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\hyphenation{Eins-element andern-falls so-ge-nannte Nil-radikal}

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\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}
\def\Nil{\hbox{\rm Nil}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol
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\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
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\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
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\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\ker{\hbox{{\rm ker}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\let\congr=\equiv
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\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}
\def\grq{``}
\bigskipamount=4pt plus 1 pt minus 1 pt

\line{\bf Algebra \"Ubungen 5 \hfill {\rm WS 04/05}}
\bigskip \medskip


\item{\bf 42.}
Sei $R$ ein ZPE-Ring mit Quotientenk\"orper $K$; $f\in R[x]$ primitiv,
so, da\ss\ $f=gh$ mit $g,\,h\in K[x]$. Dann existiert ein $a\in K$
mit $ag=\tilde g$, $a^{-1}h=\tilde h$, wobei $\tilde g$ und $\tilde h$
primitive Polynome in $R[x]$ sind.
\bigskip

%Chinesischer Restsatz f\"ur nicht co-maximale Ideale

\item{\bf 43.}
Sei $R$ ein Hauptidealring. Dann gilt $(A+B)\cap (A+C) = A + (B\cap C)$
f\"ur beliebige Ideale $A, B, C$ von $R$.
\bigskip

\item{\bf 44.}
Sei $R$ ein Ring, dessen Ideale $(A+B)\cap (A+C) = A + (B\cap C)$
erf\"ullen. Dann gilt folgende Version des Chinesischen Restsatzes:
Gegeben Ideale $A_1,\ldots, A_n$ von $R$ und Elemente 
$b_1,\ldots, b_n\in R$ soda\ss\ f\"ur $i\ne j$ jeweils 
$b_i-b_j\in A_i+A_j$, dann existiert ein $b\in R$ mit $b\congr b_i$
mod $A_i$ ($1\le i\le n$).
\bigskip

\item{\bf 45.}
Sei $S$ eine Menge, ${\cal P}(S)$ die Menge aller Teilmengen von $S$.
F\"ur $A,\,B\in {\cal P}(S)$ sei
$$A+B:=A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\quad
\hbox{\rm \ und\ }\quad A\cdot B:= A\cap B$$
definiert. Mit dieser Addition und Multiplikation ist ${\cal P}(S)$
ein \glq Boole'scher Ring\grq, d.\ h.\ ein  kommutativer Ring mit
Eins, in dem $a^2=a$ f\"ur jedes Element $a$ gilt, und dieser
Ring ist isomorph zu $\prod_{x\in S} \intz_2$
(direktes Produkt je einer Kopie von $\intz_2$ f\"ur jedes Element
von $S$).
\bigskip

\item{\bf 46.}
Sei $R$ ein ZPE-Ring mit Quotientenk\"orper $K$ und $f,g,h\in K[x]$
normierte Polynome mit $f\cdot g=h$. Wenn $h\in R[x]$,
dann folgt $f\in R[x]$ und $g\in R[x]$.
\bigskip

\item{\bf 47.}
Seien $R,\, S$ Ringe mit Eins, $g\colon R\rightarrow S$ ein
Ring\-homo\-morphismus.
\itemitem{(i)} Wenn ein $v\in \Im(g)$ existiert, das kein
Nullteiler ist, dann ist $g(1)=1$ und
\itemitem{(ii)} wenn $g(1)=1$, dann ist f\"ur jede Einheit $u\in R$
auch $g(u)$ Einheit in $S$ mit $g(u)^{-1}=g(u^{-1})$.
\bigskip

\item{\bf 48.}
Sei $R$ ein Ring und $(H, \ast )$ ein Monoid mit der Eigenschaft,
da\ss\ es f\"ur jedes $h\in H$ nur endlich viele $g,\, k\in H$ mit
$g\ast k=h$ gibt. Dann ist $R(H)$, definiert durch
$(R(H),+)=(\sum_{h\in H}R,+)$ und
$$(r_h)_{h\in H}\cdot (s_h)_{h\in H}=(t_h)_{h\in H}
\qquad \hbox{\rm\ mit\ }\qquad
t_h=\sum_{{g,\,k\in H}\atop {g\ast k=h}} r_g s_k$$ ein Ring.
\bigskip


\item{\bf 49.} 
F\"ur den Ring aus Bsp.~48 gilt:
Wenn $R$ ein Einselement hat, dann auch $R(H)$; wenn $R$ und $H$
beide kommutativ sind, dann ist auch $R(H)$ kommutativ.

\item{}
$R$ ist eingebettet in $R(H)$
(geben Sie einen Ring-Mono\-morph\-ismus
$\varphi\colon R\rightarrow R(H)$ an). Wenn $R$ ein Einselement hat,
dann ist auch $H$ eingebettet in $(R,\cdot)$ (geben Sie einen
Monoid-Monomorphismus
$\psi\colon (H,\ast) \rightarrow (R(H),\cdot)$ an).
\bigskip

\itemitem{{\bf 50.}\ \ \  (i)} Wenn $R$ Integrit\"atsbereich,
$p\in R$, dann gilt
{\openup-1\jot
$$ p \hbox{\rm\ prim\ }\iff (p) \hbox{\rm\ Primideal}\ne (0) $$
\itemitem{(ii)} Wenn $R$ Integrit\"atsbereich, $c\in R$,  dann gilt
$$ c \hbox{\rm\ irreduzibel\ }\iff (c)\ne (0) \hbox{\rm\ und } (c)
\hbox{\rm\ maximal unter den Hauptidealen}\ne R$$
($\,(c)$ maximal unter den Hauptidealen $\ne R$ hei\ss t, da\ss\  f\"ur alle
$d\in R$ mit $(d)\ne R$ gilt: wenn $(c)\subseteq (d)$, dann $(c)=(d)$.)
}

\bye


