von I. Insbesondere ist Nil(R) = \sqrt{\{0\}}. Es gilt \sqrt{I} = ⋂_{P Primideal von R,I⊆P} P, wie sich mit Hilfe des folgenden Lemmas zeigen lässt:

Lemma 25.5 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, I ⊴ R, I ≠ R, und S eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R mit S ∩ I = ∅. Dann gibt es ein Primideal P mit I ⊆ P, sodass S ∩ P = ∅.

Beweis: mit Hilfe des Zorn’schen Lemmas, angewandt auf X = {J ⊴ R | I ⊆ J, J ∩ S = ∅}.

Lemma 25.6 Ist R ein kommutativer Ring mit Eins, a ∈ Nil(R), b eine Einheit, dann ist auch a ± b eine Einheit.

Beweis: als Übung, folgt aus a^{n} − b^{n} = (a − b) ∑_{k=0}^{n−1} a^{k}b^{n−1−k}.

Der Polynomring

Definition 26.1 Der Polynomring in einer Unbestimmten über R ist definiert durch die additive Gruppe ∑_{i=0}^{∞}(R, +) und die Multiplikation

(a_{n})_{n=0}^{∞} · (b_{n})_{n=0}^{∞} = (c_{n})_{n=0}^{∞} mit c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k} = ∑_{k+l=n} a_{k}b_{l} (Faltung)

Bemerkung: Wir identifizieren hierbei ein Polynom a_{0} + … + a_{n}x^{n} mit der Folge seiner Koeffizienten. Nur endlich viele sind dabei ≠ 0.

Proposition 26.2 Sei R ein Ring. Der Polynomring in einer Unbestimmten über R ist ein Ring. Er ist kommutativ, wenn R kommutativ ist. Wenn R ein Ring mit Eins ist, dann ist (1, 0, 0, …) Einselement. Außerdem ist r ↦ (r, 0, 0, …) ein Ringmonomorphismus (die Einbettung von R in den Polynomring).

Beweis:

• Es ist bereits bekannt, dass der Polynomring bezüglich + eine kommutative Gruppe ist.

• Die Assoziativität lässt sich leicht nachrechnen: sei dazu

((a_{n})_{n=0}^{∞}(b_{n})_{n=0}^{∞})(c_{n})_{n=0}^{∞} = (d_{n})_{n=0}^{∞} und (a_{n})_{n=0}^{∞}((b_{n})_{n=0}^{∞}(c_{n})_{n=0}^{∞}) = (d′_{n})_{n=0}^{∞}

d_{n} = ∑_{k+m=n}( ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j})c_{m}
= ∑_{i+j+m=n} a_{i}b_{j}c_{m}

= ∑_{i+l=n} a_{i}( ∑_{j+m=l} b_{j}c_{m})
= d′n

• Ebenso lässt sich die Distributivität nachprüfen.

• Wenn R kommutativ ist, dann gilt ∑_{k+l=n} a_{k}b_{l} = ∑_{l+k=n} b_{l}a_{k}, also (a_{n})_{n=0}^{∞}(b_{n})_{n=0}^{∞} = (b_{n})_{n=0}^{∞}(a_{n})_{n=0}^{∞}

• Sei ε = (ε_{n})_{n=0}^{∞} mit ε_{0} = 1 und ε_{n} = 0 für n > 0. Dann ist ε Einselement: ∑_{k+l=n} ε_{k}a_{l} = a_{n}, weil ε_{0}a_{n} = a_{n} und ε_{k}a_{l} = 0 für alle k > 0 ist, daher muss (ε_{n})_{n=0}^{∞}(a_{n})_{n=0}^{∞} = (a_{n})_{n=0}^{∞} sein, analog auch (a_{n})_{n=0}^{∞}(ε_{n})_{n=0}^{∞} = (a_{n})_{n=0}^{∞}.

• Die Einbettung r ↦ (r_{n})_{n=0}^{∞} = (r, 0, 0, …) ist bekanntermaßen ein Gruppenmonomorphismus. Es gilt jedoch auch (r, 0, 0, …)(s, 0, 0, …) = (rs, 0, 0, …), denn da für k ≠ 0 oder l ≠ 0 r_{k}s_{l} = 0 ist, kann ∑_{k+l=n} r_{k}s_{l} ≠ 0 nur gelten, falls k + l = n = 0. Zudem ist ∑_{k+l=0} r_{k}s_{l} = r_{0}s_{0} = rs, also (r, 0, 0, …)(s, 0, 0, …) = (rs, 0, 0, …).

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Bemerkung: Man schreibt für ein r ∈ R r := (r, 0, 0, …) und, falls R ein Einselement hat, x := (0, 1, 0, …). Es gilt in diesem Fall:

• x^{n} = (0, 0, …, 0, 1, 0, …) (”1“ steht an der n-ten Stelle)

• r · (a_{n})_{n=0}^{∞} = (ra_{n})_{n=0}^{∞} und (a_{n})_{n=0}^{∞} · r = (a_{n}r)_{n=0}^{∞}

• rx^{n} = x^{n}r = (0, 0, …, 0, r, 0, …) (”r“ steht an der n-ten Stelle)

Jedes Element im Polynomring hat dann eine eindeutige Darstellung der Form (a_{n})_{n=0}^{∞} = ∑_{n=0}^{N} r_{n}x^{n}. Sei nämlich N so, dass a_{n} = 0 für n > N ist, dann gilt

(a_{n})_{n=0}^{∞} = (a_{0}, …, a_{n}, 0, 0, …) = a_{0}1 + a_{2}x + … + a_{n}x^{n}

Die r_{i} = a_{i} sind eindeutig bestimmt, bis auf Hinzufügen von beliebig vielen a_{i} = 0 für i > N.

In Hinkunft sei R ein kommutativer Ring mit Eins, und wir schreiben a_{0} + … + a_{n}x^{n} für (a_{0}, …, a_{n}, …) sowie R[x] für den Polynomring in einer Unbestimmten über R (bzw. R[y], wenn man (0, 1, 0, …) = y setzt).

Definition 26.3 (Grad eines Polynoms) Sei f = (a_{n})_{n=0}^{∞} = ∑ a_{n}x^{n} ∈ R[x].

• Wenn f = 0, d.h. ∀n a_{n} = 0, dann sei deg f := −∞.

• Wenn f ≠ 0, dann sei deg f := max{n ∈ ℕ | a_{n} ≠ 0}.

Wenn f ≠ 0 und m = max{n ∈ ℕ | a_{n} ≠ 0}, dann heißt a_{m} der Leitkoeffizient von f (das Nullpolynom hat keinen Leitkoeffizienten).

Bemerkung: Da wir r ∈ R mit (r, 0, 0, …) = r+0x+0x^{2}+… identifizieren, d.h. R ≃ {(r, 0, 0, …) | r ∈ R} ≤ R[x], gilt für f = (a_{n})_{n=0}^{∞} ∈ R[x]:

f = (a_{n})_{n=0}^{∞} ∈ R ⟺ ∀n > 0 a_{n} = 0
⟺ deg f = 0 ∨ deg f = −∞
⟺ deg f ≤ 0

Ein Polynom mit deg f = 0 ∨ deg f = −∞ heißt konstantes Polynom.

Satz 26.4 (Einsetzhomomorphismus) Seien R, S kommutative Ringe mit Eins und φ : R → S ein Ringhomomorphismus mit φ(1) = 1. Sei weiters s ∈ S. Dann existiert genau ein Ringhomomorphismus \overline{φ} : R[x] → S mit \overline{φ}|_{R} = φ und \overline{φ}(x) = s, nämlich \overline{φ}(a_{0}+a_{1}x+…+a_{n}x^{n}) = φ(a_{0})+φ(a_{1})s+…+φ(a_{n})s^{n}.

Beweis: Wenn ein solches \overline{φ} existiert, dann muss

\overline{φ}(a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n}) = \overline{φ}(a_{0}) + \overline{φ}(a_{1})\overline{φ}(x) + … + \overline{φ}(a_{n})\overline{φ}(x)^{n}
= φ(a_{0}) + φ(a_{1})s + … + φ(a_{n})s^{n}

gelten. Wenn \overline{φ} so definiert ist, ist \overline{φ}|_{R} = φ klar. Es bleibt zu zeigen, dass es sich um einen Ringhomomorphismus handelt: Sei dazu f = a_{0} + … + a_{n}x^{n} und g = b_{0} + … + b_{n}x^{n} und fg = ∑ c_{k}x^{k}. Dann gilt:

\overline{φ}(fg) = \overline{φ}(∑_{k≥0} c_{k}x^{k})
= ∑_{k≥0} φ(c_{k})s^{k}

= ∑_{k≥0}( ∑_{i+j=k} φ(a_{i})φ(b_{j}))s^{k}
= ∑_{k≥0} ∑_{i+j=k} φ(a_{i})s^{i}φ(b_{j})s^{j} (wegen der Kommutativität!)

= (∑_{i≥0} φ(a_{i})s^{i})(∑_{j≥0} φ(b_{j})s^{j})
= \overline{φ}(f)\overline{φ}(g)

Offensichtlich gilt auch

\overline{φ}(f + g) = ∑_{i≥0} φ(a_{i} + b_{i})s^{i}
= ∑_{i≥0}(φ(a_{i}) + φ(b_{i}))s^{i}
= ∑_{i≥0} φ(a_{i})s^{i} + ∑_{i≥0} φ(b_{i})s^{i}
= \overline{φ}(f) + \overline{φ}(g)

Also ist \overline{φ} tatsächlich Ringhomomorphismus.

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Bemerkung: Damit \overline{φ} Ringhomomorphismus ist, muss zumindest für das fixe s gelten, dass ∀r ∈ R φ(r)s = sφ(r) ist.

Korollar 26.5 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und c ∈ R. Dann ist φ_{c} : R[x] → R mit φ_{c}(a_{0}+a_{1}x+…+a_{n}x^{n}) = a_{0}+a_{1}c+…+a_{n}c^{n} ein Ringhomomorphismus, d.h. jedes Polynom f ∈ R[x] definiert durch Einsetzen eine Funktion f : R → R, c ↦ f(c).

Bemerkung: Dies ist gerade der Einsetzhomomorphismus für S = R, φ = id_{R}. Wenn wir f(c) := a_{0} + a_{1}c + … + a_{n}c^{n} definieren, dann heißt das für f, g ∈ R[x]: (f + g)(c) = f(c) + g(c) und (fg)(c) = f(c)g(c) (weil φ_{c} ein Ringhomomorphismus ist). Man kann also in ein Produkt oder eine Summe einsetzen, indem man in die einzelnen Faktoren/Summanden einsetzt und dann multipliziert/addiert.

Beispiel: Sei ℍ der Schiefkörper der rationalen Quaternionen, f(x) = x+i ∈ ℍ[x] und g(x) = x − i ∈ ℍ[x]. Dann gilt fg = (x + i)(x − i) = x^{2} + 1. Setzt man jedoch j ∈ ℍ ein, ergibt sich f(j)g(j) = (j +i)(j −i) = j^{2}−ji+ij −i^{2} = −1 + k + k + 1 = 2k, aber (fg)(j) = j^{2} + 1 = 0. D.h., j ist Nullstelle von fg, aber weder von f noch von g, obwohl ℍ keine Nullteiler hat. Dieses Beispiel zeigt, dass die Kommutativität eine wichtige Voraussetzung ist.

Proposition 26.6 Sei R ein Ring, f, g ∈ R[x]. Dann gilt:

1. deg(f + g) ≤ max(deg f, deg g)

2. deg(f) ≠ deg(g) ⇒ deg(f + g) = max(deg f, deg g)

3. deg(fg) ≤ deg(f) + deg(g)

4. Wenn f oder g einen Leitkoeffizienten hat, der kein Nullteiler ist, dann gilt sogar deg(fg) = deg(f) + deg(g).

Beweis: als Übung.

Bemerkung: Es gilt daher, wenn f ≠ 0 und der Leitkoeffizient von g kein Nullteiler ist, dass deg(fg) = deg(f) + deg(g) ≥ deg(g).

Korollar 26.7 Sei R ein Integritätsbereich und f, g ∈ R[x]. Dann gilt deg(fg) = deg(f) + deg(g).

Einheiten in R[x]

Proposition 27.1 Sei R ein Integritätsbereich und f ∈ R[x]. f ist genau dann Einheit in R[x], wenn f = r ∈ R ein konstantes Polynom ist, sodass r eine Einheit in R ist.

Beweis: Wenn in R gilt, dass rs = 1 ist, dann gilt dies auch in R[x], d.h. das Inverse von r in R ist auch Inverses in R[x]. Ist umgekehrt fg = 1 in R[x], dann muss zunächst f, g ≠ 0 gelten, da andernfalls fg = 0 wäre. Damit gilt deg(f) ≥ 0 und deg(g) ≥ 0, und daher wegen deg(f) + deg(g) = deg(fg) = deg(1) = 0 auch deg(f) = deg(g) = 0, d.h. f, g sind Konstante mit fg = 1, also Einheiten in R.

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Lemma 27.2 Sei I ⊴ R. Dann folgt I[x] ⊴ R[x] und R[x]/I[x] ≃ R/I[x], wobei φ : R[x]/I[x] → R/I[x] mit

φ(a_{0} + a_{1}x + … + a^{n}x^{n} + I[x]) = (a_{0} + I) + (a_{1} + I)x + … + (a_{n} + I)x^{n}

der Isomorphismus ist.

Beweis: als Übung.

Satz 27.3 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, f = a_{0} + … + a_{n}x^{n} ∈ R[x]. Dann ist f genau dann Einheit in R[x], wenn a_{0} Einheit in R ist und ∀i > 0 a_{i} ∈ Nil(R).

Beweis: (”⇐“) Ist a_{0} Einheit in R, dann auch in R[x]. Ist a_{i} nilpotent in R, dann auch a_{i}x^{i} in R[x]: a_{i}^{n} = 0 ⇒ (a_{i}x^{i})^{n} = a_{i}^{n}x^{in} = 0x^{in} = 0. Aus Lemma 25.6 folgt, dass f = a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} eine Einheit sein muss. (”⇒“) Ist f Einheit in R[x], dann ist f +I[x] in jedem Faktorring R[x]/I[x] = R/I[x] auch Einheit.

KAPITEL 27. EINHEITEN IN R[X] 112

Insbesondere ist für alle Primideale P \overline{f} = \overline{a_{0}} + \overline{a_{1}}x + … + \overline{a_{n}}x^{n} (mit \overline{a_{i}} = a_{i} + P) eine Einheit in R/P [x]. Weil P Primideal ist, ist R/P ein Integritätsbereich, und daher sind nur konstante Polynome in R/P Einheiten, also \overline{a_{i}} = \overline{0} für i > 0. Damit folgt für alle Koeffizienten a_{i} von f mit i > 0, dass a_{i} ∈ P für alle Primideale P, daher ∀i > 0 a_{i} ∈ Nil(R), weil Nil(R) der Durchschnitt aller Primideale von R ist. Schließlich folgt aus fg = 1 (wobei f = ∑ a_{i}x^{i} und g = ∑ b_{i}x^{i}) insbesondere ∑_{k+l=0} a_{k}b_{l} = a_{0}b_{0} = 1, also ist a_{0} Einheit in R.

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Polynomring in mehreren Unbestimmten

Bemerkung: Die Multiplikation von Monomen entspricht der Addition der Exponenten: x_{1}^{k_{1}} · . . . · x_{n}^{k_{n}} · x_{1}^{l_{1}} · . . . · x_{n}^{l_{n}} = x_{1}^{k_{1}+l_{1}} · . . . · x_{n}^{k_{n}+l_{n}} (ℕ_{0}, +) ist ein Monoid, ℕ_{0}^{n} = {(k_{1}, …, k_{n}) | k_{i} ∈ ℕ_{0}} ist ein Monoid bezüglich der Addition (k_{1}, …, k_{n}) + (l_{1}, …, l_{n}); wir schreiben im Folgenden statt (k_{1}, …, k_{n}) x_{1}^{k_{1}} · . . . · x_{n}^{k_{n}} und erhalten so ein zu (ℕ_{0}^{n}, +) isomorphes Monoid mit der Monoidoperation x_{1}^{k_{1}} · . . . · x_{n}^{k_{n}} · x_{1}^{l_{1}} · . . . · x_{n}^{l_{n}} = x_{1}^{k_{1}+l_{1}} · . . . · x_{n}^{k_{n}+l_{n}}. (ℕ_{0}^{n}, +) hat die wichtige Eigenschaft, dass für alle (k_{1}, …, k_{n}) ∈ ℕ_{0}^{n} höchstens endlich viele Paare (l_{1}, …, l_{n}), (m_{1}, …, m_{n}) existieren, sodass (l_{1}, …, l_{n}) + (m_{1}, …, m_{n}) = (k_{1}, …, k_{n}) ist.

Proposition 28.1 (Monoidring) Sei R ein Ring und (H, ∗) ein Monoid mit der Eigenschaft, dass für alle h ∈ H nur endlich viele k, l ∈ H existieren, sodass k ∗ l = h ist. Dann ist R(H) mit der Addition (R(H), +) = ∑_{h∈H}(R, +) und der Multiplikation (r_{h})_{h∈H} · (s_{h})_{h∈H} = (t_{h})_{h∈H} mit t_{h} = ∑_{k,l∈H,k∗l=h} r_{k}s_{l} ein Ring. Wenn R ein Einselement hat, dann auch R(H). Wenn R und H kommutativ sind, dann auch R(H). R ist in R(H) eingebettet via r ↦ (r_{h})_{h∈H} mit

r_{h} = \begin{cases}r & h = e (neutrales Element von H) \\ 0 & sonst \end{cases}

Beweis: als Übung.

Notation: man schreibt ∑_{h∈H} r_{h}h für (r_{h})_{h∈H}. Wenn h_{1}, …, h_{n} die (endlich vielen) Elemente von H sind, für die r_{h} ≠ 0 ist, dann schreibt man r_{1}h_{1} + … + r_{n}h_{n}.

KAPITEL 28. POLYNOMRING IN MEHREREN UNBESTIMMTEN 114

Bemerkung: Die Multiplikation von solchen formalen R-Linearkombinationen von Elementen aus H ergibt sich durch Ausdistribuieren, Multiplikation von Elementen in H und Zusammenfassen der Koeffizienten:

(r_{1}h_{1}+…+r_{n}h_{n})(s_{1}g_{1}+…+s_{m}g_{m}) = r_{1}s_{1}(h_{1}∗g_{1})+r_{2}s_{1}(h_{2}∗g_{1})+…+r_{n}s_{m}(h_{n}∗g_{m})

Bemerkung: R[x] ist der Monoidring R(ℕ_{0}), wobei k ∈ ℕ_{0} als x^{k} geschrieben wird.

Definition 28.2 Sei R ein Ring. Der Polynomring in mehreren Unbestimmten R[x_{1}, …, x_{n}] ist der Monoidring R(ℕ_{0}^{n}), wobei das Element (k_{1}, …, k_{n}) als x_{1}^{k_{1}} … x_{n}^{k_{n}} geschrieben wird.

Satz 28.3 Seien R,S Ringe mit Eins, φ : R → S ein Ringhomomorphismus mit φ(1) = 1 und s_{1}, …, s_{n} ∈ S, sodass s_{i}s_{j} = s_{j}s_{i} ∀i, j und ∀i ∀r ∈ R s_{i}φ(r) = φ(r)s_{i}. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus \overline{φ} : R[x_{1}, …, x_{n}] → S mit \overline{φ}|_{R} = φ und \overline{φ}(x_{i}) = s_{i} (i = 1, …, n), nämlich

\overline{φ}( ∑_{(k_{1},...,k_{n})∈ℕ_{0}^{n}} r_{(k_{1},...,k_{n})}x_{1}^{k_{1}} … x_{n}^{k_{n}}) = ∑_{(k_{1},...,k_{n})∈ℕ_{0}^{n}} φ(r_{(k_{1},...,k_{n})})s_{1}^{k_{1}} … s_{n}^{k_{n}}

Beweis: \overline{φ} muss diese Form haben, wenn es ein Ringhomomorphismus sein soll. Es bleibt zu zeigen, dass es sich tatsächlich um einen Homomorphismus handelt: Bezüglich + gilt die Bedingung offensichtlich, es bleibt die Bedingung für ·. Sei dazu im Folgenden \overline{k} = (k_{1}, …, k_{n}):

\overline{φ}(fg) = \overline{φ}((∑_{\overline{k}} a\overline{k}x_{1}^{k_{1}} … x_{n}^{k_{n}})(∑_{\overline{l}} b\overline{l}x_{1}^{l_{1}} … x_{n}^{l_{n}}))

= \overline{φ}(∑_{\overline{k}} ∑_{\overline{l}+\overline{m}=\overline{k}} a\overline{l}b\overline{m}x_{1}^{k_{1}} … x_{n}^{k_{n}})

= ∑_{\overline{k}} φ( ∑_{\overline{l}+\overline{m}=\overline{k}} a\overline{l}b\overline{m})s_{1}^{k_{1}} … s_{n}^{k_{n}}
= ∑_{\overline{k}} ∑_{\overline{l}+\overline{m}=\overline{k}} φ(a\overline{l})φ(b\overline{m})s_{1}^{k_{1}} … s_{n}^{k_{n}}
= ∑_{\overline{k}} ∑_{\overline{l}+\overline{m}=\overline{k}} φ(a\overline{l})s_{1}^{l_{1}} … s_{n}^{l_{n}}φ(b\overline{m})s_{1}^{m_{1}} … s_{n}^{m_{n}}

= (∑_{\overline{k}} φ(a\overline{k})s_{1}^{k_{1}} … s_{n}^{k_{n}})(∑_{\overline{l}} φ(b\overline{l})s_{1}^{l_{1}} … s_{n}^{l_{n}})

= \overline{φ}(∑_{\overline{k}} a\overline{k}x_{1}^{k_{1}} … x_{n}^{k_{n}})\overline{φ}(∑_{\overline{l}} b\overline{l}x_{1}^{l_{1}} … x_{n}^{l_{n}})
= \overline{φ}(f)\overline{φ}(g)
□

Satz 28.4 Sei R ein Ring mit Eins, dann gilt

1. (R[x_{1}, …, x_{k}])[x_{k+1}, …, x_{n}] ≃ R[x_{1}, …, x_{n}]

2. Für jede Permutation π ∈ S_{n} ist R[x_{1}, …, x_{n}] ≃ R[x_{π(1)}, …, x_{π(n)}]

Beweis:

1. Sei φ : R[x_{1}, …, x_{k}] → R[x_{1}, …, x_{n}] die Einbettung von R[x_{1}, …, x_{k}] in R[x_{1}, …, x_{n}]: ∑ a_{(l_{1},...,l_{k})}x_{1}^{l_{1}} · . . . · x_{k}^{l_{k}} ↦ ∑ a_{(l_{1},...,l_{n})}x_{1}^{l_{1}} · . . . · x_{k}^{l_{k}}, wobei für alle (l_{1}, …, l_{n}) mit einem l_{i} ≠ 0 für ein i > k a_{(l_{1},...,l_{n})} = 0 sei. Es gibt einen Einsetzhomomorphismus \overline{φ} : (R[x_{1}, …, x_{k}])[x_{k+1}, …, x_{n}] → R[x_{1}, …, x_{n}] mit \overline{φ}|_{R[x_{1},...,x_{k}]} = φ und \overline{φ}(x_{i}) = x_{i} für i = k + 1, …, n. Dieser ist gegeben durch

\overline{φ}( ∑_{(l_{k+1},...,l_{n})}( ∑_{(m_{1},...,m_{k})} a_{(m_{1},...,m_{k})}^{[l_{k+1},...,l_{n}]}x_{1}^{m_{1}} … x_{k}^{m_{k}})x_{k+1}^{l_{k+1}} … x_{n}^{l_{n}}) = ∑_{(l_{1},...,l_{n})} a_{(l_{1},...,l_{n})}x_{1}^{l_{1}} … x_{n}^{l_{n}}

wobei (l_{1}, …, l_{n}) = (m_{1}, …, m_{k}, l_{k+1}, …, l_{n}) sei. \overline{φ} ist offenbar surjektiv, die Injektivität folgt leicht: wenn

∑_{(l_{1},...,l_{n})} a_{(l_{1},...,l_{n})}x_{1}^{l_{1}} … x_{n}^{l_{n}} = 0

ist, dann muss für alle n-tupel (l_{1}, …, l_{n}) a_{(l_{1},...,l_{n})} = 0 sein, damit ist jedoch auch

∑_{(l_{k+1},...,l_{n})}( ∑_{(m_{1},...,m_{k})} a_{(m_{1},...,m_{k})}^{[l_{k+1},...,l_{n}]}x_{1}^{m_{1}} … x_{k}^{m_{k}})x_{k+1}^{l_{k+1}} … x_{n}^{l_{n}} = 0

also Ker \overline{φ} = \{0\}.

2. Analog definiert der Einsetzhomomorphismus zu ψ = id_{R} : R → R mit \overline{ψ}(x_{i}) = x_{π(i)} einen Isomorphismus \overline{ψ} : R[x_{1}, …, x_{n}] → R[x_{π(1)}, …, x_{π(n)}].

□

Korollar 28.5

• R[x_{1}, …, x_{n}] ≃ R[x_{1}][x_{2}] … [x_{n}]

• R[x_{1}, …, x_{n}] ≃ R[x_{k+1}, …, x_{n}][x_{1}, …, x_{n}]

Teilbarkeit in kommutativen Ringen mit Eins

Definition 29.1 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, R ≠ {0}, a, b ∈ R. a teilt b (geschrieben a | b), wenn es ein c ∈ R mit ac = b gibt. a heißt dann ein Teiler von b, b ein Vielfaches von a.

Bemerkung: Es gelten folgende Beziehungen:

1. ∀a ∈ R: a | 0, da a · 0 = 0.

2. ∀a ∈ R: 1 | a, da 1 · a = a. Auch für alle b ∈ E(R) gilt ∀a ∈ R: b | a, da b · (b^{−1}a) = a.

3. a ist Einheit ⟺ a | 1

4. a | b ∧ b | c ⟹ a | c (ad = b, bd′ = c ⇒ add′ = c)

Proposition 29.2 Sei R kommutativer Ring mit Eins, R ≠ {0}, a, b ∈ R. Dann gilt

1. a | b ⟺ (b) ⊆ (a)

2. Wenn b Einheit ist und a | b, dann ist a Einheit (jeder Teiler einer Einheit ist eine Einheit).

3. Wenn a Nullteiler ist und a | b, dann ist b Nullteiler (jedes Vielfache eines Nullteilers ist ein Nullteiler).

Beweis:

1. In einem kommutativen Ring mit Eins gilt (a) = Ra = {ra | r ∈ R} = {b ∈ R | a | b}, also a | b ⇒ b ∈ (a) und damit (b) ⊆ (a). Wenn umgekehrt (b) ⊆ (a) ist, dann folgt b ∈ (a) = Ra und damit a | b.

