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\hyphenation{Eins-element andern-falls so-ge-nannte Nil-radikal}

\mathsurround=2pt

\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}
\def\Nil{\hbox{\rm Nil}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

\let\ideal=\nt

% blackboard bold
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\textfont\bbfam=\tenbb
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\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}

\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\ker{\hbox{{\rm ker}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\let\congr=\equiv
\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}
\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}
\def\grq{``}
\bigskipamount=4pt plus 1 pt minus 1 pt

\line{\bf Algebra \"Ubungen 6 \hfill {\rm WS 04/05}}
\bigskip \medskip

\item{Notation:} F\"ur $i\ne j$ bezeichnet $E_{ij}(\lambda)$ eine
quadratische Matrix (passender Gr\"osse), die sich von der
Einheitsmatrix ($1$ auf Diagonale, sonst $0$) nur durch eine
Eintragung $\lambda$ in Position $(i, j)$ unterscheidet.
\medskip

\item{\bf 51.}
Sei $R$ ein kommutativer Ring, $S\subseteq R$ eine multiplikative
Menge und $S^{-1}R$ der Ring der Br\"uche von $R$ mit Nennern aus $S$.

\itemitem{(a)} Sei $Q\ideal R$ ein Primideal von $R$ mit $Q\cap S=\emptyset$;
dann ist $S^{-1}Q$ ein Primideal von $S^{-1}R$.

\itemitem{(b)} Sei $J$ ein Primideal von $S^{-1}R$, dann ist
$\varphi_{S}^{-1}(J)$ ein Primideal von $R$ mit
$\varphi_{S}^{-1}(J)\cap S=\emptyset$.
\bigskip

\item{\bf 52.}
Im Ring $\intz_m=\raise.3ex\hbox{\intz}/\lower.6ex\hbox{m\intz}$
ist $\bar k=k+m\intz$ genau dann invertierbar, wenn
$\ggT(k,m)=1$.\par
Daraus folgt: $\intz_m$ ist genau dann ein K\"orper, wenn $m$ eine
Primzahl ist.
\medskip

\item{\bf 53.}
Im Ring $\intz_m=\raise.3ex\hbox{\intz}/\lower.6ex\hbox{m\intz}$
ist $\bar k=k+m\intz$ genau dann ein Nullteiler, wenn
$\ggT(k,m)\ne 1$.\par
Auch daraus folgt: $\intz_m$ ist genau dann ein K\"orper, wenn $m$ eine
Primzahl ist.
\medskip

\item{\bf 54.}
Ein kommutativer Ring hei\ss t Noethersch, wenn jedes Ideal endlich
erzeugt ist. F\"ur einen kommutativen Ring $R$ sind \"aquivalent:
\itemitem{(1)} $R$ ist Noethersch
\itemitem{(2)} $R$ erf\"ullt die aufsteigende Kettenbedingung
f\"ur Ideale
\itemitem{(3)} Jede Menge von Idealen von $R$ enth\"alt (mindestens)
ein (in bezug auf die Halb\-ordnung durch Inklusion) maximales
Element.
\medskip

\item{\bf 55.}
Sei $K$ ein K\"orper und $T$ ein Unterraum des
$K$-Vektorraums der $n\times 1$ Spaltenvektoren mit Eintragungen in $K$.
Dann ist die Menge der Matrizen in $M_n(K)$, deren Spalten alle aus $T$
sind, ein Rechtsideal von $M_n(K)$. (Analog f\"ur Zeilen und Linksideal.)
\medskip

\item{\bf 56.}
Sei $K$ ein K\"orper, $n\in \natn$. Zu jedem Rechtsideal $J$ von $M_n(K)$
gibt es einen Unterraum $T$ der $n\times 1$ Spaltenvektoren, soda\ss\ $J$
wie im vorigen Beispiel genau aus den Matrizen mit Spalten aus $T$
besteht. (Analog f\"ur Zeilen und Linksideal.)
\medskip

\item{\bf 57.}
Sei $(F,+)$ eine freie Abelsche Gruppe mit Basis $e_1,\ldots,e_n$, und 
$w_1,\ldots,w_m \in F$. Wenn $A \in M_{m\times n}(\intz)$ jene Matrix ist,
deren $k$-te Zeile die Koeffizienten von $w_k$ zur Basis $e_1,\ldots,e_n$
enth\"alt, d.h. $w_k = a_{k1}e_1 + \ldots + a_{kn}e_n$, dann gilt:
\itemitem{} $A \cdot E_{ji}(\lambda)$ ist jene Matrix, deren $k$-te 
Zeile die Koeffizienten von $w_k$ zur Basis $e_1',\ldots,e_n'$ mit
$e_j' = e_j-\lambda e_i$ und $e_l' = e_l$ ($l \neq j$) enth\"alt.
\medskip

\item{\bf 58.} Seien $(F,+)$, $e_1,\ldots,e_n$, $w_1,\ldots,w_m$,
und die Matrix $A$ wie in Beispiel 57. Dann gilt
\itemitem{} $E_{ji}(\lambda) \cdot A$ ist jene Matrix, deren $k$-te Zeile
die Koeffizienten von $w_k'$ zur Basis $e_1,\ldots,e_n$ enth\"alt,
wobei $w_j' = w_j+\lambda w_i$ und $w_l' = w_l$ ($l \neq i$).
\medskip

\bye

