Algebra Übungen 6 WS 04/05

Notation: Für i ≠ j bezeichnet E_{ij}(λ) eine quadratische Matrix (passender Grösse), die sich von der Einheitsmatrix ( 1 auf Diagonale, sonst 0 ) nur durch eine Eintragung λ in Position (i, j) unterscheidet.

51. Sei R ein kommutativer Ring, S ⊆ R eine multiplikative Menge und S^{−1}R der Ring der Brüche von R mit Nennern aus S .

(a) Sei Q ⊴ R ein Primideal von R mit Q ∩ S = ∅; dann ist S^{−1}Q ein Primideal von S^{−1}R.

(b) Sei J ein Primideal von S^{−1}R, dann ist φ_{S}^{−1}(J) ein Primideal von R mit φ_{S}^{−1}(J) ∩ S = ∅.

52. Im Ring ℤ_{m} = ℤ/mℤ ist k̄ = k+mℤ genau dann invertierbar, wenn ggT(k, m) = 1 .

Daraus folgt: ℤ_{m} ist genau dann ein Körper, wenn m eine Primzahl ist.

53. Im Ring ℤ_{m} = ℤ/mℤ ist k̄ = k+mℤ genau dann ein Nullteiler, wenn ggT(k, m) ≠ 1 .

Auch daraus folgt: ℤ_{m} ist genau dann ein Körper, wenn m eine Primzahl ist.

54. Ein kommutativer Ring heißt Noethersch, wenn jedes Ideal endlich erzeugt ist. Für einen kommutativen Ring R sind äquivalent:

(1) R ist Noethersch

(2) R erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung für Ideale

(3) Jede Menge von Idealen von R enthält (mindestens) ein (in bezug auf die Halbordnung durch Inklusion) maximales Element.

55. Sei K ein Körper und T ein Unterraum des K -Vektorraums der n × 1 Spaltenvektoren mit Eintragungen in K . Dann ist die Menge der Matrizen in M_{n}(K) , deren Spalten alle aus T sind, ein Rechtsideal von M_{n}(K) . (Analog für Zeilen und Linksideal.)

56. Sei K ein Körper, n ∈ ℕ. Zu jedem Rechtsideal J von M_{n}(K) gibt es einen Unterraum T der n×1 Spaltenvektoren, sodaß J wie im vorigen Beispiel genau aus den Matrizen mit Spalten aus T besteht. (Analog für Zeilen und Linksideal.)

57. Sei (F, +) eine freie Abelsche Gruppe mit Basis e_{1}, …, e_{n} , und w_{1}, …, w_{m} ∈ F . Wenn A ∈ M_{m×n}(ℤ) jene Matrix ist, deren k -te Zeile die Koeffizienten von w_{k} zur Basis e_{1}, …, e_{n} enthält, d.h. w_{k} = a_{k1}e_{1} + … + a_{kn}e_{n} , dann gilt:

A · E_{ji}(λ) ist jene Matrix, deren k -te Zeile die Koeffizienten von w_{k} zur Basis e′_{1}, …, e′_{n} mit e′_{j} = e_{j} − λe_{i} und e′_{l} = e_{l} ( l ≠ j ) enthält.

58. Seien (F, +) , e_{1}, …, e_{n} , w_{1}, …, w_{m} , und die Matrix A wie in Beispiel 57. Dann gilt

E_{ji}(λ) · A ist jene Matrix, deren k -te Zeile die Koeffizienten von w′_{k} zur Basis e_{1}, …, e_{n} enthält, wobei w′_{j} = w_{j} + λw_{i} und w′_{l} = w_{l} ( l ≠ i).