KAPITEL 29. TEILBARKEIT IN KOMMUTATIVEN RINGEN … 117

2. bb′ = 1, b = ad ⇒ adb′ = 1, also ist a Einheit.

3. aa′ = 0 für ein a′ ≠ 0, b = ad ⇒ ba′ = ada′ = aa′d = 0, also ist b

Nullteiler.

□

Definition 29.3 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und a, b ∈ R. Wir definieren

• a ∼ b :⇔ (a | b ∧ b | a) (”a und b teilen einander gegenseitig“)

• a ≈ b :⇔ ∃ Einheit u: b = ua (”a und b sind assoziiert“) Proposition 29.4 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, a, b ∈ R.

1. ∼ und ≈ sind Äquivalenzrelationen.

2. a ≈ b ⟹ a ∼ b

3. Ist R Integritätsbereich, gilt sogar a ≈ b ⟺ a ∼ b.

4. a Einheit, a ∼ b ⟹ b Einheit; a Nullteiler, a ∼ b ⟹ b Nullteiler. Beweis:

1. • Reflexivität: a | a ist erfüllt, und 1 ist eine Einheit, für die a = 1a

gilt.

• Symmetrie: für ∼ offensichtlich; gilt b = ua für eine Einheit u, dann ist a = u^{−1}b für die Einheit u^{−1}.

• Transitivität: für ∼ klar, weil | transitiv ist. Gilt b = ua, c = vb für Einheiten u, v, dann folgt c = vua, und vu ist Einheit.

2. b = ua ⇒ a | b, a = u^{−1}b ⇒ b | a; insgesamt also a ∼ b.

3. Es gelte a | b und b | a. Falls b = 0 ist, folgt a = bc = 0, also a = b und damit a ≈ b. Sei andernfalls ad = b und bc = a. Dann gilt b = ad = bcd ⇒ b(1 − cd) = 0, und weil R als Integritätsbereich keine Nullteiler enthält, muss cd = 1 sein. Also sind c, d Einheiten und damit a ≈ b.

4. folgt aus den Punkten 2. und 3. der vorigen Proposition.

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Korollar 29.5 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und a, b ∈ R. Dann gilt (a) = (b) ⇔ a ∼ b. Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann gilt auch (a) = (b) ⇔ a ≈ b.

Beweis: Diese Tatsache folgt aus (a) ⊆ (b) ⇔ b | a.

Definition 29.6 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. p ∈ R heißt prim, wenn p ≠ 0 und p keine Einheit ist und p | ab ⇒ p | a ∨ p | b erfüllt. c ∈ R heißt irreduzibel, wenn c ≠ 0 und c keine Einheit ist und c = ab ⇒ (a Einheit ∨ b Einheit) gilt.

Bemerkung: Ist p prim und p | a_{1} … a_{n}, dann gibt es ein i, sodass p | a_{i} (folgt leicht mit Induktion nach n).

Satz 29.7 Sei R ein Integritätsbereich, p ∈ R. Dann gilt:

p prim ⟹ p irreduzibel

Beweis: Es sei p prim und p = ab. Dann gilt insbesondere p | ab und damit p | a oder p | b, o.B.d.A. gelte ersteres. Dann ist pd = a für ein d ∈ R, also p = ab = pdb ⇒ p(1 − db) = 0. Weil p kein Nullteiler ist, muss 1 − db = 0, also db = 1 sein. Damit ist jedoch b eine Einheit. Folglich ist p irreduzibel.

□

Proposition 29.8 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, p, c ∈ R. Dann gilt:

• p prim ⟺ (p) ist Primideal ≠ {0}.

• c irreduzibel ⟺ (c) ≠ {0}, (c) ist maximal unter den Hauptidealen ≠ R (d.h. ∀d ∈ R : (c) ⫋ (d) ⇒ (d) = R).

Beweis: als Übung.

Lemma 29.9 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, p, p′, c, c′ ∈ R.

• Wenn p prim ist und p ∼ p′, dann ist p′ prim.

• Wenn c irreduzibel ist und c ∼ c′, dann ist c′ irreduzibel.

Beweis: Sei p prim und p ∼ p′. Weil p weder Einheit noch Nullteiler ist, trifft dies auch auf p′ zu. Wenn p′ | ab, dann muss wegen p | p′ auch p | ab gelten, somit p | a oder p | b. Wegen p′ | p folgt daraus aber weiters, dass p′ | a oder p′ | b gilt. Also ist p′ prim. Sei c irreduzibel und c ∼ c′. Wiederum kann c′ weder Einheit noch Nullteiler sein. Angenommen, es sei c′ = ab, wobei weder a noch b Einheit ist. Es ist c′ = cd und c = cd′, daher c = cd′d ⇒ c(1 − d′d) = 0. Weil c kein Nullteiler ist, muss somit d′d = 1 sein, also sind d, d′ Einheiten. Aus cd = c′ = ab folgt dann c = abd′. Weil a keine Einheit und c irreduzibel ist, muss daher bd′ Einheit sein. Weil d Einheit ist, muss damit auch bd′d = b Einheit sein, was einen Widerspruch darstellt. Also ist c′ irreduzibel.

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ZPE-Ringe

Definition 30.1 Ein Integritätsbereich R heißt ZPE-Ring, wenn

• Für alle a ∈ R, a ≠ 0, a keine Einheit, gibt es n ∈ ℕ und irreduzible c_{1}, …, c_{n} ∈ R, sodass a = c_{1} · . . . · c_{n}. D.h., jedes a ≠ 0, das keine Einheit ist, ist Produkt von Irreduziblen.

• Wenn c_{1}, …, c_{n} und d_{1}, …, d_{m} irreduzibel sind und c_{1} · . . . · c_{n} = d_{1} · . . . · d_{m} gilt, dann ist n = m und es gibt eine Permutation π ∈ S_{n}, sodass c_{i} ≈ d_{π(i)} (i = 1, …, n). D.h., die Darstellung als Produkt von Irreduziblen ist eindeutig bis auf die Reihenfolge und Assoziiertheit.

Bemerkung: ZPE steht für ”Zerlegung in Primfaktoren eindeutig“.

Beispiel: ℤ ist ein ZPE-Ring, K[x_{1}, …, x_{n}] (für einen Körper K) ist ein ZPE-Ring.

Proposition 30.2 Sei R ein ZPE-Ring, p ∈ R. Dann gilt: p prim ⟺ p irreduzibel.

Beweis: (”⇒“) ist bereits bekannt, wir zeigen nun die Umkehrung. Sei dazu p irreduzibel (also kein Nullteiler und keine Einheit) und a, b ∈ R mit p | ab. Dann ist pd = ab für ein d ∈ R. Wäre a eine Einheit, würde pda^{−1} = b, also p | b gelten, ebenso p | a, wenn b Einheit wäre. Sei daher jetzt weder a noch b Einheit. Wäre nun d eine Einheit, dann müsste p = (d^{−1}a)b gelten, wobei weder d^{−1}a noch b Einheit ist, im Widerspruch zur Irreduzibilität. Damit haben a,b,d Darstellungen als Produkte irreduzibler Faktoren: a = a_{1} … a_{k}, b = b_{1} … b_{l}, d = d_{1} … d_{n}. Es folgt dann pd_{1} … d_{n} = a_{1} … a_{k}b_{1} … b_{l}, also n + 1 = k + l, und nach Umordnung sind die Faktoren der linken und rechten Seite paarweise assoziiert. Insbesondere existiert ein a_{i} mit p ≈ a_{i} oder ein b_{j} mit p ≈ b_{j}, o.B.d.A. sei ersteres der Fall. Dann gilt insbesondere p | a_{i} und damit p | a. Also folgt in jedem Fall p | ab ⇒ p | a ∨ p | b, d.h., p ist prim.

□

Satz 30.3 Sei R ein Integritätsbereich. Dann gilt: R ist genau dann ZPE-Ring, wenn

∀a ∈ R, a ≠ 0, a keine Einheit, ∃n ∈ ℕ, p_{1}, …, p_{n} prim, sodass a = p_{1} … p_{n}

Beweis: Ist R ein ZPE-Ring, dann folgt die Behauptung aus der Definition und der vorangegangenen Proposition. Es gelte umgekehrt die Bedingung der rechten Seite. Weil prime Elemente auch irreduzibel sind, ist die Existenz einer Darstellung als Produkt irreduzibler Elemente gegeben, zu zeigen bleibt die Eindeutigkeit. Seien dazu c_{1}, …, c_{n}, d_{1}, …, d_{m} irreduzibel, sodass c_{1} … c_{n} = d_{1} … d_{m}. Wir wissen, dass es prime Elemente p_{1}, …, p_{k} gibt, sodass p_{1} … p_{k} = c_{1} … c_{n} = d_{1} … d_{m}. Wir zeigen nun, dass k = n ist und eine Permutation σ ∈ S_{n} existiert, sodass p_{i} ≈ c_{σ(i)}, und zwar durch Induktion nach max(k, n):

• Ist max(k, n) = 1, dann gilt p_{1} = c_{1}, also ist die Behauptung erfüllt.

• p_{1} | c_{1} … c_{n} und p_{1} ist prim, also existiert ein i_{1}, sodass p_{1} | c_{i_{1}}. Daher ist c_{i_{1}} = p_{1}u. c_{i_{1}} ist dabei irreduzibel und p_{1} keine Einheit, also muss u Einheit sein und damit c_{i_{1}} ≈ p_{i}. Es folgt p_{1} … p_{k} = p_{1}uc_{i_{1}} … c_{i_{1}−1}c_{i_{1}+1} … c_{n}. Man kann kürzen und erhält p_{2} … p_{k} = (uc_{i_{1}}) … c_{i_{1}−1}c_{i_{1}+1} … c_{n}. Links stehen k − 1 prime Faktoren, rechts n − 1 irreduzible Faktoren, also kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden: Es folgt k − 1 = n − 1 ⇒ k = n und es gibt eine bijektive Funktion σ : {2, …, k} → {1, …, n} \ {i_{1}} mit p_{i} ≈ c_{σ(i)}. Erweitert man diese durch σ(1) = i_{1}, dann ist σ ∈ S_{n}, und es gilt weiterhin p_{i} ≈ c_{σ(i)}.

Analog ist auch m = k = n, und es gibt ein ρ ∈ S_{m}, sodass p_{i} ≈ d_{ρ(i)}, daher c_{i} ≈ p_{σ^{−1}(i)} ≈ d_{ρσ^{−1}(i)} und ρσ^{−1} ∈ S_{n}.

□

Proposition 30.4 (Primfaktorzerlegung) Sei R ein ZPE-Ring, ℙ ein Repräsentantensystem der Assoziiertenklassen von primen Elementen von R (d.h. ∀q ∈ R, q prim, ∃!p ∈ ℙ mit p ≈ q). Dann hat jedes a ≠ 0 eine eindeutige Darstellung in der Form

a = u_{a} · ∏_{p∈ℙ}p^{ν_{p}(a)}

wobei u_{a} Einheit ist, ν_{p}(a) ∈ ℕ_{0} und nur endlich viele ν_{p}(a) ≠ 0 sind. Dabei ist ν_{p}(a) nur von der Assoziiertenklasse von p (und nicht von der Wahl des Repräsentantensystems ℙ) abhängig. D.h., wenn ℙ′ ein anderes Repräsentationsystem ist und a = u′_{a} · ∏_{p′∈ℙ′} p′^{ν_{p′}(a)}, dann gilt p ≈ p′ ⇒ ν_{p}(a) = ν_{p′}(a).

Beweis: als Übung.

Bemerkung: Es gelte die Konvention ∏_{p∈ℙ} p^{0} = 1, d.h. unendliche Produkte von 1 sind 1.

Bemerkung: Es gilt a | b ⇔ ∀p ∈ ℙ ν_{p}(a) ≤ ν_{p}(b) und a ≈ b ⇔ ∀p ∈ ℙ ν_{p}(a) = ν_{p}(b).

Proposition 30.5 Sei R ein ZPE-Ring, a ∈ R, a ≠ 0 keine Einheit, dann gibt es eindeutig bestimmte Hauptideale (p_{1}), …, (p_{n}) mit (a) = (p_{1}) … (p_{n}).

Beweis: als Übung.

Definition 30.6 Sei R ein Ring, I eine Menge von Idealen in R. R erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung für Ideale aus I, wenn für alle Folgen I_{n}, n ∈ ℕ von Idealen I_{n} ∈ I mit I_{1} ⊆ I_{2} ⊆ … ⊆ I_{n} … ein N ∈ ℕ existiert, sodass I_{n} = I_{N} ∀n ≥ N.

Satz 30.7 Jeder ZPE-Ring erfüllt die aufsteigende Kettenbedigung für Hauptideale.

Beweis: Wir wissen a | b ⇔ (b) ⊆ (a) und a ≈ b ⇔ (b) = (a) bzw. (a | b ∧ a ≉ b) ⇔ (b) ⫋ (a). Eine aufsteigende Kette von Hauptidealen (a_{1}) ⊆ (a_{2}) ⊆ … entspricht daher einer absteigenden Teilerkette a_{1}, a_{2}, … (d.h. … | a_{n} | a_{n−1} | … | a_{2} | a_{1}). Jedes a_{i} teilt a_{1}, aber a_{1} hat nur endlich viele nichtassoziierte Teiler, also gibt es nur endlich viele verschiedene Hauptideale unter den (a_{i}).

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Satz 30.8 Ein Integritätsbereich R ist genau dann ZPE-Ring, wenn R die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt und jedes irreduzible Element prim ist.

Beweis: Es wurde bereits gezeigt, dass jeder ZPE-Ring die beiden Bedingungen erfüllt. Sei nun R ein beliebiger Integritätsbereich, der beide Eigenschaften erfüllt. Sei

S = {a ∈ R | a ≠ 0, a keine Einheit, ∄c_{1}, …, c_{n} irreduzibel mit a = c_{1} … c_{n}} Es ist zu zeigen, dass S = ∅. Angenommen, a ∈ S. Wenn a = bc, dann ist b ∈ S oder c ∈ S (a ≠ 0 ⇒ b, c ≠ 0; wären b, c Einheiten oder Produkte von Irreduziblen, dann auch a, also wäre a ∉ S). Wegen a ∈ S ist a insbesondere nicht irreduzibel, also existieren b, c (beide keine Einheiten), sodass a = bc und a ≉ b, a ≉ c. Damit können wir induktiv eine Folge a = a_{0}, a_{1}, … definieren, sodass a_{i} ∈ S, a_{n+1} | a_{n}, a_{n+1} ≉ a_{n}. Es ergibt sich eine aufsteigende Hauptidealkette (a_{0}) ⫋ (a_{1}) ⫋ …, im Widerspruch zur ersten Bedingung. Also gibt es für jedes a ≠ 0, das keine Einheit ist, eine Darstellung der Form a = c_{1} … c_{n} mit irreduziblen c_{i}. Wegen der zweiten Bedingung sind die c_{i} auch prim, also ist nach Satz 30.3 R ein ZPE-Ring.

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Definition 30.9 Sei R ein Integritätsbereich. R heißt Hauptidealbereich, wenn ∀I ⊴ R ∃r ∈ R mit I = (r) (Ein beliebiger Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring).

Bemerkung: In einem kommutativen Ring mit Eins gilt für p, c ∈ R:

• p prim ⟺ (p) ist Primideal ≠ {0}.

• c irreduzibel ⟺ (c) ≠ {0}, (c) ist maximal unter den Hauptidealen ≠ R.

Daher gilt in einem Hauptidealbereich:

c irreduzibel ⟺ (c) ist maximales Ideal ≠ {0}

Beispiel: ℤ ist ein Hauptidealbereich, K[x] ist ein Hauptidealbereich für jeden Körper K (wird noch gezeigt).

Beispiel: ℤ[x], K[x, y] (oder allgemein K[x_{1}, …, x_{n}] für n > 1) für einen Körper K sind ZPE-Ringe, aber keine Hauptidealbereiche.

Satz 30.10 Jeder Hauptidealbereich R ist ein ZPE-Ring.

Beweis: Nach Voraussetzung ist R ein Integritätsbereich. Wir zeigen, dass R die aufsteigende Kettenbedigung für Hauptideale erfüllt und jedes irreduzible Element auch prim ist:

• Sei (a_{1}) ⊆ (a_{2}) ⊆ … eine Kette von Hauptidealen und I = ⋃_{n∈ℕ}(a_{n}). Die Vereinigung einer Kette von Idealen ist (wie bereits gezeigt) ein Ideal, daher ist I = (r) für ein r ∈ R. Weil r ∈ ⋃_{n∈ℕ}(a_{n}) ist, muss es ein n_{0} geben, sodass r ∈ (a_{n_{0}}). Dann gilt ∀n ≥ n_{0} r ∈ (a_{n}), also ⋃_{n∈ℕ}(a_{n}) = I = (r) ⊆ (a_{n}) für alle n ≥ n_{0} und damit (a_{n}) = I für alle n ≥ n_{0}, d.h. R erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale.

• Sei c irreduzibel. Dann ist c ≠ 0 und keine Einheit. Also (c) ≠ {0} und (c) ≠ R. Außerdem ist (c) ein maximales Ideal und daher ein Primideal. Damit muss c auch prim sein.

Es folgt, dass R ein ZPE-Ring ist.

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Definition 30.11 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, a_{1}, …, a_{n} ∈ R. d ∈ R heißt größter gemeinsamer Teiler von a_{1}, …, a_{n}, wenn gilt:

• d | a_{i} für alle i.

• Gilt für ein c ∈ R c | a_{i} für alle i, dann folgt c | d.

Bemerkung: Wenn d größter gemeinsamer Teiler von a_{1}, …, a_{n} ist und d ∼ d′, dann ist auch d′ größter gemeinsamer Teiler von a_{1}, …, a_{n}. Wenn umgekehrt d, d′ beide größte gemeinsame Teiler sind, dann gilt d ∼ d′. Der größte gemeinsame Teiler ist also bis auf ∼ (gegenseitiges Teilen) eindeutig bestimmt, man schreibt d ∼ ggT(a_{1}, …, a_{n}) oder auch ggT(a_{1}, …, a_{n}) = d, obwohl d nur ein möglicher ggT ist.

Bemerkung: d ist ggT von a_{1}, …, a_{n} genau dann, wenn d ein Erzeuger des kleinsten Hauptideals ist, das a_{1}, …, a_{n} enthält, d.h. (a_{1}, …, a_{n}) ⊆ (d) und (a_{1}, …, a_{n}) ⊆ (c) ⇒ (d) ⊆ (c). Der ggT muss aber nicht immer existieren!

Proposition 30.12 Sei R ein ZPE-Ring und a_{1}, …, a_{n} ∈ R. Dann existiert ein ggT(a_{1}, …, a_{n}). Wenn a_{i} = u_{i} · ∏_{p∈ℙ} p^{ν_{p}(a_{i})} die Primfaktorzerlegung von a_{i} ist, dann ist d = ∏_{p∈ℙ} p^{min_{i} ν_{p}(a_{i})} ein ggT von a_{1}, …, a_{n}. Er ist bis auf Assoziativität eindeutig.

Beweis: Sei d wie oben gegeben. Dann gilt d | a_{j} für alle j, da ∀p ∈ ℙ ν_{p}(d) = min_{i} ν_{p}(a_{i}) ≤ ν_{p}(a_{j}); wenn für ein c ∈ R c | a_{i} ∀i gilt, dann folgt ∀i ∀p ∈ ℙ ν_{p}(c) ≤ ν_{p}(a_{i}), also ∀p ∈ ℙ ν_{p}(c) ≤ min_{i} ν_{p}(a_{i}) ≤ ν_{p}(d), daher c | d. Der ggT ist, falls er existiert, bis auf ∼ eindeutig. In Integritätsbereichen, insbesondere also in ZPE-Ringen, ist dies gleichbedeutend dazu, dass der ggT eindeutig bis auf ≈ ist.

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Lemma 30.13 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, a_{1}, …, a_{n}, d ∈ R.

(d) = (a_{1}, …, a_{n}) gilt genau dann, wenn d ggT von a_{1}, …, a_{n} ist und r_{1}, …, r_{n} mit d = r_{1}a_{1} + … + r_{n}a_{n} existieren.

Beweis: In kommutativen Ringen mit Eins ist (a_{1}, …, a_{n}) = a_{1}R+…+a_{n}R = Ra_{1} +…+Ra_{n}. Ist dies ein Hauptideal (d), dann muss d ggT sein (weil dann (d) jedenfalls auch das kleinste Hauptideal ist, das a_{1}, …, a_{n} enthält), und d lässt sich als Linearkombination von a_{1}, …, a_{n} darstellen. Es sei umgekehrt d = ggT(a_{1}, …, a_{n}) und d = r_{1}a_{1} +…+r_{n}a_{n}. Dann ist d ∈ Ra_{1}+…+Ra_{n} = (a_{1}, …, a_{n}) und damit (d) ⊆ (a_{1}, …, a_{n}). Da d ggT ist, gilt insbesondere d | a_{i} für alle i, daher a_{i} ∈ (d) = Rd, damit {a_{1}, …, a_{n}} ⊆ (d) und schließlich (a_{1}, …, a_{n}) ⊆ (d), zusammen also (a_{1}, …, a_{n}) = (d).

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Beispiel: In den ZPE-Ringen ℤ[x] und K[x, y] ist der ggT im Allgemeinen nicht als Linearkombination darstellbar. So sind etwa 2, x ∈ ℤ[x] mit ggT(2, x) = 1, aber 1 ist nicht in der Form 2p + qx darstellbar. Ebenso sind x, y ∈ K[x, y] mit ggT(x, y) = 1, aber 1 ist nicht in der Form px + qy darstellbar.

Korollar 30.14 Sei R ein Hauptidealbereich, a_{1}, …, a_{n} ∈ R. Dann existiert ein ggT(a_{1}, …, a_{n}), nämlich jedes d mit (d) = (a_{1}, …, a_{n}). Jeder solche ggT lässt sich als R-Linearkombination von a_{1}, …, a_{n} darstellen.

Euklidische Ringe, Hauptidealringe

Definition 31.1 Sei R ein kommutativer Ring. R heißt Euklidischer Ring, wenn es eine ”Rangfunktion“ ρ : R \ {0} → ℕ_{0} gibt, sodass gilt: ∀a, b ∈ R mit b ≠ 0 ∃q, r ∈ R mit a = qb + r und r = 0 ∨ ρ(r) < ρ(b) (”Division mit Rest“). Ein Integritätsbereich, der zugleich Euklidischer Ring ist, heißt Euklidischer Bereich.

Bemerkung: Wenn u ≠ 0 ein Element eines Euklidischen Ringes derart ist, dass ρ(u) = min{ρ(r) | r ∈ R \ {0}}, dann ist u eine Einheit (wir werden sehen, dass jeder Euklidische Ring ein Einselement hat). Wenn die Rangfunktion die Eigenschaft ρ(ab) ≥ ρ(a) erfüllt, gilt auch die Umkehrung, d.h. für jede Einheit u gilt ρ(u) = min{ρ(r) | r ∈ R \ {0}}. Diese Bedingung wird oft in der Definition von Euklidischen Bereichen gefordert.

Beispiel: ℤ ist ein Euklidischer Bereich, ρ(n) = |n|; für a, b ∈ ℤ mit b ≠ 0 gibt es stets q, r ∈ ℤ mit a = qb + r und r = 0 ∨ |r| < |b|. Man sieht, dass q, r nicht eindeutig sein müssen, z.B. ist bei der Division von 10 durch 3 10 = 3 · 3 + 1 oder 10 = 4 · 3 − 2; nicht einmal, wenn man absolut kleinsten Rest fordert, ist die Eindeutigkeit gegeben. So ist etwa 9 = 1 · 6 + 3 = 2 · 6 − 3.

Beispiel: ℤ[i], ℤ[\sqrt{2}] und ℤ[\sqrt{−2}] sind Euklidische Ringe (ℤ[c] bezeichnet dabei den von ℤ ∪ {c} erzeugten Unterring von ℂ) bezüglich folgender Rangfunktionen:

• ρ(a + bi) = a^{2} + b^{2} für ℤ[i]

• ρ(a + b\sqrt{2}) = |a^{2} − 2b^{2}| für ℤ[\sqrt{2}]

• ρ(a + b\sqrt{−2}) = a^{2} + 2b^{2} für ℤ[\sqrt{−2}]

Satz 31.2 Jeder Euklidische Ring ist ein Hauptidealring mit Eins.

Beweis: Sei R ein Euklidischer Ring und I ⊴ R. Wenn I = {0}, dann ist I = (0). Sei also I ≠ {0}. Wähle b ∈ I so, dass ρ(b) = min{ρ(a) | a ∈ I, a ≠ 0} (dieses Minimum existiert, da es ein a ∈ I mit a ≠ 0 gibt und somit die Menge nichtleer ist). Sei jetzt a ∈ I beliebig. Wir führen eine Division mit Rest durch: a = qb + r, wobei r = 0 oder ρ(r) < ρ(b) ist. Da r = a − qb in I liegt, muss wegen der Minimalität von ρ(b) ersteres gelten, also r = 0 und damit a = qb. Es folgt I ⊆ Rb ⊆ I, also I = Rb = (b), d.h. jedes Ideal ist ein Hauptideal. Auch für I = R gibt es ein e ∈ R, sodass Re = R. Sei e′ derart, dass e′e = e ist. Dann folgt für ein r ∈ R: ∃r′ ∈ R mit r′e = r, und damit e′r = e′r′e = r′e′e = r′e = r. Also ist e′ Einselement in R.

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Bemerkung: Es gelten die Implikationen:

• Euklidischer Bereich ⇒ Hauptidealbereich

• Hauptidealbereich ⇒ ZPE-Ring

Bezüglich des ggT gilt:

1. In einem ZPE-Ring existiert ggT(a_{1}, …, a_{n}) immer.

2. In einem Hauptidealbereich existiert der ggT und lässt sich als Linearkombination anschreiben.

3. In einem Euklidischen Bereich haben wir einen effektiven Algorithmus, um d = ggT(a_{1}, …, a_{n}) und r_{1}, …, r_{n} mit d = r_{1}a_{1} + … + r_{n}a_{n} zu finden, nämlich den Euklidischen Algorithmus, der im Folgenden vorgestellt wird.

