Algebra Übungen 7 WS 04/05

Bitte alle Antworten begründen (i.e., beweisen).

59. Sei u eine komplexe dritte Wurzel aus 5 . Welches ist das Minimalpolynom von u über ℚ, und über ℝ?

60. Ist ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{3}]: ℚ eine einfache Erweiterung?

61. Was sind die Minimalpolynome über ℚ folgender komplexer Zahlen: \frac{\sqrt{3}i+1}{2} und \frac{\sqrt{5}+1}{2} ?

62. Sei K = ℤ_{p}(y) der Körper der rationalen Funktionen über ℤ_{p} . Das Polynom x^{p} − y ist irreduzibel in K[x] und hat im Zerfällungskörper über K eine p -fache Nullstelle.

63. Sei (G, ·) eine Gruppe, und a, b ∈ G mit |a|, |b| endlich.

(i) Wenn ggT(|a|, |b|) = 1 und ab = ba, dann gilt |ab| = |a||b|.

(ii) Etwas allgemeiner: wenn ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = {e} und ab = ba, dann folgt |ab| = kgV(|a|, |b|) .

64. Seien G, H endliche zyklische Gruppen. G × H ist zyklisch genau dann, wenn ggT(|G| , |H|) = 1 .

65. Sei G Gruppe, und S, T ≤ G. Dann gilt |ST | = |S| [T: S ∩ T] .

Wenn S und T endlich sind, dann gilt

|ST | = \frac{|S| |T |}{|S ∩ T |} .

66. Sei H eine endliche p -Gruppe. Dann ist Z(H) ≠ {e}. (Allgemeiner: Wenn eine endliche p -Gruppe H Untergruppe einer endlichen Gruppe G ist, dann ist H ∩ Z(G) ≠ {e}.)

67. Sei N ⊴ G. Es existiert genau dann eine Untergruppe K ≤ G mit G = NK und N ∩ K = {e}, wenn die kanonische Projektion π: G → G/N eine Rechtsinverse hat (d.h. wenn es einen Homomorphismus f: G/N → G mit π ∘ f = id_{G/N} gibt); und wenn es so eine Untergruppe K gibt, dann ist sie isomorph zu G/N .

68. Sei G eine Gruppe; für g ∈ G sei φ_{g}: G → G durch φ_{g}(x) = gxg^{−1} definiert, und Inn(G) := {φ_{g} | g ∈ G}. Zeigen Sie: Inn(G) ist Untergruppe von Aut(G) und Inn(G) ≃ G/Z(G) .

69. Sei p eine Primzahl, dann gibt es (bis auf Isomorphie) genau eine Gruppe der Ordnung p, und genau zwei verschiedene Gruppen der Ordnung p^{2} . Nämlich welche?

70. Jede Gruppe der Ordnung 56 hat einen nichttrivialen Normalteiler.

71. Jede Gruppe der Ordnung 200 hat einen nichttrivialen Normalteiler.