Algebra Übungen 5 WS 04/05

42. Sei R ein ZPE-Ring mit Quotientenkörper K ; f ∈ R[x] primitiv, so, daß f = gh mit g, h ∈ K[x] . Dann existiert ein a ∈ K mit ag = g̃, a^{−1}h = h̃, wobei g̃ und h̃ primitive Polynome in R[x] sind.

43. Sei R ein Hauptidealring. Dann gilt (A + B) ∩ (A + C) = A + (B ∩ C) für beliebige Ideale A, B, C von R.

44. Sei R ein Ring, dessen Ideale (A + B) ∩ (A + C) = A + (B ∩ C) erfüllen. Dann gilt folgende Version des Chinesischen Restsatzes: Gegeben Ideale A_{1}, …, A_{n} von R und Elemente b_{1}, …, b_{n} ∈ R sodaß für i ≠ j jeweils b_{i} −b_{j} ∈ A_{i} +A_{j} , dann existiert ein b ∈ R mit b ≡ b_{i} mod A_{i} ( 1 ≤ i ≤ n).

45. Sei S eine Menge, P(S) die Menge aller Teilmengen von S . Für A, B ∈ P(S) sei

A + B := A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) und A · B := A ∩ B

definiert. Mit dieser Addition und Multiplikation ist P(S) ein ,,Boole’scher Ring“, d. h. ein kommutativer Ring mit Eins, in dem a^{2} = a für jedes Element a gilt, und dieser Ring ist isomorph zu ∏_{x∈S} ℤ_{2} (direktes Produkt je einer Kopie von ℤ_{2} für jedes Element von S ).

46. Sei R ein ZPE-Ring mit Quotientenkörper K und f, g, h ∈ K[x] normierte Polynome mit f · g = h. Wenn h ∈ R[x] , dann folgt f ∈ R[x] und g ∈ R[x] .

47. Seien R, S Ringe mit Eins, g: R → S ein Ringhomomorphismus.

(i) Wenn ein v ∈ Im(g) existiert, das kein Nullteiler ist, dann ist g(1) = 1 und

(ii) wenn g(1) = 1 , dann ist für jede Einheit u ∈ R auch g(u) Einheit in S mit g(u)^{−1} = g(u^{−1}) .

48. Sei R ein Ring und (H, ∗) ein Monoid mit der Eigenschaft, daß es für jedes h ∈ H nur endlich viele g, k ∈ H mit g ∗ k = h gibt. Dann ist R(H) , definiert durch (R(H), +) = (∑_{h∈H} R, +) und

(r_{h})_{h∈H} · (s_{h})_{h∈H} = (t_{h})_{h∈H}  mit  t_{h} = ∑_{{g, k∈H \atop g∗k=h}} r_{g}s_{k}

ein Ring.

49. Für den Ring aus Bsp. 48 gilt: Wenn R ein Einselement hat, dann auch R(H) ; wenn R und H beide kommutativ sind, dann ist auch R(H) kommutativ.

R ist eingebettet in R(H) (geben Sie einen Ring-Monomorphismus φ: R → R(H) an). Wenn R ein Einselement hat, dann ist auch H eingebettet in (R, ·) (geben Sie einen Monoid-Monomorphismus ψ: (H, ∗) → (R(H), ·) an).

50. (i) Wenn R Integritätsbereich, p ∈ R, dann gilt p prim ⟺ (p) Primideal ≠ (0)

(ii) Wenn R Integritätsbereich, c ∈ R, dann gilt c irreduzibel ⟺ (c) ≠ (0) und (c) maximal unter den Hauptidealen ≠ R

( (c) maximal unter den Hauptidealen ≠ R heißt, daß für alle d ∈ R mit (d) ≠ R gilt: wenn (c) ⊆ (d) , dann (c) = (d) .)