Euklidischer Algorithmus:

Seien R ein Euklidischer Ring, a, b ∈ R und b ≠ 0. Wir definieren induktiv Folgen q_{i}, r_{i} ∈ R für i ≥ 0:

• r_{0} := b, r_{−1} := a

• q_{0} und r_{1} seien derart, dass a = q_{0}b + r_{1} und r_{1} = 0 ∨ ρ(r_{1}) < ρ(b).

• Wenn q_{0}, …, q_{k} und r_{0}, …, r_{k+1} mit k ≠ 0 bereits definiert sind, dann wähle q_{k+1} und r_{k+2} derart, dass r_{k} = q_{k+1}r_{k+1} + r_{k+2} mit r_{k+2} = 0 ∨ ρ(r_{k+2}) < ρ(r_{k+1}).

Dieses Verfahren bricht ab, wenn r_{k+1} = 0 ist. Dies tritt nach spätestens ρ(b) Schritten auf, weil ρ(r_{k}) eine streng monoton fallende Folge in ℕ_{0} ist. Das letzte r_{k} mit r_{k} ≠ 0 (d.h. mit r_{k} ≠ 0, r_{k+1} = 0) ist dann ggT(a, b).

Beweis: Sei d = r_{n+1} und r_{n+2} = 0. Wir haben zu zeigen, dass einerseits d | a, d | b und andererseits c | a, c | b ⇒ c | d gilt:

• Wir zeigen d | r_{k} für k = n + 1, n, …, 0, −1 mit Induktion:

Für k = n+1 ist d = r_{n+1}, also auch d | r_{n+1}; für k = n+2 ist r_{n+2} = 0, also auch d | r_{n+2}. Gilt nun d | r_{k} für k > l, dann folgt aus d | r_{l+1}, d | r_{l+2} und r_{l} = q_{l+1}r_{l+1} + r_{l+2}, dass auch d | r_{l} gelten muss. Damit ist insbesondere gezeigt, dass d | r_{−1} = a und d | r_{0} = b.

• Angenommen, c | a, c | b. Wir zeigen mit Induktion, dass dann c | r_{k} für alle k ≥ −1 gilt: Für k = −1, 0 ist die Bedingung nach Voraussetzung erfüllt. Gilt nun c | r_{k} für k < l, dann folgt aus c | r_{l−1}, c | r_{l−2} und r_{l} = r_{l−2} − q_{l−1}r_{l−1}, dass auch c | r_{l} gelten muss. Damit ist insbesondere gezeigt, dass c | r_{n+1} = d.

Also muss d = ggT(a, b) sein.

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Man kann auch jene Koeffizienten α, β finden, für die αa + βb = d ist: Wir definieren dazu induktiv α_{l}, β_{l} für l = n, n − 1, …, 0 durch α_{n} = 1, β_{n} = −q_{n} sowie α_{l−1} = β_{l} und β_{l−1} = α_{l} − q_{l−1}β_{l}. Dann gilt d = α_{l}r_{l−1} + β_{l}r_{l}, also insbesondere d = α_{0}a + β_{0}b.

Beweis: Für l = n gilt d = r_{n+1} = 1 · r_{n−1} − q_{n}r_{n} = α_{n}r_{n−1} + β_{n}r_{n} nach Definition. Wenn nun die Behauptung für k > l gilt, dann folgt

α_{l}r_{l−1} + β_{l}r_{l} = β_{l+1}r_{l−1} + (α_{l+1} − q_{l}β_{l+1})r_{l}
= α_{l+1}r_{l} + β_{l+1}(r_{l−1} − q_{l}r_{l})
= α_{l+1}r_{l} + β_{l+1}r_{l+1}
= d
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Ring der Brüche, Lokalisierung, Quotientenkörper

Bemerkung: Man erhält den Körper der rationalen Zahlen aus dem Ring der ganzen Zahlen durch ℚ := {(a, b) | b ∈ ℤ \ {0}}/ ∼, wobei ∼ durch (a, b) ∼ (c, d) :⇔ ad = bc definiert ist. Die Elemente von ℚ sind Äquivalenzklassen von Paaren bezüglich ∼, und man schreibt \frac{a}{b} für die Klasse von (a, b). Die Addition ist durch \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} gegeben, die Multiplikation durch \frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}. Diese Konstruktion wird im Folgenden verallgemeinert.

Bemerkung: Die Definition einer multiplikativ abgeschlossenen Menge wurde bereits formuliert: Sei S ≠ ∅ eine Teilmenge eines Ringes R. S heißt multiplikativ abgeschlossen, wenn a, b ∈ S ⇒ ab ∈ S gilt.

Beispiel: Einige multiplikativ abgeschlossene Mengen:

1. Sei R ein kommutativer Ring, P ⊴ R ein Primideal und S = R \ P. Die Eigenschaft ab = P ⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P von P ist äquivalent zur Eigenschaft a ∈ S ∧ b ∈ S ⇒ ab ∈ S, und wegen P ≠ R ist S ≠ ∅.

2. Sei R ein kommutativer Ring. Dann ist S, definiert als Menge der Nicht-Nullteiler, multiplikativ abgeschlossen: wenn a, b keine Nullteiler sind und (ab)c = 0, dann würde a(bc) = 0, also bc = 0 und damit c = 0 folgen. Also kann ab dann auch kein Nullteiler sein. Im Spezialfall, dass R ein Integritätsbereich ist, ist S = R \ {0} multiplikativ abgeschlossen.

Lemma 32.1 Sei R ein kommutativer Ring, S ⊆ R multiplikativ abgeschlossen.

KAPITEL 32. RING DER BRÜCHE, LOKALISIERUNG, … 130

1. Die auf R × S durch (r, s) ∼ (r′, s′) :⇔ ∃t ∈ S mit t(rs′ − r′s) = 0 definierte Relation ist Äquivalenzrelation. Wenn S keine Nullteiler enthält, dann hat die Relation die einfachere Form (r, s) ∼ (r′, s′) ⇔ rs′ − r′s = 0. Wir bezeichnen die Äquivalenzklasse von (r, s) bezüglich ∼ mit \frac{r}{s} und die Menge der Äquivalenzklassen (R × S)/ ∼= \{\frac{r}{s} | r ∈ R, s ∈ S\} mit S^{−1}R.

2. Wenn 0 ∈ S, dann ist |S^{−1}R| = 1.

3. Für beliebige s, t ∈ S, r ∈ R gilt: \frac{r}{s} = \frac{rt}{st}, \frac{s}{s} = \frac{t}{t}, \frac{0}{s} = \frac{0}{t}.

Beweis: als Übung.

Bemerkung: Im Folgenden sei immer 0 ∉ S.

Satz 32.2 (Ring der Brüche) Sei R ein kommutativer Ring, S ⊆ R multiplikativ abgeschlossen. S^{−1}R sei wie oben definiert. Dann bildet S^{−1}R bezüglich der Addition \frac{r}{s} + \frac{r′}{s′} = \frac{rs′+r′s}{ss′} und der Multiplikation \frac{r}{s} · \frac{r′}{s′} = \frac{rr′}{ss′} einen kommutativen Ring mit Eins, wobei 0_{S^{−1}R} = \frac{0}{s} und 1_{S^{−1}R} = \frac{s}{s} (s ∈ S beliebig). Außerdem gilt:

1. Wenn R ≠ {0} ein kommutativer nullteilerfreier Ring und 0 ∉ S ist, dann ist S^{−1}R ein Integritätsbereich.

2. Wenn s, t ∈ S, dann ist \frac{t}{s} eine Einheit in S^{−1}R mit dem Inversen \frac{s}{t}.

3. Wenn R ≠ {0} ein kommutativer nullteilerfreier Ring und S = R \ {0} ist, dann ist S^{−1}R ein Körper (der Quotientenkörper).

Beweis:

• + ist wohldefiniert: sei \frac{r}{s} = \frac{ρ}{σ} und \frac{r′}{s′} = \frac{ρ′}{σ′}. Zu zeigen ist dann, dass \frac{r}{s} + \frac{r′}{s′} = \frac{ρ}{σ} + \frac{ρ′}{σ′} gilt: Sei dazu t ∈ S mit t(rσ − ρs) = 0 und t′ ∈ S mit t′(r′σ′ − ρ′s′) = 0. Dann gilt:

tt′((rs′ + r′s)σσ′ − (ρσ′ + ρ′σ)ss′) = tt′(rs′σσ′ − r′sσσ′ − ρσ′ss′ + ρ′σss′)
= t(rσ − ρs)t′s′σ′ − t′(r′σ′ − ρ′s′)tsσ
= 0t′s′σ′ − 0tsσ = 0

Also ist \frac{rs′+r′s}{ss′} = \frac{ρσ′+ρ′σ}{σσ′}.

• Analog folgt, dass · wohldefiniert ist.

• Assoziativität von +:

(\frac{r}{s} + \frac{r′}{s′} ) + \frac{r′′}{s′′} = \frac{(rs′ + r′s)s′′ + r′′ss′}{ss′s′′} = \frac{rs′s′′ + r′ss′′ + r′′ss′}{ss′s′′}

\frac{r}{s} + (\frac{r′}{s′} + \frac{r′′}{s′′} ) = \frac{rs′s′′ + (r′s′′ + r′′s′)s}{ss′s′′} = \frac{rs′s′′ + r′ss′′ + r′′ss′}{ss′s′′}

Also sind die beiden Ausdrücke gleich.

• Neutrales Element \frac{0}{s} (nach dem vorigen Lemma ist s beliebig): \frac{r}{s} + \frac{0}{s} = \frac{rs+0s}{s^{2}} = \frac{rs}{s^{2}} = \frac{r}{s} (Kürzen ist nach dem vorigen Lemma möglich).

• Die Operation + ist kommutativ, weil R kommutativ ist.

• Das Inverse von \frac{r}{s} bezüglich + ist \frac{−r}{s}: \frac{r}{s} + \frac{−r}{s} = \frac{rs+(−r)s}{s^{2}} = \frac{0}{s^{2}} = 0_{S^{−1}R}

• Die Assoziativität von · ist klar. · ist überdies kommutativ, weil R kommutativ ist.

• Distributivgesetz:

(\frac{r}{s} + \frac{r′}{s′} )\frac{r′′}{s′′}

= \frac{(rs′ + r′s)r′′}{ss′s′′}
= \frac{rs′r′′ + r′sr′′}{ss′s′′}
= \frac{rr′′s′s′′ + r′r′′ss′′}{ss′s′′s′′}
= \frac{rr′′}{ss′′} + \frac{r′r′′}{s′s′′}

• Einselement \frac{t}{t} (nach dem vorigen Lemma ist t beliebig): \frac{r}{s} · \frac{t}{t} = \frac{rt}{st} = \frac{r}{s} (Kürzen ist nach dem vorigen Lemma möglich).

Damit sind alle Eigenschaften eines kommutativen Ringes mit Eins gezeigt. Es bleiben die zusätzlichen Eigenschaften:

1. S^{−1}R ist ein kommutativer Ring mit Eins. Es bleibt noch zu zeigen, dass 1 ≠ 0 ist und es keine Nullteiler in S^{−1}R gibt: Aus \frac{0}{s} = \frac{s}{s} würde t(0s−ss) = 0 für ein t ∈ S folgen. Damit wäre jedoch s^{2}t = 0 ∈ S, ein Widerspruch. Angenommen, es wäre \frac{r}{s} · \frac{r′}{s′} = \frac{0}{t}. Dann folgt t′rr′t = 0 für ein t′ ∈ S. Damit ist (tt′)(rr′) = 0 und somit rr′ = 0, weil tt′ ∈ S ≠ 0 sein muss und R keine Nullteiler enthält. Daher r = 0 ∨ r′ = 0, also \frac{r}{s} = 0_{S^{−1}R} oder \frac{r′}{s′} = 0_{S^{−1}R}.

2. s, t ∈ S ⇒ \frac{s}{t} · \frac{t}{s} = \frac{st}{st} = 1_{S^{−1}R}.

3. Wenn S = R \ \{0\}, dann gilt ∀\frac{r}{s} mit r ≠ 0: \frac{s}{r} ∈ S^{−1}R, also hat jedes Element ≠ 0_{S^{−1}R} ein Inverses in S^{−1}R.

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Satz 32.3 Sei S eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge eines kommutativen Ringes R, 0 ∉ S.

1. φ_{S} : R → S^{−1}R, definiert durch r ↦ \frac{rs}{s} (dabei ist s ∈ S beliebig) ist ein Ringhomomorphismus, und für alle s ∈ S gilt: φ_{S}(s) ist Einheit in S^{−1}R.

2. Ker φ_{S} = {r ∈ R | ∃s ∈ S mit rs = 0}

3. Wenn S keine Nullteiler enthält, dann ist φ_{S} injektiv.

Beweis:

1. • φ_{S} ist wohldefniert: s, t ∈ S, r ∈ R ⇒ \frac{rs}{s} = \frac{rt}{t}, da trs − srt = 0.

• φ_{S}(r + r′) = \frac{(r+r′)s}{s} = \frac{rs+r′s}{s} = \frac{rs^{2}+r′s^{2}}{s^{2}} = \frac{rs}{s} + \frac{r′s}{s} = φ_{S}(r) + φ_{S}(r′)

• φ_{S}(rr′) = \frac{rr′s}{s} = \frac{rr′s^{2}}{s^{2}} = \frac{rs}{s} · \frac{r′s}{s} = φ_{S}(r) · φ_{S}(r′)

• Ist s ∈ S, dann ist φ_{S}(s) = \frac{s^{2}}{s} Einheit mit dem Inversen \frac{s}{s^{2}} , wie zuvor gezeigt wurde.

2. Sei φ_{S}(r) = 0_{S^{−1}R} = \frac{0}{s}. Dann folgt \frac{rs}{s} = \frac{0}{s}, also trs^{2} − ts0 = 0 für ein t ∈ S. Damit ist jedoch r(ts^{2}) = 0 und ts^{2} ∈ S. Sei umgekehrt rs = 0 für ein s ∈ S. Dann ist φ_{S}(r) = \frac{rs}{s} = \frac{0}{s} = 0_{S^{−1}R}, also r ∈ Ker φ_{S}.

3. Wenn S keine Nullteiler enthält, dann kann es für r ∈ R nur dann ein s ∈ S mit rs = 0 geben, wenn r = 0 ist. In diesem Fall ist dann Ker φ_{S} = {0}, also φ_{S} injektiv.

Bemerkung: Wenn R ein Ring mit Eins ist und 1 ∈ S, dann hat φ_{S} die einfache Form φ_{S}(r) = \frac{r}{1}.

Bemerkung: Wenn S nur aus Einheiten von R besteht, dann ist φ_{S} : R → S^{−1}R ein Isomorphismus, d.h. R ≃ S^{−1}R (die Injektivität folgt, weil S nur Einheiten, also keine Nullteiler enthält, die Surjektivität ist gegeben, weil \frac{r}{s} = \frac{rs^{−1}s}{s} = φ_{S}(rs^{−1}) für alle r ∈ R, s ∈ S ist).

Bemerkung: Wenn T nur aus Einheiten von R besteht und S und S′ = S∪T multiplikativ abgeschlossen sind, dann ist S^{−1}R ≃ S′^{−1}R (Beweis als Übung). D.h., die Erweiterung der möglichen Nenner um Einheiten bringt nichts Neues. Daher können wir immer 1 ∈ S annehmen, wenn R ein Einselement hat. Damit ist (wie in der ersten Bemerkung festgehalten) φ_{S} = \frac{r}{1}. Wenn S keine Nullteiler enthält, fassen wir R als Unterring von S^{−1}R auf, wobei wir r ∈ R mit \frac{r}{1} bzw. \frac{rs}{s} identifizieren.

Lemma 32.4 Seien R, T Ringe mit Eins, g : R → T ein Ringhomomorphismus.

1. Wenn ein Nicht-Nullteiler von T in Im g liegt, dann ist g(1) = 1.

2. Wenn g(1) = 1, dann gilt für jede Einheit u ∈ R: g(u)^{−1} = g(u^{−1})

(insbesondere ist dann g(u) auch Einheit). Beweis: als Übung.

Satz 32.5 (Universelle Eigenschaft des Rings der Brüche) Sei S eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge eines kommutativen Ringes R, S^{−1}R = \{\frac{r}{s} | r ∈ R, s ∈ S\} der Ring der Brüche und φ : R → S^{−1}R durch φ(r) = \frac{rs}{s} definiert. Wenn T ein kommutativer Ring mit Eins ist und f : R → T ein Ringhomomorphismus, sodass für alle s ∈ S f(s) eine Einheit in T ist, dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus \overline{f} : S^{−1}R → T mit \overline{f} ∘ φ = f. Wenn f injektiv ist, dann auch \overline{f}.

Beweis: Definiere \overline{f}(\frac{r}{s}) = f(r)f(s)^{−1}. Dann sind alle Bedingungen erfüllt:

• \overline{f} ist wohldefiniert: sei \frac{r}{s} = \frac{r′}{s′} und t ∈ S mit t(rs′ − r′s) = 0. Dann ist

0 = f(0) = f(t)(f(r)f(s′)−f(r′)f(s)) = f(t)f(s)f(s′)(f(r)f(s)^{−1}−f(r′)f(s′)^{−1})

Weil f(t)f(s)f(s′) Einheit und daher kein Nullteiler ist, muss somit f(r)f(s)^{−1} = f(r′)f(s′)^{−1} sein.

• \overline{f} ist Homomorphismus bezüglich +:

\overline{f}(\frac{r}{s} + \frac{r′}{s′} ) = \overline{f}(\frac{rs′ + r′s}{ss′})
= f(rs′ + r′s)f(ss′)^{−1}
= f(rs′)f(ss′)^{−1} + f(r′s)f(ss′)^{−1}
= \overline{f}(\frac{rs′}{ss′} ) + \overline{f}(\frac{r′s}{ss′})
= \overline{f}(\frac{r}{s}) + \overline{f}(\frac{r′}{s′} )

• \overline{f} ist Homomorphismus bezüglich ·:

\overline{f}(\frac{r}{s} · \frac{r′}{s′} ) = \overline{f}(\frac{rr′}{ss′} )
= f(rr′)f(ss′)^{−1}
= f(r)f(s)^{−1}f(r′)f(s′)^{−1}
= \overline{f}(\frac{r}{s}) · \overline{f}(\frac{r′}{s′} )

• \overline{f}∘φ(r) = \overline{f}(\frac{rs}{s}) = f(rs)f(s)^{−1} = f(r)f(s)f(s)^{−1} = f(r), d.h. \overline{f}∘φ = f.

Angenommen, g wäre ein anderer Ringhomomorphismus, der alle diese Bedingungen erfüllt. Für alle s ∈ S ist f(s) Einheit in T. S ≠ ∅, daher gibt es ein s ∈ S, für das f(s) = g(φ(s)) ∈ Im g Einheit in T und damit kein Nullteiler ist. Nach dem vorigen Lemma gilt dann g(1) = 1, und für alle Einheiten u ∈ S^{−1}R ist g(u) Einheit mit g(u)^{−1} = g(u^{−1}). Damit ist jedoch

g(\frac{r}{s}) = g(\frac{rs}{s} \frac{s}{s^{2}} ) = g(φ(r)φ(s)^{−1}) = g(φ(r))g(φ(s)^{−1})
= g(φ(r))g(φ(s))^{−1} = f(r)f(s)^{−1} = \overline{f}(\frac{r}{s})

Also ist \overline{f} eindeutig bestimmt. Wenn f injektiv ist, dann ist Ker f = \{0\}, also kann 0 = \overline{f}(\frac{r}{s}) = f(r)f(s)^{−1} nur dann gelten, wenn f(r) = 0, also r = 0 gilt. Damit ist jedoch Ker \overline{f} = \{0_{S^{−1}R}\}, also \overline{f} injektiv.

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Bemerkung: S^{−1}R und φ_{S} sind durch diese universelle Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, d.h. wenn R′ ein kommutativer Ring mit Eins und ψ : R → R′ ein Ringhomomorphismus ist, sodass ∀s ∈ S ψ(s) Einheit in R′ ist und R′, ψ die Eigenschaft erfüllen, dass für alle kommutativen Ringe T mit Eins und alle Ringhomomorphismen f : R → T derart, dass f(s) für alle s ∈ S Einheit ist, ein eindeutiger Ringhomomorphismus \overline{f} : R′ → T mit \overline{f} ∘ ψ = f existiert, dann gibt es einen Isomorphismus g : S^{−1}R → R′ mit g ∘ φ_{S} = ψ und g^{−1} ∘ ψ = φ_{S}.

Korollar 32.6 Sei R ein Integritätsbereich, K = S^{−1}R mit S = R\{0} sein Quotientenkörper. R sei Unterring von K durch die Einbettung r ↦ \frac{r}{1}.

1. Wenn F ein Körper und f : R → F ein Ringmonomorphismus ist, dann gibt es genau einen Körpermonomorphismus \overline{f} : K → F mit \overline{f}|_{R} = f.

2. Wenn F ein Körper mit R ≤ F ist, dann gibt es einen Körper K′ ≃ K mit R ≤ K′ ≤ F, wobei K′ = {rs^{−1} | r ∈ R, s ∈ R \ {0}}.

Beweis:

1. Weil f : R → F ein Ringmonomorphismus, also injektiv, ist, gilt für alle r ∈ R \ {0} f(r) ≠ 0, also ist f(r) invertierbar. Nach der universellen Eigenschaft existiert ein Monomorphismus \overline{f} : K → F mit \overline{f} ∘ incl_{R↪K} = f, d.h. \overline{f}|_{R} = f.

2. f = incl_{R↪F} ist ein Ringmonomorphismus, also gibt es nach 1. einen Monomorphismus \overline{f} : K → F mit \overline{f}|_{R} = f. Wählt man K′ = Im \overline{f}, dann ist K ≃ K′, und weil wir wissen, dass \overline{f}(\frac{r}{s}) = f(r)f(s)^{−1} = rs^{−1} ist, hat K′ die angegebene Form.

□

Lemma 32.7 Sei R ein kommutativer Ring, I ⊴ R und S ⊆ R multiplikativ abgeschlossen mit 0 ∉ S. Dann ist φ_{S}(I) · (S^{−1}R) ein Ideal in S^{−1}R und es gilt φ_{S}(I) · (S^{−1}R) = \{\frac{i}{s} | i ∈ I, s ∈ S\} =: S^{−1}I (alle Elemente, die eine Bruchdarstellung mit Zähler in I haben).

Beweis: Seien i ∈ I und \frac{r}{t} ∈ S^{−1}R: dann ist \frac{is}{s} · \frac{r}{t} = \frac{isr}{st} = \frac{ir}{t} ∈ \{\frac{i}{s} | i ∈ I\}, und wegen \frac{i}{s} + \frac{i′}{s′} = \frac{is′+i′s}{ss′} ∈ S^{−1}I für \frac{i}{s}, \frac{i′}{s′} ∈ S^{−1}I gilt damit φ_{S}(I) · S^{−1}R = \{φ_{S}(i_{1})\frac{r_{1}}{t_{1}} + … + φ_{S}(i_{n})\frac{r_{n}}{t_{n}} | n ∈ ℕ, i_{j} ∈ I, \frac{r_{j}}{t_{j}} ∈ S^{−1}R\} ⊆ S^{−1}I. Seien umgekehrt i ∈ I und s ∈ S. Dann ist \frac{i}{s} = \frac{is}{s} \frac{s}{s^{2}} ∈ φ_{S}(I) · S^{−1}R, also gilt auch die umgekehrte Inklusion. Es bleibt zu zeigen, dass es sich um ein Ideal handelt: wegen 0_{S^{−1}R} ∈ S^{−1}I ist jedenfalls S^{−1}I ≠ ∅. Aus \frac{i}{s}, \frac{i′}{s′} ∈ S^{−1}I folgt \frac{i}{s} − \frac{i′}{s′} = \frac{is′−i′s}{ss′} ∈ S^{−1}I, und aus \frac{i}{s} ∈ S^{−1}I, \frac{r}{t} ∈ S^{−1}R folgt \frac{i}{s} · \frac{r}{t} = \frac{ir}{st} ∈ S^{−1}I. Also ist S^{−1}I ein Ideal.

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Bemerkung: Aus \frac{r}{s} ∈ S^{−1}I folgt im Allgemeinen nicht, dass r ∈ I, sondern nur, dass es i ∈ I, t ∈ S mit \frac{r}{s} = \frac{i}{t} gibt.

Lemma 32.8 Sei P ein Primideal, P ∩S = ∅. Dann gilt \frac{r}{s} ∈ S^{−1}P ⇒ r ∈ P.

Beweis: Sei \frac{r}{s} ∈ S^{−1}P und p ∈ P, t ∈ S mit \frac{r}{s} = \frac{p}{t}. Dann ist rtt′ = pst′ ∈ P für ein t′ ∈ S. Weil tt′ ∈ S liegt und S ∩ P = ∅ ist, ist dies nur möglich, wenn r ∈ P.

□

Lemma 32.9 Sei J ⊴ S^{−1}R. Dann ist φ_{S}^{−1}(J) ein Ideal von R und φ_{S}^{−1}(J) = \{r ∈ R | ∃s ∈ S : \frac{r}{s} ∈ J\} (alle Zähler, die in Bruchdarstellungen von Elementen in J vorkommen).

Beweis: Sei r so, dass \frac{rs}{s} ∈ J (d.h. r ∈ φ_{S}^{−1}(J)). Dann ist auch \frac{r}{s} = \frac{rs}{s} · \frac{s}{s^{2}} ∈ J, also r ∈ \{r ∈ R | ∃s ∈ S : \frac{r}{s} ∈ J\}. Sei umgekehrt r so, dass für ein s ∈ S \frac{r}{s} ∈ J. Dann ist auch \frac{r}{s} · \frac{s^{2}}{s} = \frac{rs}{s} = φ_{S}(r) ∈ J, also r ∈ φ_{S}^{−1}(J).

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Satz 32.10 Sei R ein kommutativer Ring, S ⊆ R multiplikativ abgeschlossen und 0 ∉ S.

1. Sei I ⊴ R. Dann gilt S^{−1}I = S^{−1}R ⇔ I ∩ S ≠ ∅

2. Sei J ⊴S^{−1}R. Dann gilt S^{−1}(φ_{S}^{−1}(J)) = J, insbesondere hat jedes Ideal von S^{−1}R die Form S^{−1}I für ein Ideal I ⊴ R.

3. Eine Bijektion zwischen allen Primidealen P ⊴ R mit P ∩ S = ∅ und allen Primidealen von S^{−1}R ist gegeben durch P ↦ S^{−1}P mit der inversen Abbildung Q ↦ φ_{S}^{−1}(Q).

Beweis:

1. Sei S^{−1}I = S^{−1}R. Dann gibt es i ∈ I und s ∈ S mit 1 = \frac{i}{s}, also \frac{s}{s} = \frac{i}{s}. Damit haben wir ts^{2} = tsi für ein t ∈ S, und ts^{2} ∈ S (weil S multiplikativ abgeschlossen ist) sowie tsi ∈ I (weil I ein Ideal ist). Daher ist ts^{2} = tsi ∈ I ∩ S und folglich I ∩ S ≠ ∅. Sei umgekehrt i ∈ I ∩ S. Dann ist \frac{i}{i} = 1 ∈ S^{−1}I. Ein Ideal, das das Einselement enthält, muss jedoch bekanntermaßen mit dem ganzen Ring übereinstimmen, d.h. S^{−1}I = S^{−1}R.

2. φ_{S}^{−1}(J) ist die Menge aller Zähler, die in Bruchdarstellungen von Elementen aus J vorkommen, S^{−1}φ_{S}^{−1}(J) folglich die Menge aller Brüche mit solchen Zählern. Dazu gehören aber jedenfalls alle Elemente von J, also J ⊆ S^{−1}φ_{S}^{−1}(J). Sei \frac{r}{s} ∈ S^{−1}φ_{S}^{−1}(J). Dann gibt es ein Element der Form \frac{r}{t} (t ∈ S) in J, und damit ist aber auch \frac{r}{t} · \frac{t}{s} = \frac{r}{s} ∈ J, weil J Ideal ist. Also gilt auch S^{−1}φ_{S}^{−1}(J) ⊆ J.

3. Ist P ein Primideal von R mit P ∩ S = ∅, dann ist S^{−1}P ein Primideal von S^{−1}R; ist umgekehrt Q ein Primideal von S^{−1}R, dann ist φ_{S}^{−1}Q ein Primideal von R, und S ∩ φ_{S}^{−1}Q = ∅. (Beweise als Übung)

Damit ist die Abbildung S^{−1} : P ↦ S^{−1}P eine Abbildung der Primideale von R mit P ∩ S = ∅ auf die Primideale von S^{−1}R, und φ_{S}^{−1} ist eine Abbildung der Primideale von S^{−1}R auf die Primideale von R mit P ∩ S = ∅. In 2. wurde gezeigt, dass S^{−1} ∘ φ_{S}^{−1} = id ist. Damit S^{−1} und φ_{S}^{−1} invers zueinander sind, muss auch noch gezeigt werden, dass φ_{S}^{−1}S^{−1}P = P für alle Primideale von R mit P ∩ S = ∅ gilt. φ_{S}^{−1}S^{−1}P ist die Menge aller Zähler, die in Bruchdarstellungen von S^{−1}P vorkommen. Jedenfalls gilt daher P ⊆ φ_{S}^{−1}S^{−1}P. Wegen Lemma 32.8 hat aber jedes Element von S^{−1}P nur Darstellungen mit Zähler in P, daher gilt auch φ_{S}^{−1}S^{−1}P ⊆ P.

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Korollar 32.11 Sei R ein kommutativer Ring und P ein Primideal von R. Sei weiters S = R \ P. Dann heißt R_{P} := S^{−1}R Lokalisierung von R bei P. Jedes Ideal von R_{P} hat die Form S^{−1}I für ein Ideal I ⊆ P, und eine Bijektion zwischen den Primidealen von R, die in P enthalten sind, und allen Primidealen von R_{P} ist durch Q ↦ S^{−1}Q = Q_{P} mit der Inversen J ↦ φ_{S}^{−1}(J) gegeben. Insbesondere ist P_{P} = S^{−1}P das einzige maximale Ideal von R_{P} (da I ⊆ P ⇒ S^{−1}I ⊆ S^{−1}P).

Definition 32.12 Ein Ring R heißt lokal, wenn er genau ein maximales Ideal hat.

Bemerkung: Nach dem vorigen Korollar ist R_{P} lokal für jedes Primideal P ⊴ R.

Bemerkung: Ein Ring mit Eins R ist genau dann lokal, wenn die Nichteinheiten von R ein Ideal bilden (Beweis als Übung).

Bemerkung: Viele Autoren setzen in der Definition von lokal voraus, daß der Ring Noethersch ist, und nennen Ringe, die nach unserer Definition lokal sind, quasi-lokal.

Faktorisierung in Polynomringen

Satz 33.1 (Polynomdivision) Sei R ein Ring mit Eins, f, g ∈ R[x], und der Leitkoeffizient von g sei eine Einheit in R. Dann existieren eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ R[x] mit f = qg + r, wobei r = 0 oder deg r < deg g ist.

Beweis: Wir zeigen zuerst die Existenz. Wenn f = 0 oder deg f < deg g, dann kann f = 0g + f gewählt werden, d.h. q = 0 und r = f. Sei andernfalls n = deg f ≥ deg g = m. Induktion nach n:

• Für n = 0 ist auch m = 0, d.h. g ist konstant und eine Einheit in R. Damit ist f = fg^{−1}g + 0, d.h. q = fg^{−1} und r = 0.

• Sei f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}, wobei a_{n} ≠ 0, g = ∑_{j=0}^{m} b_{j}x^{j}, m ≤ n und b_{m} eine Einheit. a_{n}x^{n−m}b_{m}^{−1}g ist ein Polynom vom Grad n mit dem Leitkoeffizienten a_{n}, also ist deg(f −a_{n}x^{n−m}b_{m}^{−1}g) ≤ n−1. Nach der Induktionsvoraussetzung existieren q̃und r̃ in R[x] mit f−a_{n}x^{n−m}b_{m}^{−1}g = q̃g+r̃, wobei r̃ = 0 oder deg r̃ < deg g ist. Damit ist aber f = (q̃+ a_{n}x^{n−m}b_{m}^{−1})g + r̃, also q = q̃ + a_{n}x^{n−m}b_{m}^{−1} und r = r̃.

Zu zeigen bleibt die Eindeutigkeit der Darstellung. Es sei dazu f = qg + r = q′g + r′ mit r = 0 ∨ deg r < deg g und r′ = 0 ∨ deg r′ < deg g. Dann folgt r − r′ = (q′ − q)g. Da der Leitkoeffizient von g kein Nullteiler ist, gilt für alle h ∈ R[x] mit h ≠ 0: deg hg ≥ deg g. Wäre also q′ − q ≠ 0, dann müsste deg(q′ −q)g ≥ deg g, andererseits aber deg r −r′ ≤ max(deg r, deg r′) < deg g sein, ein Widerspruch. Also gilt q′ − q = 0 und damit r′ − r = 0, also q = q′ und r = r′.

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Korollar 33.2 Sei K ein Körper. Dann ist K[x] ein Euklidischer Bereich mit der Rangfunktion deg. Zusätzlich sind q, r immer eindeutig bestimmt.

Beweis: Weil K ein Integritätsbereich ist, trifft dies auch auf K[x] zu. Jedes f ∈ K[x] hat eine Einheit als Leitkoeffizienten, weil es außer 0 nur Einheiten in K gibt. Außerdem ist die Eigenschaft deg(fg) ≥ deg(f) der Rangfunktion auch erfüllt, weil für f, g ∈ R[x] mit f, g ≠ 0 der Leitkoeffizient jeweils eine Einheit ist und daher deg(fg) = deg f + deg g ≥ deg f gilt.

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Satz 33.3 (Restsatz) Sei R ein Ring mit Eins, f = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ∈ R[x] und c ∈ R. Definiere f(c) := ∑_{k=0}^{n} a_{k}c^{k} ∈ R. Dann gibt es genau ein q ∈ R[x] mit f(x) = q(x)(x − c) + f(c).

Beweis:

f(x) − f(c) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} − ∑_{k=0}^{n} a_{k}c^{k} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}(x^{k} − c^{k})

= ∑_{k=0}^{n} a_{k}(x^{k−1} + x^{k−2}c + … + c^{k−1})(x − c) = q(x)(x − c)

also gibt es ein solches Polynom. Zu zeigen bleibt die Eindeutigkeit. Diese folgt aber aus der Eindeutigkeit der Koeffizienten bei Division mit Rest von f durch (x − c).

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Korollar 33.4 Wenn f ∈ R[x] ist, c ∈ R und f(c) := ∑_{k=0}^{n} a_{k}c^{k} ∈ R, dann gilt f(x) = q(x)(x − c) + d ⇒ d = f(c).

Beweis: Folgt aus dem Restsatz und der Eindeutigkeit der Koeffizienten bei Division mit Rest. Für ein kommutatives R folgt diese Tatsache natürlich aus der Definition des Einsetzhomomorphismus.

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Korollar 33.5 Sei R ein Ring mit Eins, f ∈ R[x] und c ∈ R. Dann gilt:

f(c) = 0 ⟺ ∃q ∈ R[x] : f(x) = q(x)(x − c)

Beweis: Es gelte f(x) = q(x)(x − c) für ein q ∈ R[x]. Nach dem Restsatz ist andererseits f(x) = q̃(x)(x − c) + f(c). Aus der Eindeutigkeit der Division mit Rest folgt damit q = q̃ und f(c) = 0. Die Umkehrung ergibt sich sofort aus dem Restsatz.

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Definition 33.6 Sei S ein kommutativer Ring mit Eins, R ≤ S. c ∈ S heißt Nullstelle (oder Wurzel) des Polynoms f ∈ R[x], wenn f(c) = 0 ist.

Satz 33.7 Sei E ein Integritätsbereich, D ≤ E, f ∈ D[x] und f ≠ 0. Wenn deg f = n, dann hat f höchstens n verschiedene Nullstellen in E.

Beweis: Seien c_{1}, …, c_{m} verschiedene Nullstellen von f. Wir zeigen mit Induktion nach m, dass es ein Polynom q gibt, sodass f(x) = q(x)(x − c_{1})(x − c_{2}) … (x − c_{m}):

• Für m = 1 gibt es nach dem Restsatz ein Polynom q mit f(x) = q(x)(x − c_{1}).

• Induktionsschritt: nach Voraussetzung gibt es ein Polynom q, sodass f(x) = q(x)(x − c_{1}) … (x − c_{m−1}). Die c_{i} sind verschieden, also ist c_{m} − c_{i} ≠ 0 für alle i. Nach dem Einsetzhomomorphismus ist 0 = f(c_{m}) = q(c_{m})(c_{m} − c_{1}) … (c_{m} − c_{m−1}). Da E ein Integritätsbereich ist, muss daher q(c_{m}) = 0 sein. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also ein q̃ mit q = q̃(x−c_{m}), und es gilt somit f(x) = q̃(x)(x − c_{1}) … (x − c_{m}).

Da deg((x − c_{1}) … (x − c_{m})) = m gilt und wegen f ≠ 0 auch q ≠ 0 ist, folgt m ≤ deg q + m = deg f (weil E Integritätsbereich ist).

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Beispiel: R = M_{2}(ℤ) ist kein Integritätsbereich. Das Polynom x^{2} − I hat

unendlich viele Nullstellen, nämlich etwa ( \begin{matrix}1 & λ \\ 0 & −1 \end{matrix} ) für alle λ ∈ ℤ.

Beispiel: R = ℤ_{9} ist kein Integritätsbereich, x^{2} hat die Nullstellen \overline{0}, \overline{3} und \overline{6}.

Beispiel: R = ℍ sei der Schiefkörper (nicht kommutativ!) der rationalen Quaternionen. Das Polynom x^{2} + 1 hat in ℍ die Nullstellen ±i, ±j, ±k, obwohl ℍ keine Nullteiler enthält!

Formale Ableitung – mehrfache Nullstellen

Definition 34.1 Sei D ein Integritätsbereich, f ∈ D[x], f ≠ 0, c ∈ D. Sei m ∈ ℕ_{0} maximal, sodass ∃g ∈ D[x] mit f(x) = g(x)(x − c)^{m} (m maximal, sodass (x − c)^{m} | f in D[x]). Dieses maximale m existiert, weil m durch deg f beschränkt ist, wegen

(x − c)^{m}g(x) = f(x), f ≠ 0 ⇒ deg f = deg g + m ≥ m.

(Hier haben wir verwendet, dass D ein Integritätsbereich ist!).

Wenn m = 1, dann heißt c einfache Nullstelle von f. Wenn m > 1, dann heißt c mehrfache Nullstelle von f. In beiden Fällen heißt c m-fache Nullstelle von f. m heißt Vielfachheit der Nullstelle c von f.

Definition 34.2 Sei R ein Ring mit Eins, f(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ∈ R[x]. Die formale Ableitung von f ist das Polynom

f′ = ∑_{k=1}^{n} ka_{k}x^{k−1} = ∑_{k=0}^{n−1}(k + 1)a_{k+1}x^{k}

Bemerkung: Es gilt f = a_{0} ∈ R ⇒ f′ = 0, aber nicht die Umkehrung. So ist etwa die Ableitung von f(x) = a_{0} + a_{1}x^{p} + a_{2}x^{2p} über einem Ring mit χ(R) = p auch f′ = pa_{1}x^{p−1} + 2pa_{2}x^{2p−1} = 0.

Lemma 34.3 Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, f, g ∈ R[x], c ∈ R, n ∈ ℕ. Dann gilt:

KAPITEL 34. FORMALE ABLEITUNG – MEHRFACHE … 142

1. (cf)′ = cf′ 2. (f + g)′ = f′ + g′

3. (fg) = f′g + fg′

4. (f^{n})′ = nf^{n−1}f′ Beweis:

1. trivial.

2. trivial.

3. Sei f = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} und g = ∑_{l=0}^{m} b_{l}x^{l}. Dann gilt fg = ∑_{k=0}^{n+m}(∑_{j=0}^{k} a_{j}b_{k−j})x^{k} und somit

(fg)′ = ∑_{k≥0}(k + 1)(∑_{j=0}^{k+1} a_{j}b_{k+1−j})x^{k}

und andererseits

f′g + fg′ = ∑_{k≥0}(∑_{j=0}^{k}(j + 1)a_{j+1}b_{k−j} + ∑_{j=0}^{k} a_{j}(k + 1 − j)b_{k+1−j})x^{k}
= ∑_{k≥0}(∑_{j=1}^{k+1} ja_{j}b_{k+1−j} + ∑_{j=0}^{k} a_{j}(k + 1 − j)b_{k+1−j})x^{k}
= ∑_{k≥0}(∑_{j=0}^{k+1} ja_{j}b_{k+1−j} + ∑_{j=0}^{k+1} a_{j}(k + 1 − j)b_{k+1−j})x^{k}
= ∑_{k≥0}(∑_{j=0}^{k+1}(k + 1)a_{j}b_{k+1−j})x^{k}

Also (fg)′ = f′g + fg′.

4. Induktion nach n:

• Für n = 1 gilt die Behauptung trivialerweise.

• Es gelte (f^{n−1})′ = (n − 1)f^{n−2}f′. Dann folgt (f^{n})′ = (ff^{n−1})′ =

f′f^{n−1} + f(f^{n−1})′ = f′f^{n−1} + f(n − 1)f^{n−2}f′ = nf^{n−1}f′.

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Proposition 34.4 Sei D ein Integritätsbereich, c ∈ D eine Nullstelle von f ∈ D[x]. c ist genau dann mehrfache Nullstelle, wenn f′(c) = 0 bzw. (x − c) | f′ in D[x].

Beweis: Weil c Nullstelle ist, gilt nach dem Restsatz f(x) = g(x)(x − c)^{m} für ein m ≥ 1. Sei m maximal mit dieser Eigenschaft. Dann gilt g(c) ≠ 0 (weil sonst nach dem Restsatz (x − c) | g und damit (x − c)^{m+1} | f gelten würde). Im Fall einer einfachen Nullstelle (m = 1) folgt: f′(x) = g′(x)(x − c) + g(x), also f′(c) = g(c) ≠ 0 (Einsetzhomomorphismus) und daher auch (x − c) ∤ f′. Im Fall einer mehrfachen Nullstelle (m > 1) folgt: f′(x) = g′(x)(x − c)^{m} + mg(x)(x − c)^{m−1}. Weil m − 1 > 0 ist, kann man (x − c) herausheben, und es gilt (x − c) | f′ und damit auch f′(c) = 0.

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Korollar 34.5 Sei D ein Integritätsbereich, c ∈ D, f ∈ D[x]. c ist genau dann mehrfache Nullstelle von f, wenn f(c) = 0 und f′(c) = 0 gilt bzw. wenn (x − c) ein gemeinsamer Teiler von f und f′ ist.

Definition 34.6 Zwei Elemente a, b eines Integritätsbereiches heißen relativ prim, wenn ∀c ∈ D (c | a ∧ c | b ⇒ c ist Einheit).

Bemerkung: Wenn ggT(a, b) existiert, dann ist ”a, b relativ prim“ äquivalent zu ggT(a, b) ≈ 1.

Korollar 34.7 Sei D ein Integritätsbereich, f ∈ D[x]. Wenn f und f′ relativ prim sind, dann hat f keine mehrfachen Nullstellen in D.

Definition 34.8 Ein Polynom f ∈ R[x] heißt irreduzibel über R (bzw. irreduzibel in R[x]), wenn f ein irreduzibles Element von R[x] ist (d.h. f ist weder Einheit noch Nullteiler, und aus f = gh folgt, dass g oder h Einheit in R[x] ist).

Bemerkung: Wenn D, E Integritätsbereiche mit D ≤ E sind, dann gilt weder ”f irreduzibel in D[x] ⇒ f irreduzibel in E[x]“ noch die Umkehrung.

Beispiel: f(x) = 2x^{2} + 2 ∈ ℤ[x] ⊆ ℝ[x] ⊆ ℂ[x].

• f ist nicht irreduzibel in ℤ[x]: f(x) = 2(x^{2} + 1), und 2, (x^{2} + 1) sind keine Einheiten.

• f ist irreduzibel in ℝ[x], da deg f = 2 und f keine Nullstellen in ℝ hat (siehe Lemma 34.12).

• f ist nicht irreduzibel in ℂ[x]: f(x) = 2(x + i)(x − i), und 2(x + i), (x − i) sind keine Einheiten.

Definition 34.9 Ein Polynom f heißt linear, wenn deg f = 1.

Lemma 34.10 Sei D ein Integritätsbereich.

1. Wenn c ∈ D, dann ist c irreduzibel in D[x] genau dann, wenn c in D irreduzibel ist.

2. Ist u eine Einheit in D und c ∈ D, dann ist ux + c irreduzibel in D[x].

3. Sind a, b relativ prim in D, a ≠ 0, dann ist ax + b irreduzibel in D[x].

Beweis:

1. c = 0 ist weder in D noch in D[x] irreduzibel, daher kann c ≠ 0 angenommen werden. Weiters wissen wir bereits, dass c genau dann Einheit in D[x] ist, wenn es auch in D Einheit ist. Wenn fg = c ist, dann folgt aus c ∈ D wegen deg(fg) = deg f + deg g auch f, g ∈ D. Daher gilt fg = c für Nicht-Einheiten f, g in D[x] genau dann, wenn dies auch in D der Fall ist. Folglich ist c genau dann irreduzibel in D[x], wenn es auch in D irreduzibel ist.

2. Spezialfall von 3.

3. Angenommen, ax+b = f(x)g(x) für Polynome f, g ∈ D[x]. Aus deg f + deg g = 1 folgt deg f = 0, deg g = 1 oder umgekehrt, o.B.d.A. deg f = 0. Das bedeutet f = c ∈ D, g = a′x + b′ mit a′ ≠ 0. Es gilt dann ax + b = c(a′x + b′) = ca′x + cb′. Damit ist jedoch c gemeinsamer Teiler von a und b, also ist c Einheit.

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Korollar 34.11 Ist K ein Körper, dann ist jedes lineare Polynom in K[x] irreduzibel.

Bemerkung: Ist R kein Integritätsbereich, sondern nur kommutativer Ring mit Eins, dann muss nicht einmal x irreduzibel sein. So ist etwa in ℤ_{6}[x] (2x + 3)(3x − 4) = 6x^{2} + 9x − 8x − 12 = x, und weder 2x + 3 noch 3x − 4 ist Einheit (weil schon das jeweilige a_{0} keine Einheit ist).

Lemma 34.12 Sei K ein Körper, f ∈ K[x], f ≠ 0.

1. f hat genau dann einen Linearfaktor (d.h. einen Teiler vom Grad 1) in K[x], wenn f eine Nullstelle in K hat.

2. Wenn deg f = 2 oder deg f = 3, dann ist f genau dann irreduzibel über K, wenn f keine Nullstelle in K hat.

3. Die Aussagen 1. und 2. gelten auch noch, wenn K nur ein Integritätsbereich ist, aber f normiert ist (d.h. der Leitkoeffizient ist 1).

Beweis:

1. Ist f(x) = g(x)(ax + b) mit a ≠ 0, dann ist −ba^{−1} eine Nullstelle von f in K (ist K nur Integritätsbereich, aber f normiert, dann muss a Einheit sein, denn a, multipliziert mit dem Leitkoeffizienten von g, ergibt den Leitkoeffizienten von f, also 1). Die Umkehrung folgt aus dem Restsatz.

2. Wenn f = gh, dann ist deg g + deg h = deg f, und weil Polynome vom Grad 0 in K[x] Einheiten sind, sind 1, 1 bzw. 2, 1 die einzigen Möglichkeiten für die Grade von g und h. Daher muss f in diesem Fall einen Linearfaktor und damit eine Nullstelle haben, d.h. f nicht irreduzibel ⇒ f hat Nullstelle. Hat andererseits f eine Nullstelle c, dann gilt f(x) = g(x)(x − c) für ein g ∈ K[x] mit deg g ≥ 1, d.h. weder g noch (x − c) ist Einheit, und damit ist f auch nicht irreduzibel.

Satz 34.13 Seien K und D Körper, K ⊆ D und f ∈ K[x].

1. Wenn ggT(f, f′) ≈ 1 in K[x], dann hat f keine mehrfachen Nullstellen in D.

2. Wenn f irreduzibel in K[x] ist und f in D eine Nullstelle hat, dann

gilt:

f hat mehrfache Nullstelle in D ⟺ f′ = 0

Beweis:

1. K[x] ist ein Euklidischer Bereich, also insbesondere ein Hauptidealbereich, daher existiert ggT(f, f′) = d, und er lässt sich als Linearkombination d(x) = h(x)f(x) + k(x)f′(x) darstellen. Wenn c ∈ D eine mehrfache Nullstelle ist, dann gilt f(c) = 0 und f′(c) = 0, also d(c) = 0, was einen Widerspruch zu d ≈ 1 darstellt (d ≈ 1 bedeutet, dass d eine Einheit in K[x], also eine Konstante ≠ 0 ist).

2. Wenn f irreduzibel ist und g ∈ K[x] mit g | f, dann ist g Einheit oder g ≈ f in K[x]. Im Falle, dass f′ ≠ 0, kann ein Teiler von f, der f ≈ g erfüllt, wegen deg f′ < deg f nicht auch f′ teilen. Daher muss jeder gemeinsame Teiler von f und f′ eine Einheit sein, und es folgt aus 1., dass f keine mehrfachen Nullstellen hat. Ist andererseits f′ = 0, dann ist jede Nullstelle von f auch Nullstelle von f′, also mehrfache Nullstelle von f.

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Polynome über ZPE-Ringen

Lemma 35.1 Ist D ein ZPE-Ring, K sein Quotientenkörper und \frac{a}{b} ∈ K, dann existieren r, s ∈ D mit s ≠ 0, ggT(r, s) = 1 und \frac{a}{b} = \frac{r}{s} (gekürzte Darstellung).

Beweis: Wenn ggT(a, b) = d, dann ist \frac{a}{b} = \frac{a′d}{b′d} = \frac{a′}{b′} mit ggT(a′, b′) = 1.

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Satz 35.2 Sei D ein ZPE-Ring, K sein Quotientenkörper, f(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ∈ D[x]. Wenn \frac{c}{d} ∈ K mit ggT(c, d) = 1 und f(\frac{c}{d}) = 0, dann gilt c | a_{0} und d | a_{n}.

Beweis: Aus ∑_{k=0}^{n} a_{k} \frac{c^{k}}{d^{k}} = 0 ergibt sich durch Multiplikation mit d^{n}: ∑_{k=0}^{n} d^{n−k}a_{k}c^{k} = 0. Damit ist

a_{0}d^{n} = −a_{1}cd^{n−1} − a_{2}c^{2}d^{n−2} − … − a_{n}c^{n}

Weil c die rechte Seite teilt, muss es auch a_{0}d^{n} teilen, weil aber ggT(c, d) = 1 ist, folgt c | a_{0}. Andererseits ist

a_{n}c^{n} = −a_{0}d^{n} − a_{1}cd^{n−1} − … − a_{n−1}dc^{n−1}

Weil d die rechte Seite teilt, muss es auch a_{n}c^{n} teilen, weil aber ggT(c, d) = 1 ist, folgt d | a_{n}.

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Definition 35.3 Sei D ein ZPE-Ring, f(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ∈ D[x], f ≠ 0. Dann heißt ggT(a_{0}, …, a_{n}) der Inhalt des Polynoms f. Wenn ggT(a_{0}, …, a_{n}) ≈ 1, dann heißt f primitives Polynom. Man schreibt den Inhalt als C(f).

Lemma 35.4 Sei D ein ZPE-Ring, f ∈ D[x], f ≠ 0, a ∈ D. Dann gilt:

1. C(af) = aC(f)

2. Zu f existiert ein primitives Polynom f̃ mit f = C(f)f̃.

Beweis: als Übung.

Lemma 35.5 (Lemma von Gauß) Sei D ein ZPE-Ring, f, g ∈ D[x] primitive Polynome. Dann ist fg primitiv.

Beweis: Es genügt zu zeigen, dass für jedes prime Element p ∈ D ein Koeffizient c von fg existiert, sodass p ∤ c (dann haben die Koeffizienten von fg keinen nichttrivialen gemeinsamen Teiler). Sei also p ∈ D prim, f = ∑ a_{k}x^{k}, g = ∑ b_{k}x^{k}, fg = ∑ c_{k}x^{k}. Wähle n minimal, sodass p ∤ a_{n} und m minimal, sodass p ∤ b_{m} (existieren, weil f und g primitiv sind). Dann ist c_{n+m} = ∑_{j+k=n+m} a_{j}b_{k}. Für j < n gilt aber p | a_{j} und damit p | a_{j}b_{k}. Für j > n ist andererseits k < m, daher p | b_{k} und p | a_{j}b_{k}. Also ist c_{n+m} ≡ a_{n}b_{m} mod p, und weil p prim ist und weder a_{n} noch b_{m} teilt, teilt p auch a_{n}b_{m} nicht, also p ∤ c_{n+m}.

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Korollar 35.6 Sei D ein ZPE-Ring, f, g ∈ D[x], f, g ≠ 0. Dann gilt C(fg) = C(f)C(g).

Beweis: Es gilt f = C(f)f̃ und g = C(g)g̃ für primitive Polynome f̃ und g̃. Damit ist C(fg) = C(C(f)f̃C(g)g̃) = C(f)C(g)C(f̃g̃) = C(f)C(g), da nach dem Lemma von Gauß C(f̃g̃) = 1 ist.

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Lemma 35.7 Sei D ein ZPE-Ring, K sein Quotientenkörper. Sind f,g primitiv in D[x], dann gilt f ≈ g in D[x] genau dann, wenn es auch in K[x] gilt.

Beweis: (”⇒“) Es gelte f ≈ g in D[x], d.h. es gibt eine Einheit u ∈ D[x] (u ist also auch Einheit in D) mit f = ug. Dann ist insbesondere u ∈ K \ {0} und damit auch Einheit in K[x], daher f ≈ g in K[x]. (”⇐“) Es sei f = \frac{c}{d}g für ein \frac{c}{d} ∈ K \ \{0\}. Es gelte o.B.d.A. ggT(c, d) = 1 (eine solche gekürzte Darstellung existiert). Dann folgt aus df = cg:

d = d · 1 ≈ dC(f) ≈ C(df) = C(cg) ≈ cC(g) ≈ c · 1 ≈ c

in D, also c ≈ d in D.

Es ist daher c = dv für eine Einheit v ∈ D, damit \frac{c}{d} = v und schließlich f = vg, also f ≈ g in D[x].

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Bemerkung: Die Aussage ”f ≈ g in D[x] ⟹ f ≈ g in K[x]“ gilt auch für beliebige Integritätsbereiche.

Lemma 35.8 Sei D ein ZPE-Ring, K sein Quotientenkörper, f ∈ D[x], f ≠ 0, und f primitiv. Dann gilt:

f irreduzibel in D[x] ⟺ f irreduzibel in K[x]

Beweis: Es sei f irreduzibel in D[x]. Angenommen, es gäbe g, h ∈ K[x], keine Einheiten, mit f = gh. Dann folgt deg g ≥ 1 und deg h ≥ 1 (weil f, g, h ≠ 0). Seien a, b ∈ D derart, dass ag = g_{1} ∈ D[x] und bh = h_{1} ∈ D[x]. Es existieren primitive Polynome g̃ und h̃ mit g_{1} = C(g_{1})g̃ und h_{1} = C(h_{1})h̃. Es ist deg g = deg g_{1} = deg g̃ und deg h = deg h_{1} = deg h̃. In D[x] gilt abf = g_{1}h_{1}, daher ab ≈ C(abf) = C(g_{1}h_{1}) = C(g_{1})C(h_{1}). Also existiert eine Einheit u ∈ D mit uab = C(g_{1})C(h_{1}). abf = g_{1}h_{1} = uabg̃h̃, also f = ug̃h̃, wobei ug̃, h̃ ∈ D[x] mit deg(ug̃), deg h̃ ≥ 1, also keine Einheiten, sind. Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Irreduzibilität von f in D[x]. Sei umgekehrt f irreduzibel in K[x]. Angenommen, es gäbe g, h ∈ D[x], keine Einheiten, mit f = gh. Dann muss g oder h Einheit in K[x] sein, o.B.d.A. sei g Einheit. Dann ist g ∈ K \ {0}, deg g = 0, und da g ∈ D[x] ist, auch g ∈ D. Es folgt 1 ≈ C(f) ≈ C(gh) = gC(h) in D, d.h. g | 1, also ist g Einheit auch in D und damit in D[x].

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Satz 35.9 Ist D ein ZPE-Ring, dann ist auch D[x] ZPE-Ring.

Beweis:

• Existenz der Zerlegung in irreduzible Elemente: Wenn c ∈ D ⊆ D[x] und c = p_{1} … p_{m}, wobei die p_{i} irreduzibel in D sind, dann sind sie das auch in D[x]. Sei jetzt deg f ≥ 1. f = C(f)f̃, wobei f̃ primitiv ist. C(f) lässt sich als Produkt irreduzibler Elemente schreiben, also genügt es zu zeigen, dass sich jedes primitive Polynom f̃ als Produkt irreduzibler Elemente schreiben lässt.

K sei der Quotientenkörper. Dann ist K[x] ein Euklidischer Bereich, also ein ZPE-Ring. Damit lässt sich f̃ als f̃ = h_{1} … h_{n} mit irreduziblen h_{i} ∈ K[x] schreiben. Es gibt weiters a_{i} ∈ D (a_{i} ≠ 0), sodass a_{i}h_{i} = g_{i} ∈ D[x] und primitive g̃_{i} ∈ D[x] mit g_{i} = C(g_{i})g̃_{i}. Dann ist g̃_{i} = \frac{a_{i}}{C(g_{i})}h_{i}, und in K[x] gilt damit g̃_{i} ≈ h_{i}, also ist g̃_{i} irreduzibel in K[x], weil h_{i} irreduzibel in K[x] ist. Weil überdies g̃_{i} primitiv ist, ist es auch irreduzibel in D[x]. Es gilt a_{1} … a_{n}f̃ = g_{1} … g_{n} = C(g_{1}) … C(g_{n})g̃_{1} … g̃_{n}, und weil f̃ und g̃_{1} … g̃_{n} primitiv in D[x] sind, muss a_{1} … a_{n} ≈ C(g_{1}) … C(g_{n}) in D gelten. Somit existiert eine Einheit u ∈ D mit C(g_{1}) … C(g_{n}) = ua_{1} … a_{n}. Damit ergibt sich a_{1} … a_{n}f̃ = ua_{1} … a_{n}g̃_{1} … g̃_{n}, also f̃ = (ug̃_{1})g̃_{2} … g̃_{n}, d.h. f̃ hat eine Zerlegung in Irreduzible.

• Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Elemente: Sei f = p_{1} … p_{n}g_{1} … g_{m} mit konstanten irreduziblen p_{i} ∈ D und irreduziblen Polynomen g_{i} mit deg g_{i} ≥ 1. Weil g_{i} irreduzibel ist, ist es auch primitiv (sonst wäre C(g_{i})g̃_{i} eine nichttriviale Zerlegung). Also ist auch g_{1} … g_{m} primitiv. Daher ist C(f) ≈ p_{1} … p_{n}. Wenn weiters f = q_{1} … q_{k}h_{1} … h_{l} mit konstanten irreduziblen q_{i} ∈ D und irreduziblen Polynomen h_{i} mit deg h_{i} ≥ 1 ist, dann gilt auch C(f) ≈ q_{1} … q_{k}. Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung in D folgt k = n, und es gibt eine Permutation π ∈ S_{n} mit p_{i} ≈ q_{π(i)}. Durch Kürzen erhält man g_{1} … g_{m} = (uh_{1}) … h_{l}. g_{1}, …, g_{m}, uh_{1}, …, h_{l} sind irreduzibel in D[x], und sie sind primitiv, also sind sie auch irreduzibel in K[x]. Aufgrund der Eindeutigkeit der Zerlegung in K[x] gilt damit m = l, und es gibt eine Permutation σ ∈ S_{m} mit g_{i} ≈ h_{σ(i)} in K[x]. Weil g_{i}, h_{π(i)} jedoch primitiv sind, gilt dies auch in D[x].

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Satz 35.10 (Eisensteinsches Irreduzibilitätskriterium) Sei D ein ZPE-Ring, K sein Quotientenkörper. Sei weiters f = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ∈ D[x] mit deg f ≥ 1. Wenn es ein irreduzibles p ∈ D gibt, sodass p ∤ a_{n}, p | a_{i} für i = 0, …, n − 1, und p^{2} ∤ a_{0}, dann ist f irreduzibel in K[x].

Beweis: f = C(f)f̃, f̃ = ∑_{k=0}^{n} a′_{k}x^{k}. Wegen p ∤ a_{n} = C(f)a′_{n} gilt p ∤ a′_{n}, analog p^{2} ∤ a′_{0}. Wegen p ∤ a_{n} teilt p auch C(f) nicht, daher gilt wegen p | a_{i} = C(f)a′_{i} auch p | a′_{i} für i = 0, …, n − 1. Wir zeigen nun, dass f̃ in D[x] irreduzibel ist: Angenommen, es wäre f̃ = gh, wobei g, h ∈ D[x] keine Einheiten sind. Dann ist deg g ≥ 1 und deg h ≥ 1 (eine Konstante, die f̃ teilt, teilt auch C(f̃) = 1).

Sei g = ∑_{k=0}^{m} b_{k}x^{k} mit b_{m} ≠ 0 und h = ∑_{k=0}^{l} c_{k}x^{k} mit c_{l} ≠ 0. Es gilt m, l ≥ 1, also auch m, l < n, weil m + l = n. p^{2} ∤ a′_{0} = b_{0}c_{0}, aber p | a′_{0}, daher teilt p genau eines der Elemente b_{0}, c_{0}, o.B.d.A. p | b_{0}, p ∤ c_{0}. Sei k minimal, sodass p ∤ b_{k} (existiert, weil p nicht alle a′_{i} teilt). Dann ist 0 < k ≤ m < n. Es ist jedoch a′_{k} = b_{0}c_{k} + b_{1}c_{k−1} + … + b_{k}c_{0}. Weil p | a′_{k} und p | b_{i} für i < k gilt, folgt damit aber p | b_{k}c_{0}, also entweder p | b_{k} oder p | c_{0}, ein Widerspruch. Damit ist gezeigt, dass f̃ in D[x] irreduzibel ist; da es primitiv ist, ist es auch irreduzibel in K[x]; weil zudem f̃ ≈ f in K[x], ist f auch irreduzibel in K[x].

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Beispiel: 3x^{3} + 12x^{2} + 18 ∈ ℤ[x] ist (p = 2) irreduzibel in ℚ[x] (aber nicht in ℤ[x]!).

Bemerkung: Dieser Satz ermöglicht die Konstruktion von irreduziblen Polynomen beliebig hohen Grades über einem ZPE-Ring wie z.B. ℤ.

Teil III Gruppentheorie, 2.Teil Freie Abelsche Gruppen

Bemerkung: Im folgenden werden alle Gruppen Abelsch (kommutativ) sein und additiv geschrieben werden. Damit ändern sich auch alle weiteren Notationen:

additiv multiplikativ
+  ·
a + b  ab
−a  a^{−1}
a − b  ab^{−1}
na  a^{n}
H + K  HK
0  e

Bemerkung: In einer kommutativen Gruppe (G, +) gilt für Untergruppen H, K ≤ G:

H ∨ K = ⟨H ∪ K⟩ = H + K = {h + k | h ∈ H, k ∈ K}

Bemerkung: Ist (G, +) kommutativ und X ⊆ G, dann gilt

⟨X⟩ = {k_{1}x_{1}+…+k_{n}x_{n} | n ∈ ℕ_{0}, x_{1}, …, x_{n} ∈ X verschieden, k_{1}, …, k_{n} ∈ ℤ}

Definition 36.1 Eine Teilmenge X einer kommutativen Gruppe A heißt Basis von A, wenn gilt:

• ⟨X⟩ = A (X ist Erzeugendensystem von A)

• Für alle paarweise verschiedenen x_{1}, …, x_{n} ∈ X und alle k_{1}, …, k_{n} ∈ ℤ gilt: aus k_{1}x_{1} + … + k_{n}x_{n} = 0 folgt ∀i : k_{i} = 0 (X ist ℤ-linear unabhängige Menge)

Eine Abelsche Gruppe, die eine Basis besitzt, heißt freie Abelsche Gruppe.

Bemerkung: {0} gilt als frei Abelsch mit Basis ∅.

Bemerkung: Ist φ : A → B ein Isomorphismus, dann ist {x_{i} | i ∈ I} genau dann Basis von A, wenn {φ(x_{i}) | i ∈ I} eine Basis von B ist.

Bemerkung: Ist C die innere direkte Summe von A, B ⊆ C sowie X eine Basis von A und Y eine Basis von B, dann ist X ∪ Y eine Basis von C.

Satz 36.2 Sei A eine kommutative Gruppe. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• A hat eine Basis X = {x_{i} | i ∈ I} ≠ ∅.

• A ist innere direkte Summe der unendlichen zyklischen Untergruppen ⟨x_{i}⟩.

• ∑_{i∈I} ℤ ≃ A mit einem Isomorphismus φ : ∑_{i∈I} ℤ → A, der φ(e_{i}) = x_{i}

erfüllt. Dabei ist e_{i} = (k_{j})_{j∈I} mit k_{j} = \begin{cases}1 & i = j \\ 0 & i ≠ j \end{cases}.

Beweis:

• (1. ⇒ 2.): Da X ℤ-linear unabhängig ist, gilt ∀x ∈ X, k ∈ ℤ kx = 0 ⇒ k = 0, daher ist ⟨x⟩ unendlich. Wegen der Kommutativität von A ist ⟨x⟩ für alle x ∈ X ein Normalteiler, und es gilt A = ⟨⋃_{x∈X}⟨x⟩⟩, da A = ⟨X⟩. Es bleibt noch zu zeigen, dass für alle i ∈ I ⟨x_{i}⟩ ∩ ⟨⋃_{j≠i}⟨x_{j}⟩⟩ = {0} gilt. Sei dazu a ∈ ⟨x_{i}⟩ ∩ ⟨⋃_{j≠i}⟨x_{j}⟩⟩. Dann gibt es j_{1}, …, j_{m} ∈ I \ {i} und k_{1}, …, k_{m}, l ∈ ℤ mit a = lx_{i} = k_{1}x_{j_{1}} + … + k_{m}x_{j_{m}}. Es folgt

k_{1}x_{j_{1}} + … + k_{m}x_{j_{m}} − lx_{i} = 0 ⇒ k_{r} = 0, l = 0 ⇒ a = 0

• (2. ⇒ 3.): Wir definieren φ : ∑_{i∈I} ℤ → A durch φ((k_{i})_{i∈I}) = k_{i_{1}}x_{i_{1}} + … + k_{i_{n}}x_{i_{n}}, wobei {i_{1}, …, i_{n}} = {i ∈ I | k_{i} ≠ 0}. Dann ist φ surjektiv, weil X ⊆ Im φ ≤ A gilt. φ ist injektiv, weil X ℤ-linear unabhängig ist und somit

k_{i_{1}}x_{i_{1}} + … + k_{i_{n}}x_{i_{n}} = l_{i_{1}}x_{i_{1}} + … + l_{i_{n}}x_{i_{n}}
⇒ (k_{i_{1}} − l_{i_{1}})x_{i_{1}} + … + (k_{i_{n}} − l_{i_{n}})x_{i_{n}} = 0
⇒ k_{i_{j}} = l_{i_{j}}

gilt. φ ist ein Homomorphismus, weil A kommutativ ist und somit

φ((k_{i} + l_{i})_{i∈I}) = (k_{i_{1}} + l_{i_{1}})x_{i_{1}} + … + (k_{i_{n}} + l_{i_{n}})x_{i_{n}}
= k_{i_{1}}x_{i_{1}} + … + k_{i_{n}}x_{i_{n}} + l_{i_{1}}x_{i_{1}} + … + l_{i_{n}}x_{i_{n}}
= φ((k_{i})_{i∈I}) + φ((l_{i})_{i∈I})

folgt.

• (3. ⇒ 1.): Wir zeigen dazu, dass (e_{i})_{i∈I} eine Basis von ∑_{i∈I} ℤ ist: wenn (k_{i})_{i∈I} ein Element von ∑_{i∈I} ℤ ist, dann lässt es sich als (k_{i})_{i∈I} = k_{i_{1}}e_{i_{1}} + … + k_{i_{n}}e_{i_{n}} mit {i_{1}, …, i_{n}} = {i ∈ I | k_{i} ≠ 0} schreiben. Also ist (e_{i})_{i∈I} ein Erzeugendensystem. Ist andererseits k_{i_{1}}e_{i_{1}} +…+k_{i_{n}}e_{i_{n}} = 0, wobei die i_{j} paarweise verschieden sind, dann folgt (l_{i})_{i∈I} = 0 mit

l_{i} = \begin{cases}k_{i_{j}} & i = i_{j} ∈ \{i_{1}, …, i_{n}\} \\ 0 & sonst \end{cases}

also l_{i} = 0 ∀i und in weiterer Folge k_{i_{j}} = 0 ∀j. Also ist (e_{i})_{i∈I} auch ℤ-linear unabhängig.

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Satz 36.3 Sei A eine freie Abelsche Gruppe mit Basis X und i : X → A die Einbettung von X in A (i(x) = x). Dann gibt es für alle Abelschen Gruppen H und alle Funktionen f : X → H genau einen Gruppenhomomorphismus \overline{f} : A → H mit \overline{f} ∘ i = f (\overline{f}|_{X} = f).

Beweis: Da X ein Erzeugendensystem von A ist, folgt für zwei Gruppenhomomorphismen \overline{f}, \overline{g} mit \overline{f}|_{X} = \overline{g}|_{X} auch, dass \overline{f} = \overline{g} auf ganz A gilt. Also gibt es höchstens einen solchen Gruppenhomomorphismus. Sei andererseits \overline{f} durch

\overline{f}(k_{1}x_{i_{1}} + … + k_{n}x_{i_{n}}) = k_{1}f(x_{i_{1}}) + … + k_{n}f(x_{i_{n}})

gegeben. Dann ist \overline{f} wohldefiniert, weil jedes x ∈ A genau eine Darstellung der Form k_{1}x_{i_{1}} + … + k_{n}x_{i_{n}} hat. Die Tatsache \overline{f}|_{X} = f ist unmittelbar ersichtlich, und dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt, lässt sich leicht nachprüfen. Also gibt es tatsächlich einen eindeutigen Homomorphismus, der die Bedingungen erfüllt.

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Bemerkung: Wenn A eine Abelsche Gruppe mit ∅ ≠ X ⊆ A ist, sodass für jede Abelsche Gruppe H und jede Funktion f : X → H genau ein Gruppenhomomorphismus \overline{f} : A → H mit \overline{f}|_{X} = f existiert, dann ist A eine freie Abelsche Gruppe mit Basis X (Beweis als Übung).

Satz 36.4 Je zwei Basen einer freien Abelschen Gruppe sind gleichmächtig.

Beweis: Wir unterscheiden die folgenden beiden Fälle:

1. Es gibt eine endliche Basis X ⊆ A. In diesem Fall betrachten wir Hom(A, ℤ_{2}) = \{\overline{f} : A → ℤ_{2} | \overline{f} ist Gruppenhomomorphismus\}. Nach vorigem Satz gibt es eine Bijektion φ : ℤ_{2}^{X} → Hom(A, ℤ_{2}), der jeder Funktion f : X → ℤ_{2} einen Homomorphismus φ(f) = \overline{f} zuordnet. Also ist | Hom(A, ℤ_{2})| = |ℤ_{2}^{X}| = 2^{|X|}. Für jede weitere Basis Y muss ebenso | Hom(A, ℤ_{2})| = 2^{|Y |} gelten. Es folgt dann 2^{|X|} = 2^{|Y |} ⇒ |X| = |Y |.

2. Alle Basen sind unendlich. In diesem Fall zeigen wir, dass für jede unendliche Basis X |X| = |A| gilt. Dabei ist |X| ≤ |A| klar, weil X ⊆ A ist. Für x ∈ X gilt |⟨x⟩| = |ℤ| = ℵ_{0}. Sei nun S = ⋃_{n∈ℕ} X^{n} und für s = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ S

A_{s} = ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ = ⟨x_{1}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨x_{n}⟩ ≃ ℤ ⊕ … ⊕ ℤ

Dann ist |A_{s}| = |ℤ^{n}| = ℵ_{0} und A = ⋃_{s∈S} A_{s}, also |A| ≤ |S| · ℵ_{0}. Weil |X^{n}| = |X| für unendliches X gilt, folgt weiters |S| ≤ |ℕ| · |X| = |X| und damit |A| ≤ |S| · ℵ_{0} ≤ |X| · ℵ_{0} = |X| (|X| · ℵ_{0} = |X|, falls X unendlich ist).

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Definition 36.5 Sei A eine freie Abelsche Gruppe und X eine Basis. Dann heißt |X| der Rang von A.

Korollar 36.6 Sei A_{1} eine freie Abelsche Gruppe mit Basis X_{1} und A_{2} eine freie Abelsche Gruppe mit Basis X_{2}. Dann gilt A_{1} ≃ A_{2} ⇔ |X_{1}| = |X_{2}|.

Beweis: “⇒”: Ist φ : A_{1} → A_{2} ein Isomorphismus, dann ist f(X_{1}) eine Basis von A_{2} mit |f(X_{1})| = |X_{1}|, also folgt |X_{2}| = |f(X_{1})| = |X_{1}|. “⇐”: Sei umgekehrt g : X_{1} → X_{2} eine Bijektion. Dann lässt sich diese zu einem Homomorphismus φ : A_{1} → A_{2} fortsetzen, der φ ∘ i_{1} = i_{2} ∘ g erfüllt (dabei sind i_{1}, i_{2} die Inklusionen von X_{1}, X_{2} in A_{1}, A_{2}). Ebenso lässt sich g^{−1} zu einem Homomorphismus ψ fortsetzen, der ψ ∘ i_{2} = i_{1} ∘ g^{−1} erfüllt.

Dann ist ψ∘φ ein Homomorphismus mit ψ∘φ∘i_{1} = ψ∘i_{2}∘g = i_{1}∘g^{−1}∘g = i_{1}, d.h. ψ ∘ φ ist die eindeutige Fortsetzung von i_{1} zu einem Homomorphismus. id_{A_{1}} ist jedoch auch eine Fortsetzung von i_{1} zu einem Homomorphismus, also gilt ψ ∘ φ = id_{A_{1}} und analog auch φ ∘ ψ = id_{A_{2}}. Damit sind φ und ψ sogar Isomorphismen.

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Satz 36.7 Jede Abelsche Gruppe mit Erzeugendensystem X ist homomorphes Bild einer freien Abelschen Gruppe vom Rang |X|.

Beweis: Sei (G, +) Abelsch und G = ⟨X⟩, wobei X = {x_{i} | i ∈ I}. Sei A = ∑_{i∈I} ℤ die freie Abelsche Gruppe und f : {e_{i} | i ∈ I} → X durch f(e_{i}) = x_{i} gegeben. Dann erfüllt jener eindeutige Homomorphismus φ : A → G mit φ|_{{e_{i} | i∈I}} = f das Gewünschte. φ ist surjektiv, weil X = Im f ⊆ Im φ gilt und X ein Erzeugendensystem von G ist.

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Matrizenumformungen

Definition 37.1 Gegeben sei eine Matrix A ∈ M_{n×m}(R). Eine elementare Zeilenoperation ist das Addieren des λ-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile von A für i ≠ j und λ ∈ R. Dies entspricht einer Multiplikation von A mit der Matrix E_{ij}(λ) von links (A ↦ E_{ij}(λ) · A) – dabei ist E_{ij}(λ) jene Matrix, die durch Hinzufügen des Eintrags λ an der Stelle (i, j) (i-te Zeile, j-te Spalte) aus der Einheitsmatrix entsteht. Analog ist eine elementare Spaltenoperation das Addieren des λ-fachen der j-ten Spalte zur i-ten Spalte von A für i ≠ j und λ ∈ R. Dies entspricht einer Multiplikation von A mit der Matrix E_{ji}(λ) von rechts (A ↦ A · E_{ji}(λ)).

Bemerkung: Mit E_{ij}(λ) ist dabei stets eine Matrix der passenden Größe gemeint – wenn A eine n × m-Matrix ist, dann soll in E_{ij}(λ) · A E_{ij}(λ) eine n × n-, in A · E_{ij}(λ) eine m × m-Matrix sein.

Bemerkung: Wir können uns im Folgenden auf elementare Zeilen- und Spaltenoperationen beschränken und auf Zeilen- oder Spaltenvertauschungen verzichten. Durch elementare Zeilenumformungen lässt sich nämlich ein Vertauschen der Zeilen i und j mit anschließender Multiplikation der j-ten Zeile mit −1 erreichen: man addiert die j-te Zeile zur i-ten, anschließend subtrahiert man die i-te von der j-ten, und schließlich addiert man wieder die j-te zur i-ten. Danach steht in der j-ten Zeile die ursprüngliche i-te, negativ genommen, und in der i-ten die ursprüngliche j-te. Daher lässt sich jede Permutation von Zeilen (und analog auch von Spalten)

– bei ungeraden Permutationen mit zusätzlichem Multiplizieren einer Zeile mit −1 – durch elementare Zeilenumformungen darstellen. Im Folgenden wird es jedoch auf Multiplikation von Zeilen oder Spalten mit −1 nie ankommen: wir können statt einer Permutation von Zeilen oder Spalten stets die angeführte modifizierte Permutation verwenden.

Lemma 37.2 Sei A eine n × m-Matrix mit Eintragungen in einem Euklidischen Ring R. Durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen kann A auf eine Form A′ = (a′_{ij}) gebracht werden, wobei a′_{11} alle Eintragungen von A′ teilt.

Beweis: O.B.d.A. darf angenommen werden, dass A nicht die Nullmatrix ist (andernfalls erfüllt A bereits die Bedingung). Dann lässt sich durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen a_{11} ≠ 0 erreichen. Wir behaupten nun, dass wir A auf eine Form B = (b_{ij}) mit ρ(b_{11}) < ρ(a_{11}) bringen können, wenn a_{11} noch nicht alle Einträge teilt. Ist diese Behauptung gezeigt, dann folgt das Gewünschte, denn da die Folge ρ(a_{11}) > ρ(b_{11}) > … nur endlich sein kann, bricht diese Umformungskette nach endlich vielen Schritten ab, sodass dann a′_{11} tatsächlich alle Einträge teilt. Der Beweis dieser Behauptung erfolgt in zwei Schritten:

1. Falls a_{11} nicht alle Eintragungen der ersten Zeile und der ersten Spalte teilt (o.B.d.A. sei ersteres der Fall), dann gibt es ein j, sodass a_{11} ∤ a_{1j}. Wir können eine Division mit Rest durchführen: a_{1j} = qa_{11} + r mit r ≠ 0 und ρ(r) < ρ(a_{11}). Wir ziehen nun das q-fache der ersten Spalte von der j-ten Spalte ab. Dann steht r in der Position (1, j) und lässt sich durch Vertauschung in die erste Spalte bringen. Wir erhalten ein B mit ρ(b_{11}) = ρ(r) < ρ(a_{11}).

2. Falls a_{11} alle Eintragungen der ersten Zeile und der ersten Spalte teilt, kann man derart elementare Zeilen- und Spaltenumformungen machen, dass in der ersten Zeile und Spalte außer a_{11} nur noch Nullen stehen. Wir erhalten eine Matrix B, in der a_{11} genau dann b_{ij} teilt, wenn a_{11} a_{ij} teilt (bei allen Umformungen wurden stets nur Vielfache von a_{11} abgezogen). An zumindest einer Stelle muss daher ein b_{ij} stehen, das von a_{11} nicht geteilt wird. Durch Addition der i-ten Zeile zur ersten Zeile kann man diesen Eintrag in die erste Zeile bringen, wobei an der Stelle (1, 1) weiterhin a_{11} steht. Damit haben wir das Problem auf den ersten Fall zurückgeführt.

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Satz 37.3 Sei A eine n × m-Matrix über einem Euklidischen Ring R. Dann kann A durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen auf Diagonalform B = diag(b_{1}, …, b_{k}) (k = min(n, m)) gebracht werden, sodass b_{1} | b_{2} | … | b_{k}.

Beweis: Wir führen eine Induktion nach max(m, n) durch: falls max(m, n) = 1 ist, hat die Matrix bereits die gewünschte Form. Andernfalls sei A eine Matrix mit max(m, n) > 1. Durch elementare Zeilen- und Spaltenoperationen kann man A auf die Form A′ = (a′_{ij}) mit a′_{11} | a′_{ij} für alle i, j bringen (nach dem vorigen Lemma). Dann ist a′_{1j} = q_{j}a′_{11} und a′_{j1} = r_{j}a′_{11}. Für alle j > 1 zieht man nun das q_{j}-fache der ersten Spalte von der j-ten Spalte und das r_{j}-fache der ersten Zeile von der j-ten Zeile ab. Dadurch werden in der ersten Zeile und in der ersten Spalte alle Einträge außer dem ersten zu 0. Wir erhalten eine Matrix B mit b_{11} = a′_{11} als einzigem Element ≠ 0 in der ersten Zeile bzw. Spalte. Alle übrigen Einträge haben die Form b_{ij} = a′_{ij} − q_{j}a′_{i1} = a′_{ij} − q_{j}r_{i}a′_{11} und sind daher durch a′_{11} = b_{11} teilbar. Wenn man nun also die erste Zeile und Spalte von B weglässt, so kann man auf die verbliebene Matrix C die Induktionsvoraussetzung anwenden: C kann durch elementare Zeilen- und Spaltenoperationen auf Diagonalgestalt diag(c_{1}, …, c_{l}) mit c_{1} | c_{2} | … | c_{l} gebracht werden, wobei diese Operationen auch gleich auf ganz B angewandt werden können. Sie ändern auch nichts an der Tatsache, dass b_{11} alle Einträge von C teilt. Man erhält daher wie gewünscht eine Matrix der Gestalt diag(b_{11}, c_{1}, …, c_{l}) mit b_{11} | c_{1} | … | c_{l}.

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Endlich erzeugte Abelsche Gruppen

Lemma 38.1 Sei (M, +) eine Abelsche Gruppe, M′ eine Untergruppe. Wenn sowohl M′ als auch M/M′ die Eigenschaft haben, dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist, dann hat auch M diese Eigenschaft.

Beweis: Sei N ≤ M. Dann ist N∩M′ endlich erzeugt durch gewisse n_{1}, …, n_{s} ∈ N ∩ M′, und auch \overline{N} = (N + M′)/M′ ist endlich erzeugt durch gewisse l_{1} + M′, …, l_{t} + M′ mit l_{1}, …, l_{t} ∈ N. l_{1}, …, l_{t}, n_{1}, …, n_{s} erzeugen dann N: sei dazu g ∈ N. Dann ist g + M′ = r_{1}(l_{1} + M′) + … + r_{t}(l_{t} + M′) für gewisse r_{1}, …, r_{t} ∈ ℤ. Damit lässt sich g in der Form

g = r_{1}l_{1} + … + r_{t}l_{t} + m′

mit einem m′ ∈ M′ (das auch in N liegen muss, da g, l_{1}, …, l_{t} in N liegen) darstellen. Es gibt daher k_{1}, …, k_{s} ∈ ℤ, sodass m′ = k_{1}n_{1} + … + k_{s}n_{s}. Es folgt

g = r_{1}l_{1} + … + r_{t}l_{t} + k_{1}n_{1} + … + k_{s}n_{s}
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Lemma 38.2 Jede Untergruppe einer endlich erzeugten Abelschen Gruppe ist endlich erzeugt.

Beweis: Sei M erzeugt durch m_{1}, …, m_{t}. Wir führen eine Induktion nach t durch:

• Für t = 1 ist M zyklisch. Wir wissen bereits, dass dann jede Untergruppe auch zyklisch ist.

• Die Behauptung gelte für alle Gruppen mit t − 1 Erzeugern. Sei nun M′ = ⟨m_{t}⟩. Dann wird M/M′ von den t − 1 Elementen m_{i} + M′ (i = 1, …, t − 1) erzeugt. Nach Induktionsvoraussetzung ist jede Untergruppe von M′ und jede Untergruppe von M/M′ endlich erzeugt. Nach dem vorigen Lemma ist somit jede Untergruppe von M endlich erzeugt.

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Lemma 38.3 Seien (F, +) eine Abelsche Gruppe und v_{1}, …, v_{n} ∈ F. Dann gelten die folgenden Aussagen:

• Seien 1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j und λ ∈ ℤ. Wenn w_{j} = v_{j} + λv_{i} und w_{k} = v_{k} für k ≠ j definiert werden, dann erzeugen v_{1}, …, v_{n} und w_{1}, …, w_{n} dieselbe Untergruppe von F.

• Wenn v_{1}, …, v_{n} eine Basis von F ist und w_{1}, …, w_{n} wie in 1. gewählt werden, dann ist auch w_{1}, …, w_{n} eine Basis von F.

Beweis: als Übung.

Lemma 38.4 Sei (F, +) eine freie Abelsche Gruppe mit Basis e_{1}, …, e_{n}, und seien w_{1}, …, w_{m} ∈ F. Wenn A ∈ M_{n×n}(ℤ) jene Matrix ist, deren kte Zeile die Koeffizienten von w_{k} zur Basis e_{1}, …, e_{n} enthält, d.h. w_{k} = a_{k1}e_{1} + … + a_{kn}e_{n}, dann gilt:

• A · E_{ji}(λ) ist jene Matrix, deren k-te Zeile die Koeffizienten von w_{k} zur Basis e′_{1}, …, e′_{n} mit e′_{j} = e_{j} + λe_{i} und e′_{l} = e_{l} (l ≠ j) enthält.

• E_{ji}(λ) · A ist jene Matrix, deren k-te Zeile die Koeffizienten von w′_{k} zur Basis e_{1}, …, e_{n} mit w′_{i} = w_{i} + λw_{j} und w′_{l} = e_{l} (l ≠ i) enthält.

Beweis: als Übung.

Satz 38.5 Sei (F, +) eine freie Abelsche Gruppe vom Rang n, G eine Untergruppe. Dann existieren eine Basis e_{1}, …, e_{n} von F und d_{1}, …, d_{n} ∈ ℕ_{0} mit d_{1} | … | d_{n}, sodass G = ⟨d_{1}e_{1}, …, d_{n}e_{n}⟩. Insbesondere ist G eine freie Abelsche Gruppe mit Basis d_{1}e_{1}, …, d_{k}e_{k}, wobei d_{k} der letzte Wert ≠ 0 ist.

Beweis: G ist als Untergruppe einer endlich erzeugten Gruppe endlich erzeugt, und zwar durch Elemente g_{1}, …, g_{m}. Dabei darf angenommen werden, dass m ≥ n ist, da man sonst beliebige Elemente von G hinzufügen kann. Sei A = (a_{ij}) die Matrix der Koeffizienten der g_{i} zur Basis e_{1}, …, e_{n}, d.h. g_{i} = a_{i1}e_{1} + … + a_{in}e_{n}.

A kann durch elementare Spaltenoperationen (was einem Übergang zu einer anderen Basis von F entspricht) und elementare Zeilenoperationen (was einem Übergang zu einem anderen Erzeugendensystem von G entspricht) sowie durch Zeilen- und Spalten vertauschungen (welche einem Umordnen der Basis von F bzw. des Erzeugendensystems von G entsprechen) auf die Form A′ = diag(d_{1}, …, d_{n}) mit d_{1} | … | d_{n} gebracht werden, wobei A′ wieder eine Matrix von Koeffizienten von einem Erzeugendensystem von G zu einer Basis von F ist; d.h., es existiert eine Basis e′_{1}, …, e′_{n}, sodass g′_{i} = a′_{i1}e′_{1}+…+a′_{in}e′_{n} (1 ≤ i ≤ n) ein Erzeugendensystem von G ist. Wegen der speziellen Gestalt von A′ ist g′_{i} = d_{i}e′_{i} mit d_{1} | … | d_{n}.

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Satz 38.6 Sei G eine endlich erzeugte Abelsche Gruppe. Dann gibt es Zahlen m_{1}, …, m_{r} ∈ ℕ (r ≥ 0) mit m_{1} | … | m_{r} und m_{1} > 1, sodass

G ≃ Z_{m_{1}} ⊕ … ⊕ ℤ_{m_{r}} ⊕ H

mit H = ∑_{i=1}^{s} ℤ (s ≥ 0) ist.

Bemerkung: In dieser Darstellung sind m_{1}, …, m_{r} und s eindeutig bestimmt (wird später bewiesen). m_{1}, …, m_{r} heißen invariante Faktoren von G.

Beweis: Sei G erzeugt von n Elementen und F die freie Abelsche Gruppe vom Rang n. Dann gibt es einen Epimorphismus f : F → G. Sei K dessen Kern. Nach dem ersten Isomorphiesatz gilt dann G ≃ F/K. Nach dem vorigen Satz gibt es eine Basis e_{1}, …, e_{n} von F und d_{1}, …, d_{n} ∈ ℕ_{0} mit d_{1} | … | d_{n}, sodass K = ⟨d_{1}e_{1}, …, d_{n}e_{n}⟩ = ⟨d_{1}e_{1}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨d_{n}e_{n}⟩ ist. Es folgt

G ≃ F/K ≃ (⟨e_{1}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨e_{n}⟩)/(⟨d_{1}e_{1}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨d_{n}e_{n}⟩)
= ⟨e_{1}⟩/⟨d_{1}e_{1}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨e_{1}⟩/⟨d_{1}e_{1}⟩
≃ ℤ/(d_{1}ℤ) ⊕ … ⊕ ℤ/(d_{n}ℤ)

wobei die vorletzte Gleichheit nach Korollar 13.12 gilt. Für d_{i} = 1 fällt ℤ/(d_{i}ℤ) = ℤ/ℤ = {0} weg, für d_{i} = 0 ist ℤ/(d_{i}ℤ) = ℤ/{0} = ℤ. Sei nun (d_{1}, …, d_{n}) = (1, …, 1, d_{j}, …, d_{k}, 0, …, 0), wobei am Schluss genau s Nullen stehen. Die Werte d_{j}, …, d_{k} sind dann unsere m_{1}, …, m_{r}, und es gilt in der Tat

G ≃ Z_{m_{1}} ⊕ … ⊕ ℤ_{m_{r}} ⊕ H
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Lemma 38.7 Für m, n ∈ ℕ mit ggT(m, n) = 1 gilt ℤ_{mn} ≃ ℤ_{m} ⊕ ℤ_{n}.

Beweis: Dieses Lemma ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Chinesischen Restsatz, angewandt auf ℤ.

Korollar 38.8 Ist m = p_{1}^{α_{1}} ·. . .·p_{k}^{α_{k}}, wobei p_{1}, …, p_{k} verschiedene Primzahlen und α_{i} ∈ ℕ sind, dann gilt

ℤ_{m} ≃ ℤ_{p_{1}^{α_{1}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{k}^{α_{k}}}

Beweis: durch Induktion nach k.

Satz 38.9 Sei G eine endlich erzeugte Abelsche Gruppe. Dann existieren Primzahlen p_{1}, …, p_{k} (k ≥ 0), n_{1}, …, n_{k} ∈ ℕ, α_{ij} ∈ ℕ und s ∈ ℕ_{0}, sodass

G ≃ ℤ_{p_{1}^{α_{11}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{1}^{α_{1n_{1}}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{k}^{α_{k1}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{k}^{α_{kn_{k}}}} ⊕ H

mit H = ∑_{i=1}^{s} ℤ.

Beweis: Dieser Satz folgt unmittelbar aus G ≃ ℤ_{m_{1}} ⊕ … ⊕ ℤ_{m_{r}} ⊕ H und ℤ_{m_{i}} ≃ ℤ_{p_{1}^{α_{1i}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{k}^{α_{ki}}}.

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Bemerkung: Die Potenzen p_{i}^{α_{ij}}, die hierbei vorkommen, sind ebenso wie s eindeutig und heißen Elementarteiler von G.

Eindeutigkeit der invarianten Faktoren und Elementarteiler:

Lemma 38.10 Sei (A, +) eine Abelsche Gruppe, m ∈ ℕ und p eine Primzahl. Folgende Mengen sind Untergruppen von A:

1. mA = {ma | a ∈ A}

2. A[m] = {a ∈ A | ma = 0} = {a ∈ A | |a||m}

3. A(p) = {a ∈ A | ∃n ∈ ℕ_{0} : |a| = p^{n}} = {a ∈ A | ∃n ∈ ℕ_{0} : p^{n}a = 0} = ⋃_{n=0}^{∞} A[p^{n}]

4. A_{t} = {a ∈ A | ∃n ∈ ℕ : na = 0} = {a ∈ A | |a| ist endlich}

Bemerkung: Für nichtkommutative Gruppen ist im Allgemeinen keine dieser Mengen eine Untergruppe!

Beweis: Alle diese Mengen sind nichtleer, da 0 enthalten ist. Wir zeigen jeweils a, b ∈ G (wobei G die jeweilige Menge ist) ⇒ a − b ∈ G:

1. ma − mb = m(a − b)

2. ma = 0, mb = 0 ⇒ m(a − b) = ma − mb = 0 − 0 = 0

3. p^{n}a = 0, p^{m}b = 0 ⇒ p^{μ}a = p^{μ}b = 0 für μ = max(m, n), also p^{μ}(a−b) = p^{μ}a − p^{μ}b = 0 − 0 = 0

4. ma = 0, nb = 0 ⇒ (mn)a = (mn)b = 0 ⇒ (mn)(a − b) = (mn)a −

(mn)b = 0 − 0 = 0

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Lemma 38.11 Für die eben definierten Gruppen gelten folgende Zusammenhänge:

1. ℤ_{p^{n}}[p] ≃ ℤ_{p}

2. p^{m}ℤ_{p^{n}} ≃ ℤ_{p^{n−m}} (für m < n)

3. (∑_{i∈I} G_{i})[m] = ∑_{i∈I}(G_{i}[m]) und m ∑_{i∈I} G_{i} = ∑_{i∈I} mG_{i}

4. Wenn f : G → H ein Gruppenisomorphismus ist, dann ist f|_{G_{t}} : G_{t} → H_{t} auch ein Gruppenisomorphismus, und für eine Primzahl p ist f|_{G(p)} : G(p) → H(p) ebenso ein Gruppenisomorphismus.

Beweis:

1. Es gilt |\overline{p^{n−1}}| = p in ℤ_{p^{n}}. Daher genügt es zu zeigen, dass ℤ_{p^{n}}[p] = ⟨\overline{p^{n−1}}⟩ ist. Jedenfalls gilt ⟨\overline{p^{n−1}}⟩ ⊆ ℤ_{p^{n}}[p]. Ist andererseits k ∈ ℤ derart, dass p\overline{k} = \overline{0} in ℤ_{p^{n}} gilt, dann muss p^{n}|pk und in weiterer Folge p^{n−1}|k gelten. Also ist \overline{k} = m\overline{p^{n−1}} in ℤ_{p^{n}}, und es folgt, dass ℤ_{p^{n}}[p] von \overline{p^{n−1}} erzeugt wird.

2. p^{m}ℤ_{p^{n}} = \{p^{m}\overline{k} | k ∈ ℤ\} = \{k\overline{p^{m}} | k ∈ ℤ\} = ⟨\overline{p^{m}}⟩; nun ist |\overline{p^{m}}| = p^{n−m} in ℤ_{p^{n}}, also ist p^{m}ℤ_{p^{n}} die zyklische Gruppe der Ordnung p^{n−m}.

3. folgt unmittelbar aus m(a_{i})_{i∈I} = (ma_{i})_{i∈I}

4. folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass für einen Isomorphismus f

|f(g)| = |g| ∀g ∈ G gilt.

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Lemma 38.12 Sei p eine Primzahl und G ≃ ∑_{i=1}^{r} ℤ_{p^{α_{i}}} ≃ ∑_{j=1}^{r′} ℤ_{p^{β_{j}}} (r, r′ ∈ ℕ, α_{i}, β_{j} ∈ ℕ). Dann gilt r = r′ und ∀n ∈ ℕ |{i | α_{i} = n}| = |{j | β_{j} = n}|.

Beweis: Wir zeigen, dass für alle n

a(n) := |{i | α_{i} ≥ n}| = |{j | β_{j} ≥ n}| =: b(n)

gilt. Dann folgt die Behauptung wegen |{i | α_{i} = n}| = a(n) − a(n − 1) und |{j | β_{j} = n}| = b(n) − b(n − 1). Dazu zeigen wir, dass |(p^{n−1}G)[p]| = p^{a(n)} gilt: p^{n−1}ℤ_{p^{α}} ≠ {0} ⇔ α ≥ n; G = ∑_{i=1}^{r} ℤ_{p^{α_{i}}}. Also folgt

p^{n−1}G = ∑_{i=1}^{r} p^{n−1}ℤ_{p^{α_{i}}} ≃ ∑_{k=1}^{a(n)} p^{n−1}ℤ_{p^{α_{i_{k}}}} = ∑_{k=1}^{a(n)} ℤ_{p^{α_{i_{k}} −n+1}}

wobei die i_{k} genau jene sind, für die α_{i_{k}} ≥ n ist. Daraus ergibt sich weiter

(p^{n−1}G)[p] = ∑_{k=1}^{a(n)} ℤ_{p^{α_{i_{k}} −n+1}}[p] ≃ ∑_{k=1}^{a(n)} ℤ_{p}

und daher die Behauptung. Analog gilt auch |(p^{n−1}G)[p]| = p^{b(n)} und damit p^{a(n)} = p^{b(n)} ⇒ a(n) = b(n).

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Lemma 38.13 Sei G eine Abelsche Gruppe und G ≃ H_{1} ⊕ G_{1} ≃ H_{2} ⊕ G_{2}, wobei G_{1}, G_{2} endlich und H_{1}, H_{2} frei Abelsch mit den Rängen s_{1}, s_{2} sind. Dann gilt G_{1} ≃ G_{2} ≃ G_{t}, H_{1} ≃ H_{2} ≃ G/G_{t} und s_{1} = s_{2}.

Beweis: (a, b) ∈ H_{1} ⊕ G_{1} hat genau dann endliche Ordnung, wenn a = 0 ist, also folgt G_{t} ≃ (H_{1} ⊕ G_{1})_{t} = {0} ⊕ G_{1} ≃ G_{1} und analog auch G_{2} ≃ G_{t}. Es folgt weiters

G/G_{t} ≃ (H_{1} ⊕ G_{1})/({0} ⊕ G_{1}) ≃ H_{1}/{0} ⊕ G_{1}/G_{1} ≃ H_{1} ⊕ {0} ≃ H_{1}

und analog G/G_{t} ≃ H_{2}, daher H_{1} ≃ H_{2} und s_{1} = s_{2}.

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Satz 38.14 Sei G eine endlich erzeugte Abelsche Gruppe. Dann gilt

1. In jeder Darstellung von G als direkte Summe zyklischer Gruppen ist die Anzahl der vorkommenden unendlichen Faktoren dieselbe.

2. Wenn

G ≃ ℤ_{p_{1}^{α_{11}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{1}^{α_{1n_{1}}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{k}^{α_{k1}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{k}^{α_{kn_{k}}}} ⊕ ∑_{i=1}^{s} ℤ

≃ ℤ_{p_{1}^{β_{11}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{1}^{β_{1m_{1}}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{k}^{β_{k1}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{k}^{β_{km_{k}}}} ⊕ ∑_{i=1}^{s′} ℤ

gilt, wobei p_{1}, …, p_{k} verschiedene Primzahlen sind und α_{ij}, β_{ij} ∈ ℕ_{0}, dann gilt s = s′, und für jedes p_{i} gilt

∀n ∈ ℕ |{j | α_{ij} = n}| = |{j | β_{ij} = n}|

(Eindeutigkeit der Elementarteiler).

3. Wenn

G ≃ ℤ_{m_{1}} ⊕ … ⊕ ℤ_{m_{r}} ⊕ ∑_{i=1}^{s} ℤ ≃ ℤ_{n_{1}} ⊕ … ⊕ ℤ_{n_{t}} ⊕ ∑_{i=1}^{s′} ℤ

mit 1 < m_{1} | … | m_{r} und 1 < n_{1} | … | n_{t} gilt, dann ist r = t, s = s′ und m_{i} = n_{i} (1 ≤ i ≤ r) (Eindeutigkeit der invarianten Faktoren).

Beweis:

1. Nach dem vorigen Lemma ist die Anzahl der unendlichen Faktoren gleich dem Rang von G/G_{t}, also in allen Darstellungen dieselbe.

2. Wegen 1. gilt s = s′ jedenfalls. Für alle i gilt weiters

G(p_{i}) ≃ ℤ_{p_{i}^{α_{i1}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{i}^{α_{in_{i}}}} ≃ ℤ_{p_{i}^{β_{i1}}} ⊕ … ⊕ ℤ_{p_{i}^{β_{im_{i}}}}

weil |(a_{1}, …, a_{m})| = kgV(|a_{1}|, …, |a_{m}|) ist und dies somit nur genau dann eine Potenz von p_{i} sein kann, wenn a_{l} = 0 in allen Faktoren außer den ℤ_{p_{i}^{k}} ist. Nach dem Lemma 38.12 sind damit die vorhandenen Potenzen von p_{i} dieselben.

3. Wieder folgt s = s′ aus 1. Seien nun p_{1}, …, p_{k} die Potenzen, die eines der m_{i} oder n_{i} teilen. Nun kann man die m_{i}, n_{i} in der Form m_{i} = ∏_{j=1}^{k} p_{j}^{α_{ij}} bzw. n_{i} = ∏_{j=1}^{k} p_{j}^{β_{ij}} schreiben. Es folgt

G ≃ ∑_{j=1}^{k} ∑_{i=1}^{r} ℤ_{p_{j}^{α_{ij}}} ⊕ ℤ^{s} ≃ ∑_{j=1}^{k} ∑_{i=1}^{t} ℤ_{p_{j}^{β_{ij}}} ⊕ ℤ^{s}

Wegen 2. muss dann ∀i ∀n |{j | α_{ij} = n}| = |{j | β_{ij} = n}| gelten. Da m_{i} m_{i+1} teilen soll, wird m_{r} von allen übrigen m_{i} geteilt, also ergibt sich für alle j:

α_{rj} = max{α_{ij} | i = 1, …, r} = max{β_{ij} | i = 1, …, t} = β_{tj}

Daher ist m_{r} = n_{t}, analog dann m_{r−1} = n_{t−1} etc. und r = t.

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Teil IV Körpertheorie Körpererweiterungen

Definition 39.1 Wenn F, K Körper mit K ≤ F sind, dann heißt das Paar K, F eine Körpererweiterung (geschrieben F : K). F heißt Erweiterungskörper von K.

Bemerkung: Wenn F : K eine Körpererweiterung ist, dann ist F ein K-Vektorraum: (F, +) ist eine Abelsche Gruppe, die Skalarmultiplikation K × F → F ist die Einschränkung der Multiplikation in F auf Paare in K × F.

Definition 39.2 Sei F : K eine Körpererweiterung. Die Dimension von F als K-Vektorraum heißt Grad der Körpererweiterung F : K, man schreibt [F : K] = dim_{K} F.

Lemma 39.3 Seien K, E, F Körper mit K ≤ E ≤ F; sei B eine Basis von F als E-Vektorraum, C eine Basis von E als K-Vektorraum. Dann ist D = (d_{(c,b)})_{(c,b)∈C×B} mit d_{(c,b)} = cb eine Basis von F als K-Vektorraum.

Beweis: Sei f ∈ F. Dann existieren b_{1}, …, b_{n} ∈ B und e_{1}, …, e_{n} ∈ E, sodass f = e_{1}b_{1} + … + e_{n}b_{n}. Weiters existieren c_{1}, …, c_{m} ∈ C und k_{ij} ∈ K, sodass e_{i} = ∑_{j=1}^{m} k_{ij}c_{j}, also f = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} k_{ij}c_{j}b_{i}. f ist daher K-Linearkombination von Elementen der Form c_{j}b_{i}, also ist D Erzeugendensystem. Es bleibt zu zeigen, dass D linear unabhängig über K ist: seien c_{1}, …, c_{m} ∈ C, b_{1}, …, b_{n} ∈ B, k_{ij} ∈ K, sodass ∑_{1≤i≤n,1≤j≤m} k_{ij}c_{j}b_{i} = 0. Dann ist ∑_{i=1}^{n}(∑_{j=1}^{m} k_{ij}c_{j})b_{i} = 0, und der Ausdruck in der Klammer liegt für alle i in E. Da B eine E-linear unabhängige Menge ist, folgt ∑_{j=1}^{m} k_{ij}c_{j} = 0 für alle i und damit (da C linear unabhängig über K ist) auch k_{ij} = 0 für alle Paare i, j. Also muss D K-linear unabhängig sein.

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Korollar 39.4 Für Körper K, E, F mit K ≤ E ≤ F gilt [F : K] = [F : E][E : K].

Bemerkung: Da wir immer mit mehreren Körpern arbeiten, ist es wesentlich, festzuhalten, über welchem Körper eine Menge linear unabhängig ist!

Definition 39.5 Sei F : K eine Körpererweiterung, S ⊆ F. Der von S über K erzeugte Unterring von F ist definiert als

K[S] = ⋂_{\begin{matrix}R Ring \\ K∪S⊆R⊆F \end{matrix}} R

(dies ist einfach der von K ∪ S erzeugte Unterring von F). Der von S über K erzeugte Unterkörper ist definiert als

K(S) = ⋂_{\begin{matrix}E Körper \\ K∪S⊆E⊆F \end{matrix}} E

der von K ∪ S erzeugte Unterkörper von F).

Bemerkung: K(S) ist ebenso wie K[S] wohldefiniert, da der Durchschnitt von Körpern wieder ein Körper ist (Beweis analog zu dem für Ringe). Wenn S = {s_{1}, …, s_{n}}, dann schreibt man K[s_{1}, …, s_{n}] für K[{s_{1}, …, s_{n}}] und K(s_{1}, …, s_{n}) für K({s_{1}, …, s_{n}}).

Satz 39.6 Seien K, F Körper, K ≤ F, u, u_{i} ∈ F (i = 1, …, n) und S ⊆ F (für die Aussagen 1.-3. genügt es, wenn F ein kommutativer Ring mit Eins ist). Dann gilt:

1. K[u] = {a_{0} + a_{1}u + … + a_{n}u^{n} | n ∈ ℕ_{0}, a_{i} ∈ K} = {f(u) | f ∈ K[x]}

2. K[u_{1}, …, u_{n}] = {∑_{(k_{1},...,k_{n})∈ℕ_{0}^{n}} a_{(k_{1},...,k_{n})}u_{1}^{k_{1}} … u_{n}^{k_{n}} | a_{(k_{1},...,k_{n})} ∈ K, nur endlich viele a_{(k_{1},...,k_{n})} sind ≠ 0}, d.h.

K[u_{1}, …, u_{n}] = {f(u_{1}, …, u_{n}) | f ∈ K[x_{1}, …, x_{n}]}

3. K[S] = {f(s_{1}, …, s_{n}) | n ∈ ℕ, f ∈ K[x_{1}, …, x_{n}], s_{1}, …, s_{n} ∈ S}

4. K(u) = {f(u)g(u)^{−1} | f, g ∈ K[x], g(u) ≠ 0}

5. K(u_{1}, …, u_{n}) = {f(u_{1}, …, u_{n})g(u_{1}, …, u_{n})^{−1} | f, g ∈ K[x_{1}, …, x_{n}], g(u_{1}, …, u_{n}) ≠ 0} 6. K(S) = {f(s_{1}, …, s_{n})g(s_{1}, …, s_{n})^{−1} | n ∈ ℕ, f, g ∈ K[x_{1}, …, x_{n}],

s_{1}, …, s_{n} ∈ S, g(s_{1}, …, s_{n}) ≠ 0}

Beweis: Wir beweisen nur 6., denn 3. funktioniert analog, und alle anderen Aussagen sind Spezialfälle von 3. oder 6. Sei E die Menge auf der rechten Seite. Dann gilt jedenfalls offensichtlich K ∪ S ⊆ E. Jeder Unterkörper von F, der K ∪ S enthält, muss E enthalten, da die Elemente von E nur durch Summen, Produkte und Inversenbildung aus Elementen von K ∪ S gebildet werden. Also ist E ⊆ K(S). Es muss nur noch gezeigt werden, dass E tatsächlich ein Körper ist: E ≠ ∅ und E \ {0} ≠ ∅, weil K ⊆ E. Seien a, b ∈ E, wobei a = \frac{f(s_{1},...,s_{n})}{g(s_{1},...,s_{n})} und b = \frac{h(t_{1},...,t_{m})}{k(t_{1},...,t_{m})} sei. Fasst man f, g, h, k als Polynome in [x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}] auf, ergibt sich hiermit:

a − b = \frac{f(s_{1}, …, t_{m})}{g(s_{1}, …, t_{m})} − \frac{h(s_{1}, …, t_{m})}{k(s_{1}, …, t_{m})} = \frac{(fk − hg)(s_{1}, …, t_{m})}{(gk)(s_{1}, …, t_{m})}

und (gk)(s_{1}, …, t_{m}) = g(s_{1}, …, s_{n})k(t_{1}, …, t_{m}) ≠ 0, also a − b ∈ E. Wenn b ≠ 0 ist, dann gilt außerdem:

ab^{−1} = \frac{f(s_{1}, …, t_{m})}{g(s_{1}, …, t_{m})} · \frac{k(s_{1}, …, t_{m})}{h(s_{1}, …, t_{m})} = \frac{(fk)(s_{1}, …, t_{m})}{(gh)(s_{1}, …, t_{m})}

und (gh)(s_{1}, …, t_{m}) = g(s_{1}, …, s_{n})h(t_{1}, …, t_{m}) ≠ 0, also ab^{−1} ∈ E. Damit ist E ein Unterkörper von F, der K ∪ S enthält.

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Bemerkung: K[s_{1}, …, s_{n}] = K[s_{1}, …, s_{n−1}][s_{n}] = … = K[s_{1}][s_{2}] … [s_{n}] und K(s_{1}, …, s_{n}) = K(s_{1}, …, s_{n−1})(s_{n}) = … = K(s_{1})(s_{2}) … (s_{n}).

Definition 39.7 Sei F : K eine Körpererweiterung und u ∈ F. u heißt algebraisch über K, wenn ∃f ∈ K[x], f ≠ 0, mit f(u) = 0. Andernfalls, d.h., wenn aus f ∈ K[x] und f(u) = 0 bereits f = 0 folgt, heißt u transzendent über K.

Beispiel: i ∈ ℂ ist algebraisch über ℚ: es ist Nullstelle von x^{2} + 1 ∈ ℚ[x]. \sqrt{n} ∈ ℝ ist für n ∈ ℕ algebraisch über ℚ: es ist Nullstelle von x^{2} − n ∈ ℚ[x]. e, π sind hingegen transzendent über ℚ.

Bemerkung: Trivialerweise ist u ∈ F algebraisch über F, da es Nullstelle von x − u ∈ F [x] ist. Wenn K ≤ E ≤ F ist und u ∈ F algebraisch über K, dann ist es auch algebraisch über E. Ist u ∈ F transzendent über E, dann ist es auch transzendent über K.

Bemerkung: Ist K ≤ F und u ∈ F algebraisch über K, dann gibt es ein normiertes Polynom f ∈ K[x] mit f(u) = 0 (ergibt sich durch Multiplikation mit dem Inversen c^{−1} des Leitkoeffizienten).

Definition 39.8 Eine Körpererweiterung F : K heißt algebraisch , wenn jedes u ∈ F algebraisch über K ist. Andernfalls (d.h., wenn ein u ∈ F existiert, das transzendent über K ist) heißt die Körpererweiterung transzendent .

Definition 39.9 Eine Körpererweiterung F : K heißt einfach , wenn es ein u ∈ F mit F = K(u) gibt.

Definition 39.10 (Körper der rationalen Funktionen über K) Man definiert K(x) := \{\frac{f}{g} | f, g ∈ K[x], g ≠ 0\} (der Quotientenkörper von K[x]). K wird in K(x) via k ↦ \frac{k}{1} eingebettet; K(x) wird als Körper tatsächlich von K ∪ {x} erzeugt, also ist die Schreibweise K(x) gerechtfertigt.

Lemma 39.11 Sei R ein Ring, K ein Körper und φ : K → R ein Ringhomomorphismus. Dann ist φ injektiv oder φ = 0.

Beweis: Ker φ ⊴ K, K hat als Körper aber nur die Ideale {0} und K. Für Ker φ = {0} ist φ injektiv, für Ker φ = K ist φ = 0.

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Satz 39.12 (Transzendente Körpererweiterungen) Sei F : K eine Körpererweiterung, u ∈ F transzendent über K. Dann ist K(x) ≃ K(u) mittels eines Isomorphismus φ : K(x) → K(u) mit φ(x) = u und φ|_{K} = id_{K}.

Beweis: Sei ψ : K[x] → K(u) der Einsetzhomomorphismus mit ψ(x) = u und ψ|_{K} = incl_{K↪K(u)} (d.h. ψ(f) = f(u) für f ∈ K[x]). Da ψ(f) = f(u) ≠ 0 für alle f ∈ K[x] \ {0} ist, also ψ(f) für alle f ∈ K[x] \ {0} invertierbar ist, kann ψ auf den Quotientenkörper K(x) von K[x] fortgesetzt werden: es gibt einen Homomorphismus \overline{ψ} : K(x) → K(u) mit \overline{ψ}|_{K[x]} = ψ. Es gilt dann \overline{ψ}|_{K} = ψ|_{K} = id_{K} und \overline{ψ}(x) = ψ(x) = u, und wir wissen auch, wie \overline{ψ} definiert ist: \overline{ψ}(\frac{f}{g}) = ψ(f)ψ(g)^{−1} = f(u)g(u)^{−1} Man erhält Im \overline{ψ} = \{f(u)g(u)^{−1} | f, g ∈ K[x], g ≠ 0\} = K(u) (g ≠ 0 ist äquivalent zu g(u) ≠ 0, weil u transzendent ist), d.h. \overline{ψ} ist surjektiv. Weil zudem \overline{ψ} ≠ 0 ist (\overline{ψ}|_{K} = id, also jedenfalls \overline{ψ} ≠ 0), muss nach dem vorigen Lemma \overline{ψ} auch injektiv sein, d.h. \overline{ψ} ist Isomorphismus, der zudem auch \overline{ψ}(x) = u und \overline{ψ}|_{K} = id_{K} erfüllt.

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Satz 39.13 (Algebraische Körpererweiterungen) Sei F : K eine Körpererweiterung, u ∈ F algebraisch über K. Dann gilt:

1. Es existiert genau ein normiertes Polynom g ∈ K[x], sodass ∀f ∈ K[x] (f(u) = 0 ⇔ g | f in K[x]), und dieses g ist irreduzibel in K[x].

2. K(u) = K[u] ≃ K[x]/(g); \overline{φ} : K[x]/(g) → K[u] mit \overline{φ}(f + (g)) = f(u) ist ein Isomorphismus.

3. Sei n = deg g, dann ist {1, u, u^{2}, …, u^{n−1}} eine K-Basis von K(u), also [K(u) : K] = n = deg g.

Beweis:

1. Sei φ : K[x] → F der Einsetzhomomorphismus mit φ(x) = u, φ |_{K} = incl_{K↪F}, d.h. φ(f) = f(u). Dann ist Im φ = K[u], Ker φ = {f ∈ K[x] | f(u) = 0} ≠ {0}, weil u algebraisch über K ist. Es existiert daher ein g ≠ 0, sodass Ker φ = (g) = gK[x] ist (weil K[x] als Euklidischer Bereich auch Hauptidealbereich ist). Man kann g normiert wählen, dann ist es eindeutig bestimmt (es gilt (g) = (h) ⇔ g ≈ h, und es existiert genau eine Einheit u, sodass ug normiert ist). Also gibt es genau ein normiertes Polynom g, sodass f ∈ Ker φ ⇔ f ∈ gK[x] (d.h. f(u) = 0 ⇔ g | f in K[x])

2. Wir haben zu zeigen, dass K[u] ein Körper ist:

Nach dem 1.Isomorphiesatz gilt K[u] = Im φ ≃ K[x]/(Ker φ) = K[x]/(g) mit dem angegebenen Isomorphismus. Weil K[u] ⊆ F ein Integritätsbereich ist, ist (g) ein Primideal von K[x]. Da (g) ≠ {0} ist, muss g prim und daher auch irreduzibel sein. Somit ist (g) maximal unter den Hauptidealen ≠ K[x], und weil K[x] ein Hauptidealbereich ist, muss damit (g) ein maximales Ideal sein. Daher ist K[x]/(g) ≃ K[u] ein Körper, und es folgt K(u) = K[u].

3. K(u) = K[u] = {f(u) | f ∈ K[x]}, also hat jedes Element von K(u) die Form f(u) für ein f ∈ K[x]. Sei f ∈ K[x] beliebig gewählt. Dann lässt es sich als f(x) = q(x)g(x) + r(x) mit r = 0 oder deg r < deg g = n schreiben. Wendet man den Einsetzhomomorphismus an, ergibt sich f(u) = q(u)g(u)+r(u) = r(u), also hat jedes a ∈ K(u) die Form a = r(u) mit einem r = a_{0} + … + a_{n−1}x^{n−1}. Damit ist a = a_{0} + … + a_{n−1}u^{n−1}, also erzeugt {1, …, u^{n−1}} K(u) als Vektorraum über K.

Wenn andererseits a_{0} + … + a_{n−1}u^{n−1} = 0 ist, dann folgt g | r = a_{0} + … + a_{n−1}x^{n−1}, und weil deg r = n − 1 < deg g ist, muss r = 0, also

a_{i} = 0 ∀i sein. Also ist {1, …, u^{n−1}} linear unabhängig über K.

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Definition 39.14 Sei F : K eine Körpererweiterung, u ∈ F algebraisch über K. Jenes eindeutig bestimmte normierte Polynom g ∈ K[x], für das ∀f ∈ K[x] f(u) = 0 ⇔ g | f in K[x] gilt, heißt das Minimalpolynom von u über K; n = deg g heißt der Grad von u über K (deg g = [K(u) : K] nach dem vorigen Satz). Man sagt, u ist algebraisch vom Grad n über K.

Bemerkung: u ∈ K ⇔ x − u ist Minimalpolynom von u über K.

Lemma 39.15 Sei F : K eine Körpererweiterung, u ∈ F algebraisch über K, g ∈ K[x]. g ist genau dann Minimalpolynom von u, wenn g(u) = 0 ist und g sowohl normiert als auch irreduzibel ist.

Beweis: Wenn g Minimalpolynom ist, erfüllt es jedenfalls alle diese Eigenschaften. Umgekehrt mögen alle diese Eigenschaften für ein Polynom g gelten. Sei h das Minimalpolynom. Dann gilt g(x) = h(x)k(x) für ein Polynom k ∈ K[x]. Weil g irreduzibel ist, muss k eine Einheit sein (h ist keine Einheit, weil h(u) = 0). Es folgt g ≈ h, also existiert eine Einheit u mit ug = h. Weil g, h beide normiert sind, folgt g = h.

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Definition 39.16 Eine Körpererweiterung F : K heißt endlich-dimensional , wenn [F : K] = dim_{K} F = n ∈ ℕ endlich ist. Eine Körpererweiterung F : K heißt endlich-erzeugt , wenn es u_{1}, …, u_{n} ∈ F gibt, sodass F = K(u_{1}, …, u_{n}).

Bemerkung: Trivialerweise gilt die Inklusion ”endlich-dimensional ⇒ endlicherzeugt“, denn eine Basis erzeugt F als K-Vektorraum, also erst recht als Körper.

Lemma 39.17 Ist eine Körpererweiterung F : K endlich-dimensional, dann ist sie endlich-erzeugt und algebraisch.

Beweis: Dass F : K endlich-erzeugt ist, wurde bereits festgehalten. Sei nun b_{1}, …, b_{n} eine K-Basis von F. Dann hat jedes a ∈ F die Form a_{1}b_{1}+…+a_{n}b_{n} für gewisse a_{i} ∈ K. Sei u ∈ F. Wir zeigen, dass u algebraisch von einem Grad ≤ n ist: K(u) ist ein K-Vektorraum und ein Teilraum von F, daher gilt dim_{K} K(u) ≤ dim_{K} F = n. Somit sind 1, u, …, u^{n} K-linear abhängig. Es gibt also a_{0}, …, a_{n} ∈ K, die nicht alle gleich 0 sind, mit 0 = a_{0} + a_{1}u + … + a_{n}u^{n}, d.h. u ist Nullstelle von f(x) = a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} ∈ K[x], und f ≠ 0.

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Lemma 39.18 Sei F : K eine Körpererweiterung, wobei F = K(s_{1}, …, s_{n}), und alle s_{i} algebraisch über K sind. Dann ist F : K endlich-dimensional.

Beweis: s_{i} ist algebraisch über K, also auch über K(s_{1}, …, s_{i−1}). Deswegen gilt K(s_{1}, …, s_{i}) = K(s_{1}, …, s_{i−1})(s_{i}) = K(s_{1}, …, s_{i−1})[s_{i}], und [K(s_{1}, …, s_{i−1})[s_{i}] : K(s_{1}, …, s_{i−1})] =: m_{i} ist endlich. Es folgt:

[F : K] = [K(s_{1}, …, s_{n}) : K]
= [K(s_{1}, …, s_{n}) : K(s_{1}, …, s_{n−1})] … [K(s_{1}) : K]
= m_{n} … m_{1}

Damit ist [F : K] endlich.

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Proposition 39.19 Eine Körpererweiterung F : K ist genau dann endlichdimensional, wenn F : K endlich-erzeugt und algebraisch ist.

Beweis: Folgerung aus den vorigen Lemmata.

Lemma 39.20 Sei F : K eine Körpererweiterung, F = K(S), und alle s ∈ S algebraisch über K. Dann ist F : K algebraisch.

Beweis: Sei u ∈ F, dann existieren s_{1}, …, s_{n} ∈ S, sodass u ∈ K(s_{1}, …, s_{n}) (weil u = f(s_{1}, …, s_{n})g(s_{1}, …, s_{n})^{−1} für gewisse f, g ∈ K[x], s_{1}, …, s_{n} ∈ S ist). Weil K(s_{1}, …, s_{n}) endlich-dimensional ist, muss damit u algebraisch sein.

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Lemma 39.21 Seien K, E, F Körper mit K ≤ E ≤ F. Ist F : E algebraisch und E : K algebraisch, dann auch F : K.

Beweis: Wir zeigen, dass für alle u ∈ F ein Körper F̃ mit u ∈ F̃ existiert, für den [F̃ : K] endlich ist. Damit wäre dann u algebraisch über K: u ist algebraisch über E, daher existieren e_{0}, …, e_{n} ∈ E (nicht alle = 0) mit 0 = e_{0} + e_{1}u + … + e_{n}u^{n}. Damit ist u algebraisch über K(e_{0}, …, e_{n}). Weil jedes e_{i} algebraisch über K ist, ist nach Lemma 39.18 [K(e_{0}, …, e_{n}) : K] endlich. Damit ist jedoch u ∈ K(e_{0}, …, e_{n}, u), und

[K(e_{0}, …, e_{n}, u) : K] = [K(e_{0}, …, e_{n}, u) : K(e_{0}, …, e_{n})][K(e_{0}, …, e_{n}) : K]

ist endlich, weil u algebraisch über K(e_{0}, …, e_{n}) und daher [K(e_{0}, …, e_{n}, u) : K(e_{0}, …, e_{n})] endlich ist. Also ist jedes u ∈ F auch algebraisch über K.

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Satz 39.22 (Adjunktion einer Nullstelle) Sei K ein Körper, f ∈ K[x] und deg f ≥ 1. Dann gilt:

1. Es existiert eine Körpererweiterung F : K mit F = K(u), sodass f(u) = 0 und [K(u) : K] ≤ deg f.

2. Wenn f irreduzibel über K ist und K(u),K(v) einfache Erweiterungen von K mit f(u) = 0 und f(v) = 0 sind, dann existiert ein Körperisomorphismus φ : K(u) → K(v) mit φ(u) = v und φ(k) = k für alle k ∈ K. Zudem gilt [K(u) : K] = deg f.

Beweis: Wir zeigen die Aussage für ein irreduzibles f (ansonsten kann man einen irreduziblen Faktor von f wählen und auf diesen den Rest des Beweises anwenden): Weil f irreduzibel ist, ist (f) ein maximales Ideal in K[x], daher ist K[x]/(f) ein Körper. Sei π : K[x] → K[x]/(f) die kanonische Projektion. Dann ist π|_{K} : K → K[x]/(f) injektiv, da Ker π|_{K} = K ∩ (f) = {0} ist. Also ist K via k ↦ k + (f) eingebettet in K[x]/(f) =: F, d.h. F : K ist eine Körpererweiterung. Sei ferner u := x + (f) ∈ F. Dann gilt:

f(u) = f(x) + (f) = f + (f) = (f) = 0 + (f) = 0_{F}

Also f(u) = 0. F wird von u = x+(f) = π(x) erzeugt, da K[x] von x erzeugt wird. Weil f irreduzibel ist, ist f bis auf eine multiplikative Konstante Minimalpolynom von u über K, es gilt also [K(u) : K] = deg f. Nach der Charakterisierung einfacher algebraischer Körpererweiterungen (Satz 39.13) muss zudem K(u) ≃ K[x]/(f) ≃ K(v) sein, wobei für den Isomorphismus φ : K(u) → K(v), der sich ergibt, offensichtlich φ(u) = v und φ(k) = k für alle k ∈ K sein muss.

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Lemma 39.23 Seien K, L Körper und φ : K → L ein Isomorphismus. Dann sind auch \overline{φ} : K[x] → L[x], definiert durch \overline{φ}(a_{0} +a_{1}x+…+a_{n}x^{n}) = φ(a_{0})+ φ(a_{1})x + … + φ(a_{n})x^{n}, und φ̃ : K(x) → L(x), definiert durch φ̃(\frac{f}{g}) = \frac{\overline{φ}(f)}{\overline{φ}(g)}, Isomorphismen.

Beweis: \overline{φ} ist als Einsetzhomomorphismus mit \overline{φ}|_{K} = φ, \overline{φ}(x) = x, ein Ringhomomorphismus. \overline{φ} ist surjektiv, weil φ surjektiv ist, und Ker \overline{φ} = \{0\}, da Ker φ = {0}. Sei weiters ψ = incl_{L[x]↪L(x)} ∘φ. Dann ist ψ injektiv, weil φ und incl injektiv sind. ψ ist fortsetzbar auf K(x), die Fortsetzung φ̃ : K(x) → L(x) ist auch injektiv, und es gilt φ̃(\frac{f}{g}) = \frac{\overline{φ}(f)}{\overline{φ}(g)}. Weil \overline{φ} surjektiv ist, trifft dies überdies auch auf φ̃ zu.

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Bemerkung: Wir bezeichnen \overline{φ} und φ̃ im Folgenden nur noch mit φ.

Satz 39.24 Seien F : K und E : L Körpererweiterungen, u ∈ F, v ∈ E, und φ : K → L ein Körperisomorphismus.

1. Wenn u transzendent über K und v transzendent über L ist, dann gibt es einen Isomorphismus \overline{φ} : K(u) → L(v) mit \overline{φ}(u) = v und \overline{φ}|_{K} = φ.

2. Wenn es ein irreduzibles Polynom f gibt, sodass f(u) = 0, φ(f)(v) = 0, dann gibt es ebenso einen Isomorphismus \overline{φ} : K(u) → L(v) mit \overline{φ}(u) = v und \overline{φ}|_{K} = φ.

Beweis:

1. Weil u transzendent über K ist, gibt es einen Isomorphismus σ : K(x) → K(u) mit σ|_{K} = id und σ(x) = u. Ebenso gibt es einen Isomorphismus ρ : L(x) → L(v) mit ρ|_{L} = id und ρ(x) = v. Damit erfüllt jedoch der Isomorphismus \overline{φ} := ρ∘φ∘σ^{−1} : K(u) → L(v) die Bedingungen:

\overline{φ}(u) = ρ(φ(σ^{−1}(u))) = ρ(φ(x)) = ρ(x) = v

und \overline{φ}(k) = ρ(φ(k)) = φ(k) für alle k ∈ K, also \overline{φ}|_{K} = φ.

2. Weil f irreduzibel über K ist, ist auch φ(f) irreduzibel über L. O.B.d.A. darf angenommen werden, dass f normiert ist (ansonsten ist cf für eine Einheit c normiert und weiterhin irreduzibel). Dann ist auch φ(f) normiert, weil φ(1) = 1. Wir wissen bereits, dass σ : K[x]/(f) → K[u] = K(u) mit σ(h+(f)) = h(u) ein Isomorphismus ist. Ebenso ist ρ : L[x]/(φ(f)) → L[v] = L(v) mit σ(h + (φ(f))) = h(v) ein Isomorphismus. Nach dem Korrespondenzsatz gibt es zudem einen Isomorphismus ψ : K[x]/(f) → L[x]/(φ(f)), definiert durch ψ(h + (f)) = φ(h) + (φ(f)). Wie in 1. erfüllt dann \overline{φ} := ρ ∘ ψ ∘ σ^{−1} : K(u) → L(v) die Bedingungen.

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Korollar 39.25 Seien E, F Erweiterungskörper von K und u ∈ E, v ∈ F algebraisch über K. Dann gibt es genau dann ein irreduzibles Polynom f mit f(u) = 0 und f(v) = 0, wenn es einen Isomorphismus \overline{φ} : K(u) → K(v) mit \overline{φ}(u) = v und \overline{φ}|_{K} = id gibt.

Beweis: Wenn es ein solches Polynom gibt, folgt die Existenz von \overline{φ} aus dem vorigen Satz mit φ = id_{K}. Wenn umgekehrt ein solcher Isomorphismus existiert, dann kann f = a_{0} + … + a_{n}x^{n} als das Minimalpolynom von u gewählt werden. Es gilt dann

f(v) = a_{0} + … + a_{n}v^{n} = \overline{φ}(a_{0} + … + a_{n}u^{n}) = \overline{φ}(f(u)) = \overline{φ}(0) = 0

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Proposition 39.26 Sei K : F eine Körpererweiterung. Dann ist E := {u ∈ F | u ist algebraisch über K} ein Körper.

Beweis: K(E) ist ein Körper, und er wird über K von algebraischen Elementen erzeugt. Also ist K(E) : K algebraisch und folglich K(E) ⊆ E. Somit ist E = K(E) ein Körper.

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Beispiel: 𝔸 = {z ∈ ℂ | z ist algebraisch über ℚ} ist ein nicht endlichdimensionaler algebraischer Erweiterungskörper.

Zerfällungskörper eines Polynoms:

Definition 39.27 Sei f ∈ K[x], deg f ≥ 1, und F : K eine Körpererweiterung. f zerfällt über F (in Linearfaktoren), wenn in F [x] gilt: f(x) = a(x − b_{1}) · . . . · (x − b_{n}) (a, b_{i} ∈ F).

Definition 39.28 Ein Körper K mit der Eigenschaft, dass jedes f ∈ K[x] mit deg f ≥ 1 in K[x] zerfällt, heißt algebraisch abgeschlossen .

Beispiel: ℂ ist algebraisch abgeschlossen (Fundamentalsatz der Algebra).

Bemerkung: Die Eigenschaft, dass K algebraisch abgeschlossen ist, ist äquivalent dazu, dass jedes nicht konstante Polynom in K[x] eine Nullstelle in K hat.

Definition 39.29 Sei K ein Körper, f ∈ K[x] mit deg f ≥ 1. Ein Erweiterungskörper F von K heißt Zerfällungskörper von f über K, wenn

• f zerfällt über F.

• F = K(u_{1}, …, u_{n}), wobei u_{1}, …, u_{n} die Nullstellen von f sind.

Satz 39.30 Sei K ein Körper, f ∈ K[x], deg f = n ≥ 1. Dann existiert ein Zerfällungskörper F von f über K mit [F : K] ≤ n!.

Beweis: Durch Induktion nach n:

• n = 1: f(x) = ax + b, a, b ∈ K, a ≠ 0. Dann zerfällt f = a(x + \frac{b}{a}) bereits über K, also ist K Zerfällungskörper, und es gilt K = K(−\frac{b}{a}) und [K : K] = 1.

• n > 1: Sei E : K eine Erweiterung mit [E : K] ≤ n, E = K(u) und f(u) = 0 (die Existenz einer solchen Erweiterung wurde bereits gezeigt). In E[x] gilt dann f(u) = 0 ⇒ x − u | f, also existiert ein g ∈ E[x] mit f(x) = (x − u)g(x), deg g = n − 1. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Zerfällungskörper F von g über E, und [F : E] ≤ (n − 1)!. Es folgt klarerweise [F : K] = [F : E][E : K] ≤ (n − 1)!n = n!, und f zerfällt über F. Außerdem gilt F = E(v_{1}, …, v_{m}), wobei v_{1}, …, v_{m} die Nullstellen von g (und damit auch von f) sind. Weil zudem E = K(u) ist, gilt F = K(u, v_{1}, …, v_{m}), d.h. F wird von den Nullstellen von f erzeugt.

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Lemma 39.31 Sei F : K eine Körpererweiterung, f, f_{1} ∈ K[x] und f_{1} | f in K[x]. Wenn f über F zerfällt, dann auch f_{1}, und jede Wurzel von f_{1} ist Wurzel von f.

Beweis: In F [x] gilt: f(x) = a(x − b_{1}) … (x − b_{n}) = f_{1}(x)g(x), f_{1}, g ∈ K[x], a, b_{i} ∈ F. Weil F [x] ein ZPE-Ring ist, sind die (x − b_{i}) die eindeutig bestimmten irreduziblen Faktoren von f, also ist f_{1} = a_{1}(x − b_{i_{1}}) … (x − b_{i_{m}}) mit {i_{1}, …, i_{m}} ⊆ {1, …, n}.

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Satz 39.32 Sei φ : K → L ein Körperisomorphismus und f ∈ K[x] mit deg f ≥ 1. Sei F der Zerfällungskörper von f über K und E der Zerfällungskörper von φ(f) über L. Dann gibt es einen Isomorphismus \overline{φ} : F → E mit \overline{φ}|_{K} = φ.

Beweis: Durch Induktion nach [F : K]:

• [F : K] = 1 heißt F = K, d.h. f(x) = a(x−b_{1}) … (x−b_{n}) mit a, b_{i} ∈ K. Dann zerfällt φ(f) = φ(a)(x − φ(b_{1})) … (x − φ(b_{n})) auch über L, d.h. E = L. Damit erfüllt \overline{φ} = φ die Bedingung.

• Sei nun [F : K] > 1, d.h. f zerfällt nicht über K; In F [x] gilt f(x) = a(x − b_{1}) … (x − b_{n}) mit a, b_{i} ∈ F, und es gibt ein i mit b_{i} ∉ K. Sei b = b_{i} mit b_{i} ∉ K ein solches Element und f_{1} das Minimalpolynom von b über K. Dann gilt f_{1} | f in K[x]. Da f über F zerfällt, zerfällt f_{1} auch über F, und zudem gilt deg f_{1} = [K(b) : K] > 1 (weil b ∉ K). Weil φ ein Isomorphismus ist, gilt auch φ(f_{1}) | φ(f) in L[x]. Weil φ(f) über E zerfällt, trifft dies damit auch auf φ(f_{1}) zu. Daher existiert eine Wurzel c ∈ E von φ(f_{1}). Damit ist f_{1} ein irreduzibles Polynom, f_{1}(b) = 0, φ(f_{1})(c) = 0. Es wurde bereits gezeigt, dass man in diesem Fall φ auf einfache Erweiterungen fortsetzen kann (Satz 39.24), d.h. es gibt einen Isomorphismus φ̃ : K(b) → L(c) mit φ̃|_{K} = φ und φ̃(b) = c. Man kann nun die Induktionsvoraussetzung auf F : K(b) anwenden (F ist Zerfällungskörper von f über K(b), E ist Zerfällungskörper von φ(f) über K(c), und [F : K(b)] < [F : K], da [K(b) : K] > 1), d.h. es exisitiert ein Isomorphismus \overline{φ} : F → E, für den \overline{φ}|_{K(b)} = φ̃ (und daher \overline{φ}|_{K} = φ) ist.

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Definition 39.33 Sei K ein Körper, M ⊆ K[x] eine Menge von Polynomen mit Grad ≥ 1. Ein Erweiterungskörper F von K heißt Zerfällungskörper von M über K, wenn

• Jedes f ∈ M zerfällt über F.

• F = K(S), wobei S die Menge alle Nullstellen von Polynomen in M ist.

Bemerkung: Für endliches M ergibt sich nichts Neues: der Zerfällungskörper von f_{1}, …, f_{n} ist der Zerfällungskörper von f_{1} · . . . · f_{n}.

Definition 39.34 F heißt algebraischer Abschluss von K, wenn F : K algebraische Erweiterung und F algebraisch abgeschlossen ist.

Proposition 39.35 Sei K ein Körper und F : K eine Körpererweiterung. Dann ist F genau dann algebraischer Abschluss von K, wenn F Zerfällungskörper der Menge aller (irreduziblen) Polynome in K[x] mit Grad ≥ 1 über K ist.

Satz 39.36 Jeder Körper hat einen algebraischen Abschluss; je zwei algebraische Abschlüsse sind K-isomorph (über einen Isomorphismus, der eingeschränkt auf K die Identität ist).

Endliche Körper

Lemma 40.1 Sei K ein endlicher Körper. Dann gibt es eine Primzahl p mit χ(K) = p, und Π_{K} (der von 1_{K} erzeugte Unterring) ist isomorph zu ℤ_{p} = ℤ/(pℤ).

Beweis: Weil K Körper ist, ist K insbesondere nullteilerfreier Ring. Damit ist nach Proposition 20.4 χ(K) Primzahl oder 0. Wenn χ(K) = 0, dann gilt nach Satz 20.6, dass Π_{K} ≃ ℤ ≤ K, was nicht möglich ist, weil K als endlich vorausgesetzt wurde. Andernfalls ist χ(K) = p eine Primzahl und Π_{K} ≃ ℤ_{p}.

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Lemma 40.2 Seien F, K endliche Körper mit K ⊆ F. Dann ist |F | = |K|^{[F:K]}.

Beweis: F ist ein K-Vektorraum der Dimension [F : K] = n. Für eine Basis b_{1}, …, b_{n} ist damit eine Bijektion φ : F → K^{n} durch φ(a) = (a_{1}, …, a_{n}) mit a = ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} gegeben. Es folgt unmitttelbar |F | = |K|^{[F:K]}.

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Korollar 40.3 Ist K ein endlicher Körper, dann gibt es eine Primzahl p und ein n ∈ ℕ, sodass χ(K) = p, |K| = p^{n}.

Beweis: Dass χ(K) = p eine Primzahl ist, wurde bereits gezeigt. Weil ℤ_{p} ≃ Π_{K} ein Körper ≤ K ist, gilt damit |K| = p^{n} mit n = [K : ℤ_{p}].

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Lemma 40.4 Sei K ein endlicher Körper mit |K| = q. Dann gilt ∀a ∈ K a^{q} = a (d.h. jedes a ∈ K ist Nullstelle des Polynoms x^{q} − x).

Beweis: 0^{q} = 0 gilt offensichtlich. Die Elemente a ≠ 0 bilden eine Gruppe K^{∗} bezüglich · mit |K^{∗}| = q − 1, also gilt a^{q−1} = 1_{K} für alle a ≠ 0 und damit a^{q} = a.

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Lemma 40.5 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und χ(R) = p prim. Dann ist φ : R → R, φ(x) = x^{p} ein Ring-Homomorphismus (Frobenius-Homomorphismus). Ist R ein Körper, dann ist φ injektiv. Ist R ein endlicher Körper, dann ist φ ein Automorphismus.

Beweis: als Übung.

Lemma 40.6 Sei F ein Körper und ψ : F → F ein Automorphismus. Dann ist Fix ψ := {a ∈ F | ψ(a) = a} ein Körper.

Beweis: als Übung.

Satz 40.7 Sei K ein Körper mit |K| = q und n ∈ ℕ. Dann gibt es einen Körper F mit K ⊆ F und |F | = q^{n}.

Beweis: Sei F der Zerfällungskörper von f(x) = x^{q^{n}} − x über K und U = {a ∈ F | a^{q^{n}} − a = 0}. Dann ist U die Menge der Nullstellen von f in F, also U = Fix ψ, wobei ψ : F → F mit ψ(x) = x^{q^{n}} ein Körperautomorphismus ist (q = p^{m}, wobei p = χ(K) = χ(F), also ist ψ = φ^{mn}, wobei φ : x ↦ x^{p} der Frobeniushomomorphismus ist. Also ist U ein Körper, der nur aus den Nullstellen von f besteht. Ausserdem ist K in U enthalten, da für alle a ∈ K gilt a^{q} = a und damit auch a^{q^{n}} = a. Damit ist U = F. Weil f′ = (x^{q^{n}} − x)′ = −1 über K ist, hat f keine mehrfachen Nullstellen in F, also ist |U| = deg(x^{q^{n}} − x) = q^{n}, d.h. U = F erfüllt die Bedingung.

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Korollar 40.8 Ist p eine Primzahl und n ∈ ℕ, dann gibt es einen Körper K mit K = p^{n}.

Beweis: durch Anwendung des Satzes auf ℤ_{p}.

Satz 40.9 Seien K, F endliche Körper mit K ⊆ F und |F | = q = p^{n}. Dann ist F Zerfällungskörper von x^{q} − x über K.

Beweis: Für alle a ∈ F gilt a^{q} = a, also ist jedes Element von F Nullstelle von x^{q} −x. Weil F somit q verschiedene Nullstellen von x^{q} −x enthält, zerfällt x^{q} − x über F (x^{q} − x = ∏_{α∈F} (x − α) in F [x]). F besteht zudem nur aus allen Nullstellen von x^{q} − x, also wird F von diesen auch erzeugt. Somit ist F Zerfällungskörper von x^{q} − x.

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Korollar 40.10 Je zwei Körper der Ordnung p^{n} sind isomorph.

Beweis: Zwei solche Körper K, L müssten beide ℤ_{p} enthalten, weil ihre Charakteristik p ist. Damit sind beide Zerfällungskörper von x^{p^{n}} − x, und der Isomorphismus id : ℤ_{p} → ℤ_{p} lässt sich auf K → L fortsetzen.

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Lemma 40.11 Sei G eine endliche Abelsche Gruppe, sodass für jeden Teiler d von |G| höchstens d Elemente g ∈ G mit g^{d} = e existieren. Dann ist G zyklisch.

Beweis: Durch Induktion nach n = |G|:

• n = 1: G ist trivialerweise zyklisch.

• n > 1: Sei ψ(m) = |{g ∈ G | |g| = m}|. Dann ist entweder ψ(n) = 0 oder G zyklisch und ψ(n) = φ(n). Für m | n, m < n, gilt G[m] := {g ∈ G | g^{m} = e} ≤ G, und |G[m]| ≤ m < n. Daher ist nach Induktionsvoraussetzung G[m] zyklisch. Außerdem liegt jedes g ∈ G mit |g| = m in G[m], also ψ(m) = |{g ∈ G[m] | |g| = m}|. Wenn |G[m]| = m, dann folgt aus der Tatsache, dass G[m] zyklisch ist, ψ(m) = |{g ∈ G[m] | |g| = m}| = φ(m). Wenn |G[m]| < m, dann gibt es kein g ∈ G[m] mit |g| = m, also ψ(m) = 0. Nun gilt

∑_{d | n} φ(d) = n = |G| = ∑_{d | n} ψ(d)

Weil ψ(d) ≤ φ(d) für alle Teiler d von n gilt, muss damit ψ(d) = φ(d) für alle Teiler und insbesondere ψ(n) = φ(n) gelten, d.h. G ist zyklisch.

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Korollar 40.12 Sei K Körper und G eine endliche Gruppe mit (G, ·) ≤ (K^{∗}, ·). Dann ist G zyklisch.

Beweis: In K hat das Polynom x^{d} − 1 höchstens d Nullstellen, also gibt es auch in G höchstens d Elemente g ∈ G mit g^{d} = 1. Mit dem soeben gezeigten Satz folgt die Behauptung.

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Korollar 40.13 Ist K ein endlicher Körper, dann ist (K^{∗}, ·) zyklisch. Insbesondere ist ℤ_{p}^{∗} zyklisch; ein Erzeuger von ℤ_{p}^{∗} heißt Primitivwurzel modulo p.

Korollar 40.14 Sind K, F endliche Körper mit K ⊆ F, dann ist F = K(u) eine einfache Erweiterung.

Beweis: Wähle u als Erzeuger von (F^{∗}, ·). Dann ist F = {0} ∪ {u^{k} | k ∈ ℤ} ⊆ K(u) und somit F = K(u).

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Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Bemerkung: Wir betrachten in diesem Kapitel die Konstruktion von Zahlen mit Zirkel und Lineal. Gegeben seien dazu die Punkte (0, 0) und (1, 0) sowie ein Zirkel und ein Lineal, mit denen Konstruktionen durchzuführen sind. Man kann mit ihnen aus vorhandenen Punkten neu konstruieren:

• Schnittpunkte von Kreisen und/oder Geraden

• Geraden mit dem Lineal durch bereits vorhandene Punkte

• Kreise mit dem Zirkel, wenn der Mittelpunkt bereits vorhanden ist und der Radius die Distanz zweier bereits vorhandener Punkte ist.

Beispiel: Mittelpunkte von Strecken lassen sich konstruieren:

[figure]

Definition 41.1 Wir nennen eine Zahl z ∈ ℝ konstruierbar, wenn sie Koordinate eines konstruierbaren Punktes ist.

Proposition 41.2 Seien c, d konstruierbare Zahlen. Dann sind auch kostruierbar:

1. c + d und c − d

2. cd und, falls d ≠ 0, auch \frac{c}{d}.

Beweis:

1. trivial (c + d und c − d ergeben sich durch Abschlagen der Längen c, d auf einer beliebigen Geraden)

2. Die folgende Zeichnung zeigt, wie man für d ≠ 0 mit Hilfe des Strahlensatzes \frac{c}{d} konstruiert:

[figure: (a, 0); (c, 0); (0, 1); (0, d)]

Man zeichnet eine Gerade durch (0, d) und (c, 0) und eine Parallele dazu durch (0, 1). Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der x-Achse hat dann die Koordinaten (a, 0) mit a : 1 = c : d, also a = \frac{c}{d}. Das Parallelverschieben ist mit Zirkel und Lineal möglich:

[figure]

Sind c = d = 0, dann ist cd = 0 natürlich auch konstruierbar. Ist nun o.B.d.A. d ≠ 0, dann ist – wie soeben gezeigt – \frac{1}{d} und damit auch cd = \frac{c}{\frac{1}{d}} konstruierbar.

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Korollar 41.3 𝕂, die Menge der konstruierbaren Zahlen, ist ein Körper.

Beweis: 0, 1 ∈ 𝕂, somit ist 𝕂 ≠ ∅ und 𝕂 \ {0} ≠ ∅. Weil zudem c, d ∈ 𝕂 ⇒ c − d ∈ 𝕂 und c, d ∈ 𝕂^{∗} ⇒ \frac{c}{d} ∈ 𝕂^{∗} gilt, ist 𝕂 ein Körper.

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Proposition 41.4 c ∈ 𝕂 ⇒ \sqrt{c} ∈ 𝕂

Beweis: Man zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt (\frac{c+1}{2}, 0) und Radius \frac{c+1}{2}. Dann hat der Schnittpunkt der Normalen auf die x-Achse durch (1, 0) mit dem Kreis die Koordinaten (1, \sqrt{c}):

[figure: (1, 0); (1, y); (\frac{c+1}{2}, 0)]

y^{2} = (\frac{c + 1}{2})^{2} − (\frac{c + 1}{2} − 1)^{2}
= \frac{c^{2} + 2c + 1}{4} − \frac{c^{2} − 2c + 1}{4}
= \frac{4c}{4} = c
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Korollar 41.5 Sind K, F Körper mit K ⊆ 𝕂, K ⊆ F ⊆ ℝ und [F : K] = 2, dann ist F ⊆ 𝕂.

Beweis: Aus [F : K] = 2 folgt F = K(u), wobei u algebraisch von Grad 2 über K ist. Damit ist u Nullstelle eines irreduziblen Polynoms x^{2} + px + q mit p, q ∈ K, p^{2} ≥ 4q. Wähle v := u + \frac{p}{2} ∈ K. Dann ist K(u) = K(v), und v^{2} = (u + \frac{p}{2})^{2} = u^{2} + pu + \frac{p^{2}}{4} = \frac{p^{2}}{4} − q ∈ K. Damit ist K(v) ⊆ 𝕂, weil v als Quadratwurzel konstruierbar ist.

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Korollar 41.6 Wenn u ∈ ℝ ist, sodass es Körper F_{0}, …, F_{n} mit ℚ = F_{0} ⊆ … ⊆ F_{n} = ℚ[u] und [F_{i+1} : F_{i}] = 2 gibt, dann ist u konstruierbar.

Bemerkung: Ist andererseits u aus K mit Zirkel und Lineal in einem Schritt konstruierbar, d.h. u entsteht als Koordinate des Schnittpunktes von Kreisen/Geraden, sodass Kreismittelpunkte in K × K, Radien in K liegen und Geraden durch zwei Punkte in K × K führen, dann ist [K(u) : K] ≤ 2 (d.h. u ∈ K oder [K(u) : K] = 2). Dies ergibt sich daraus, dass die Schnittpunkte von Kreisen und Geraden Lösungen maximal quadratischer Gleichungen sind (Beweis als Übung).

Korollar 41.7 u ∈ ℝ ist genau dann konstruierbar, wenn es Körper F_{0}, …, F_{n} mit ℚ = F_{0} ⊆ … ⊆ F_{n} = ℚ[u] und [F_{i+1} : F_{i}] = 2 gibt. Insbesondere ist der Grad des Minimalpolynoms von u über ℚ eine Zweierpotenz 2^{n} für ein n ∈ ℕ.

Proposition 41.8 (Delisches Problem) Es ist unmöglich, aus einem gegebenen Würfel (dem Einheitswürfel) einen Würfel mit doppelten Volumen zu konstruieren.

Beweis: Die Seitenlänge eines solchen Würfels ist \sqrt[3]{2}, eine Nullstelle des Polynoms x^{3} − 2. Dieses Polynom ist irreduzibel über ℚ (da der Grad 3 ist und das Polynom keine Nullstelle in ℚ hat). Damit ist [ℚ(\sqrt[3]{2}) : ℚ] = 3, also keine Zweierpotenz. Folglich ist \sqrt[3]{2} nicht konstruierbar.

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Proposition 41.9 (Winkeldreiteilung) Es gibt keine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, mit der aus einem gegebenen Winkel φ der Winkel \frac{φ}{3} konstruiert werden kann.

Beweis: Wir wissen, dass der Winkel 60^{∘} konstruierbar ist (gleichseitiges Dreieck). Wäre eine Winkeldreiteilung möglich, müsste 20^{∘} und damit auch cos 20^{∘} konstruierbar sein. cos 20^{∘} ist aber algebraisch vom Grad 3: Es gilt cos 3φ = 4 cos^{3} φ − 3 cos φ (Beweis mit Hilfe der Additionstheoreme). Damit folgt mit α := cos 20^{∘}: \frac{1}{2} = cos 60^{∘} = 4α^{3} − 3α. Also ist α Nullstelle von 8x^{3} − 6x − 1. Dieses Polynom ist über ℚ irreduzibel, denn der Grad ist 3, und eine Nullstelle müsste die Form \frac{c}{d} mit ggT(c, d) = 1 und c | − 1, d | 8 haben. Dafür kämen nur 1, −1, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, −\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, −\frac{1}{8} in Frage, doch keiner dieser Brüche ist Nullstelle. Also ist α algebraisch vom Grad 3 und daher nicht konstruierbar.

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Index

Ableitung

formale, 141 Abschluss

algebraischer, 182 Adjunktion

der Eins, 89

einer Nullstelle, 177 Assoziativität, 5 Assoziiertheit, 117 Automorphismus, 28, 79

innerer, 44

Bahn, 57 Basis, 153 Bild, 27, 79 Binomialkoeffizienten, 86 Binomischer Lehrsatz, 87

Cayley-Darstellung, 56 Charakteristik, 85 Chinesischer Restsatz, 101

für ℤ, 102

Delisches Problem, 190 Diëdergruppe, 60 Distributivität, 67 Durchschnitt

trivialer, 40

Einbettung, 42, 50, 52, 97 Einheit, 71 Einheitengruppe, 71 Einsetzhomomorphismus, 108 Eisensteinsches Irreduzibilitätskriteri-

um, 150 Element

algebraisches, 172 invertierbares, 6, 71 irreduzibles, 118 konjugiertes, 44 linksinvertierbares, 71 linkskürzbares, 7, 72 linksneutrales, 5 maximales, 95 neutrales, 5 nilpotentes, 70 primes, 118 rechtsinvertierbares, 71 rechtskürzbares, 7, 72 transzendentes, 172

Elementarteiler, 164 Endomorphismus, 28, 79 Epimorphismus, 28, 79 Erweiterungskörper, 170 Euklidischer Algorithmus, 127 Euklidischer Bereich, 126 Euklidischer Ring, 126 Euler’sche φ-Funktion, 33

Faktoren

invariante, 163 Faktorgruppe, 25 Frobenius-Homomorphismus, 88

Grad einer Körpererweiterung, 170 eines algebraischen Elements, 175 eines Polynoms, 108

Gruppe, 9 Abelsche, 9 alternierende, 48 endliche p-, 61 freie Abelsche, 154 p-, 61 symmetrische, 11, 45 zyklische, 31

Halbgruppe, 5

reguläre, 8 Hauptideal, 76 Hauptidealbereich, 123 Hauptidealring, 123 Homomorphiesatz, 30, 80 Homomorphismus

Gruppen-, 27 Ring-, 79

Ideal, 75 erzeugtes, 76 maximales, 92 relativ prime Ideale, 100

Index, 19, 81 Inhalt, 147 Integritätsbereich, 91 Inverses, 6, 7 Isomorphie, 28 Isomorphiesatz

erster, 30, 80 zweiter, 35, 81 dritter, 39, 83

Isomorphismus, 28, 79

Körper, 93 algebraisch abgeschlossener, 179 der rationalen Funktionen, 173

Körpererweiterung, 170 algebraische, 173 einfache, 173 endlich-dimensionale, 175 endlich-erzeugte, 175 transzendente, 173 Kern, 27, 79 Kette, 95 Kettenbedingung

aufsteigende, 122 Klassengleichung, 59 Kommutativität, 7 Komplexprodukt, 17 Kongruenzrelation, 23 Konjugation, 43 Konjugiertenklasse, 44 Korrespondenzsatz, 37, 82

Länge

eines Zyklus, 45 Leitkoeffizient, 108 Lemma

von Gauß, 148 von Zorn, 95

Linkseinheit, 71 Linksideal, 75 Linksinverses, 6, 7 Linksnebenklasse, 18 Linksnullteiler, 70 Linkstranslation, 8 Lokalisierung, 137

Menge

abgeschlossene in einer Gruppe,

13 endliche, 7 geordnete, 95 multiplikativ abgeschlossene, 104 totalgeordnete, 95

Minimalpolynom, 175 Monoid, 5

Gauß’sches, 8 Monoidring, 113 Monomorphismus, 28, 79 multiplikativ abgeschlossen, 129

Nilradikal, 104 Normalisator, 62 Normalteiler, 22 Nullstelle, 140

einfache, 141 mehrfache, 141

Nullteiler, 70

Orbit, 57 Ordnung

eines Elements, 32 Ordnungsrelation, 95

Permutation, 45 disjunkte Permutationen, 45 gerade, 48 ungerade, 48

Polynom irreduzibles, 143 konstantes, 108 lineares, 143 normiertes, 145 primitives, 147 zerfallendes, 179

Polynomdivision, 138 Polynomring

in einer Unbestimmten, 106 in mehreren Unbestimmten, 114

Potenzen, 8, 10, 68 Primfaktorzerlegung, 121 Primideal, 91 Primitivwurzel, 186 Primring, 86 Produkt

direktes, 42, 50, 97 semidirektes, 59

Projektion, 43, 50, 52, 97 kanonische, 29, 79

Quaternionen, 93 Quaternionengruppe, 93 Quotientengruppe, 25 Quotientenkörper, 130 Radikal, 105 Rang

einer freien Abelschen Gruppe, 156 Rangfunktion, 126 Rechtseinheit, 71 Rechtsideal, 75 Rechtsinverses, 6, 7 Rechtsnebenklasse, 18 Rechtsnullteiler, 70 Rechtstranslation, 8 relativ prim, 143 Repräsentantensystem, 19 Restsatz, 139 Ring, 67

der Brüche, 130 einfacher, 92 endlicher, 67 kommutativer, 67 lokaler, 137 mit Eins, 67 nullteilerfreier, 85

Satz von Cauchy, 61 von Lagrange, 19

Schiefkörper, 93 Schranke

obere, 95 Signum, 47 Spaltenoperation

elementare, 158 Stabilisator, 57 Summe

direkte, 42, 51, 98

innere direkte, 43, 52, 99 Sylowgruppe, 64 Sylowsatz

erster, 63 zweiter, 64 dritter, 65

Teilbarkeit, 116 Teiler, 116

größter gemeinsamer, 124 Transposition, 47

Umkehrfunktion, 7 Universelle Eigenschaft

der direkten Summe, 53 des direkten Produkts, 51, 98 des Rings der Brüche, 133

Untergruppe, 13 charakteristische, 59 erzeugte, 15

Unterkörper

erzeugter, 171 Unterring, 75

erzeugter, 76, 171

Verknüpfung

innere, 5 Vielfache, 8, 10, 68 Vielfaches, 116 Vielfachheit, 141

Winkeldreiteilung, 190 Wirkung, 56

treue, 56 Wurzel, 140

Zahl

konstruierbare, 187 Zeilenoperation

elementare, 158 Zentralisator, 58 Zentrum, 59 Zerfällungskörper, 180 ZPE-Ring, 120 Zyklentyp, 46 Zyklus, 45